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Vakuum und Entropie

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 31. Mär 2009, 19:46

Hallo zusammen,

im Verlauf einer Diskussion kam folgende Frage auf:

Wir haben in anderen Beiträgen ja bereits gesehen, dass ein Vakuum zwar NICHTS ist, aber noch lange nicht GARNICHTS! :wink:

Wir sprechen vom Dirac-See, von virtuellen Teilchenpaaren, von Fluktuationen, vom Quantenschaum...
Wie ist es denn nun eigentlich um eine Entropie des Vakuums bestellt? Gibt es dazu irgendwelche Überlegungen oder kann man gleich von vorherein sagen, sie ist unveränderlich Null?
Generell würde ich zunächst einmal annehmen, dass man dem Vakuum keine Entropie zuordnet. Es ist ja ein ausgewogener, unveränderlicher Zustand - zumindest aus makroskopischer Sicht.

Wenn ich aