Einführung in die Quantenmechanik

[tomS]

Nachdem ich ein Fan davon bin, Dinge unter verschiedenen Aspekten zu betrachten, und nachdem Symmetrie dabei immer an vorderster Stelle rangiert, hier ein Hinweis auf eine gruppentheoretische Betrachtung des Wasserstofatoms. Dabei wird u.a. die "zufällige" Entartung der Energieniveaus klar, also warum E nicht von der Drehimpulsquantenzahl l abhängt.

http://www.desy.de/~jlouis/Vorlesungen/ ... rag_09.pdf
http://theorie2.physik.uni-greifswald.d ... heorie.pdf (ab S. 206)

Pauli hat diesen Weg bereits vor der bzw. ohne die Lösung der Schrödingergleichung als DGL gefunden, d.h. das Spektrum, jedoch nicht die Zustände, explizit berechnet. Einen ähnlichen Fall haben wir auch schon mal für den n-dimensionalen harmonischen Oszillator diskutiert.

[positronium]

Das bedeutet doch aber nur, dass man eine Symmetrie konstruieren kann, oder muss man davon ausgehen, dass da physikalisch mehr dahinter steckt?

[tomS]

Nun, diese Symmetrie kennt man aus der klassischen Mechanik; sie ist für die geschlossenen Bahnen im Keplerproblem verantwortlich (sozusagen als Erhaltung der Richtung der großen Halbachse). Was meinst du jetzt damit "ob da mehr dahintersteckt?" Eine Symmetrie ist eine Symmetrie - ob anschaulich oder unanschaulich - und sie legt weitgehend bestimmte Eigenschaften des Systems fest. Konkret: zwar werden die Wellenfunktionen nicht durch diese Symmetrie festgelegt, wohl aber das Energiespektrum. "Noch mehr" muss ja wohl nicht dahinterstecken ;-)

[positronium]

In die Richtung meinte ich das. Also, dass diese Symmetrie nicht etwas gerade noch "sichtbares" von etwas fundamentalerem ist, weil man so eine Transformation ja wahrscheinlich sogar so gestalten könnte, dass alle Orbitale ineinander transformiert werden könnten - sollte ja nur eine Frage der Freiheitsgrade und deren mathematischer Beziehungen sein.

[tomS]

Man kann tatsächlich eine noch größere Symmetrie SO(4,2) finden, die wohl alle Zustände ineinander transformiert. Diese Transformation "findet nun nicht physikalisch statt", also es wird nicht konkret, real, ... transformiert. Es handelt sich um eine Beziehung.

Bsp.: das Keplerproblem ist rotationssymmetrisch, die Lösungen nicht. Die Rotationssymmetrie bedeutet nun nicht die tatsächliche Rotation der Planetenbahnen bzw. Bahnebenen, sondern die Möglichkeit einer solchen.

Interessant ist, dass alleine aus einer derart abstrakten Symmetrie, deren Transformationen man nie wirklich durchführen kann, physikalische Ergebnisse exakt abgeleitet werden können

[positronium]

Würdest Du noch bitte etwas zur Streutheorie schreiben? - Die entsprechenden Kapitel habe ich gelesen, aber darin geht es nur um die Veränderung der Wellenfunktion. Du hattest weiter oben ein Beispiel angeführt ( <out|U(t,0)|in> ). Das hatte ich so interpretiert, dass man <out| durch einen gebundenen Zustand ersetzt, und |in> eine Wellenfunktion ist, die sich in Richtung des Orbitals bewegt, aber dann fehlt wohl etwas. Wenn jetzt <out| = <n,l,m,s| und |in> = Psi(x) fehlt auf der linken Seite der Ort. Oder projeziert man den Zustand <n,l,m,s| auf den Ort und rechnet dann <Psi_neu|U(t,0)|Psi_alt>?

[tomS]

Willst du die Störungstheorie überspringen oder wollen wir sie zumindest kurz streifen? Es ist zwar fast ausschließlich "Buchhaltung" aber dennoch in der Praxis - auch in der Streutheorie - enorm wichtig.

[positronium]

Das Kapitel zur Störungstheorie habe ich vor ein paar Tagen gelesen, aber nicht versucht, das wirklich nachzuvollziehen, weil ich den Eindruck hatte, dass es darin nur um Exaktheit und nicht um grundsätzliches geht.
Hängen geblieben ist, dass man damit Einflüsse, die man der Einfachheit wegen zuerst vernachlässigt hat, dadurch wieder in die Berechnung einfliessen lassen kann, und dass dadurch offenbar andere Observablen nötig werden. Was mir aber nicht klar ist, was z.B. mit m geschieht. Der Eigenwert von L_z ist ja immer ein ganzzahliges Vielfaches von hquer, wobei eine leichte Korrektur eine Abweichung davon bedeuten würde. Muss man die Quantenzahl m dann völlig vergessen?