Abenteuer-Universum

---- editiert von TomS ----

Bzw. in Bezug auf das Pauli-Prinzip: Ist die Konstruktion der Slater-Determinante nicht auch als eine Art Wechselwirkung interpretierbar?
Es wird ja grade so konstruiert, dass alle Plätze bzw. Zustände immer nur einmal besetzbar sind.

@Keplerfan: das Pauli-Prinzip ist keine WW im herkömmlichen Sinn, da es bereits in die Struktur des fermionische Hilbertraumes eingebaut ist; unter Verwendung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist es eine einfache Konsequenz der Relation a²=0, die man z.B. durch Grassmanvariablen algebraisch realisieren kann. Dies gilt unabhängig von der Dynamik.

@tomS: Ich meine, das ist dann eine Frage der Formalismus. Ohne das rechnerisch weiter nachgeprüft zu haben, vermute ich, dass man auch ohne Änderung der Hilbertraumstruktur ein "Pauli-Prinzip" einführen könnte, indem man z.B. folgendes Potential auf die Fermionen wirken lässt:

, wobei das gleich 0 ist, wenn die Wellenfunktion antisymmetrisch ist und sonst 1 und das C konstant. Im Limes würden (für ansonsten freie Teilchen wie im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden im Außenbereich) dann alle nicht antisymmetrischen Wellenfunktion wegfallen.
Frage wäre dann: Woher kommt dieses Potential, das nur auf Fermionen wirkt?

Kann die Quantenfeldtheorie, mit der ich mich nicht auskenne, diese Frage beantworten?

Der Formalismus der QM besagt, dass die mathematische Struktur zur Beschreibung der Dynamik

"Operator angewandt auf einen Zustandsvektor"

lautet.

Konkret bedeutet das, dass es sich generell um lineare Operatoren handelt, also um eine Art Verallgemeinerung von Matrizen angewandt auf Vektoren. Das Pauli-Prinzip wird nun vollständig auf der Ebene "Zustandsvektor" implementiert, d.h. es ist völlig unabhängig davon, welcher konkrete "Operator" darauf wirkt. Ich wüsste nicht, wie (und warum) ich dieses Pauli-Prinzip auf Ebene der Zustandsvektoren fallen lassen und in die Operatoren hineinpacken sollte. Dann müsste ich das ja für jeden einzelnen Operator tun, so hingehend nur genau einmal für den gesamten Hilbertraum.

Das Pauli-Prinzip gilt ja bereits für freie Teilchen ohne Wechselwirkung. Hier codiere ich es im Hilbertraum, indem ich nur Wellenfunktionen der Form



zulasse. Unter der Verwendung von fermionischen Erzeugungsoperatoren (wie in der QFT) ist das sogar noch einfacher, denn da ist ein Zustand |A,B> automatisch antisymmetrisiert, das erledigt sozusagen der Formalismus automatisch mit, und ich kann mir das explizite Hinschreiben wie fürdie Wellenfunktion sparen.

Die kinetische Enerie lautet dann ganz normal



Nehmen wir nun an, wir würden die Antisymmetrisierung aus den Zustandsvektoren herausnehmen und in die Operatoren packen. Dann würde eine Wellenfunktion zunächst lauten



Wie müsste man nun die kinetische Energie modifizieren?

Gerne!

Ich meine das so: Wenn ich ein gegebenes physikalisches System habe, dann muss ich zu seiner Beschreibung zunächst die Eigenvektoren des Hamilton-Operators finden. Ist das System z.B. ein harmonischer Oszillator, so erhalte ich dann die entsprechenden Energie-Eigenvektoren. Ich kann die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators zwar auch auf die Wellenfunktion eines freien Teilchens anwenden, physikalisch ist (mir zumindest) dann allerdings nicht so klar, was das bedeutet. Im Prinzip ist aber auch die Wellenfunktion eines freien Teilchens in den Eigenzuständen des harmonischen Oszillators beschreibbar und umgekehrt.
(Die Eigenvektoren eines hermitischen Operators, des Hamilton-Operators, bilden eine vollständige Basis des Hilbertraums.)

In dieser Beziehung sind Fermionen und Bosonen sicher verschieden: Ich kann aus den antisymmetrischen Fermionen-Wellenfunktionen keine symmetrischen Bosonen-Wellenfunktionen konstruieren. Hier handelt es sich also im Vergleich zum Verhältnis von freiem Teilchen und Oszillator tatsächlich um verschiedene Hilberträume.
Die Situation wäre allerdings anders, wenn das C in meinem vorherigen Beitrag gar nicht gegen unendlich gehen würde, sondern nur sehr groß wäre: Es würde ein Rest von nicht antisymmetrischen Wellenfunktionen im Hilbertraum der Fermionen übrig bleiben, der allerdings energetisch sehr schwer anzuregen (und somit auch zu messen) wäre.
Es würde sich allerdings mithilfe dieser schwer anregbaren Zustände eine Möglichkeit ergeben, Bosonen-Eigenfunktionen mithilfe von Fermionen-Eigenfunktionen auszudrücken. (Vermute ich, da die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators wieder eine vollständige Basis bilden würden.)

Was mir nämlich nicht klar ist: Warum benutzt man für verschiedene Teilchensorten verschiedene Hilberträume, wenn man doch ansonsten auch verschiedene physikalische Systeme (z.B. freies Teilchen und Oszillator) im gleichen Hilbertraum beschreiben kann, sogar so, dass man ihre "Eigenvektoren" ineinander umrechnen kann? Was ist da bei Fermionen und Bosonen anders? Warum sind sie "orthogonal" zueinander?

Wie müsste man nun die kinetische Energie modifizieren?

Gute Frage. Könnte man nicht aber genauso gut fragen: Wie muss ich die kinetische Energie und andere Operatoren modifizieren, um statt der Eigenfunktionen des freien Teilchens (entsprechend der symmetrischen Bosonen-Eigenfunktionen) aus der kinetischen Energie die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators (entsprechend der antisymmetrischen Fermionen-Eigenfunktionen) zu erhalten? Auch hier sind ja die Potentiale verschieden. Ich halte es aber für möglich, das die symmetrischen bzw. antisymmetrischen Eigenzustände sich (bis auf ihre eventuellen hochenergetischen Ergänzungen bei endlichem C) einfach aus einem Potential ergeben.

Ich übersehe vielleicht, warum es unbedingt notwendig ist, das Pauli-Prinzip unabhängig von den Operatoren einzuführen. Wenn das Fermion dem harmonischen Oszillator und das Boson dem freien Teilchen entspricht, dann leben beide im Prinzip im gleichen Hilbert-Raum, haben aber verschiedene Eigenfunktionen. Ich kann die Energien des harmonischen Oszillators messen und auch die des freien Teilchens - diese entsprechen den Eigenwerten des jeweiligen Hamilton-Operators. Ich kann im Prinzip aber auch jede andere physikalische Eigenschaft messen, indem ich z.B. den Impuls-Operator auf einen Zustand des harmonischen Oszillators anwende. Die Frage, wie ich den Impuls-Operator verändern muss, um die "richtigen" Wellenfunktionen, nämlich die des harmonischen Oszillators, zu erhalten, stellt sich somit mE nicht.

Vielleicht ist meine Analogie von freiem Teilchen/Oszillator und Fermion/Boson auch einfach unpassend, was mir auf den ersten Blick aber nicht ganz einleuchten will.

Ich bin mir gerade unsicher, ob die Darstellung der "freies Teilchen"-Wellenfunktion in den Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators tatsächlich eine konvergierende Reihe ergibt - man sollte deshalb vielleicht stattdessen ein anderes System wählen statt des freien Teilchens- aber darauf kommt es bei der Argumentation vielleicht nicht an.

Hmm ... Vielleicht muss ich auch einfach nochmal drüber schlafen. Erzähl doch mal was zum Pauli-Prinzip, Tom! (Das hattest du ja glaube ich angeboten; am besten in einem abgespalteten Thread.)

Man betrachtet in der QFT Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Dabei führt man für jede Quantenzahl ein derartiges Paar ein.

Für bosonische Operatoren gilt




Mittels der ersten Relation kann man alle Zustände |0>, |1>, ... erzeugen; das n steht dabei für die Besetzungszahl, also die Anzahl der Quanten in dem jeweiligen Zustand.

Für fermionische Operatoren gilt




und



Aufgrund dieser letzten Relation kann man nur die Zustände |0> und |1> erzeugen, denn wenn man |2> aus |1> erzeugen möchte, findet man



Wichtig: das ist unabhängig vom jeweiligen Hamiltonoperator und der jeweils betrachteten WW; insbs. erzeugen diese Operatoren in der QFT freie Teilchen und haben nichts mit dem Potential des harmonischen Oszillators zu tun. D.h. die Vertauschungsrelationen sind identisch, der Hilbertraum ist identisch, nur man interpretiert das "n" nicht mehr als die Energie eines Teilchens im n-ten Zustand, sondern als n verschiedene Teilchen fester Energie.

Ok, dann stimmt es also nicht, dass die vollständig antisymmetrisierten bzw. symmetrisierten Zustände (die ich mit Fermionen bzw. Bosonen verbinde) orthogonal zueinander sind? (Ich war mir sicher, das mal gelesen zu haben ...). Der Zustand

... äh, (zwei Fermionen mit Quantenzahlen ) ist also im allgemeinen nicht orthogonal zum Zustand (zwei Bosonen mit Quantenzahlen )? Im identischen Hilbertraum müsste man das ja untersuchen können. Wenn es nämlich so wäre, dann würden sich "Bosonen" und "Fermionen" doch in getrennten Räumen abspielen. (Ähnlich, als ob ich in der Ebenen Fermionen die x-Achse und Bosonen die y-Achse zuordne.)

Nun, das Problem ist, dass der Hilbertraum der Wellenfunktionen eben gerade keine bosonische oder fermionische Struktur trägt, sondern dass man künstlich die möglichen Zweiteilchenwellenfunktionen auf die bosonischen = symmetrischen bzw. fermionischen = antisymmetrischen Wellenfunktionen beschränken muss. Verwendet man dagegen den von mir genannten Formalismus, so ist diese Struktur im Hilbertraum selbst angelegt und muss nicht erst künstlich von außen aufgezwungen werden.

Zum Problem der Orthogonalität: ich denke wenn du vier Funktionen a(x), b(x), c(x), d(x) einführst und daraus die Zweiteilchenwellenfunktionen

B(x,y) = a(x) b(y) + b(x) a (y)
F(x,y) = c(x) d(y) - d(x) c(y)

konstruierst, dann werden diese beiden Funktionen tatsächlich orthogonal sein. Wenn man B(x,y) * F(x,y) ausmultipliziert und über x und y integriert, dann heben sich aus Symmetriegründen alle Terme gegenseitig weg - oder habe ich mich da verrechnet?

Mal schauen:

Aus

und


folgt

, somit ist das Integral 0. Dabei wurden zunächst die Variablen umbenannt und dann wieder die Symmetrierelationen ausgenutzt. Fermionen und Bosonen "wohnen" also in orthogonalen Unterräumen.

Ich wollte eigentlich auf Folgendes hinaus: Man kann mit dem von dir genannten Formalismus super beschreiben, dass Bosonen und Fermionen wegen der verschiedenen Symmetrisierung in orthogonalen Unterräumen wohnen. Was aber ist, wenn das (und somit das Pauli-Prinzip) gar nicht so streng gilt? Wenn es z.B. eine sehr hohe Anregungsenergie gibt, bei der ein Fermion plötzlich in einen symmetrischen Zustand springt?

Wenn ich in der Ebenen Fermionen die x-Achse und Bosonen die y-Achse zuordne, so geht das Pauli-Prinzip davon aus, dass die physikalischen Vielteilchensysteme nur aus Bosonen oder Fermionen bestehend durch einen Vektor parallel zu einer der beiden Achsen repräsentiert werden. "Schiefe" Vektoren mit x- und y-Komponente kann ich nur erreichen, wenn ich z.B. ein Boson und ein Fermion gemeinsam in ein System stecke.

Könnte es nicht aber sein, dass auch "reine" Bosonen bzw. Fermionenzustände z.B. bei hohen Energien plötzlich Zustände annehmen, die schief in diesem Raum liegen? Oder erklärt sich die Orthogonalität einfach durch die verschiedene "Spin"-Quantenzahl?

Mein Problem scheint zu sein, dass ich nicht verstehe, wie diese strikte "Trennung" zwischen den beiden Teilchensorten zustande kommt.

M.W.n. folgt das Pauli-Prinzip aus dem Spin-Statistik-Theorem, demzufolge Bosonen bzw. Fermionen mittels kommutierenden bzw. antikommutierenden Operatoren beschrieben werden müssen. Das Spin-Statistik-Theorem folgt aus recht allgemeinen Annahmen; man geht heute davon aus, dass es absolut gültig sein muss.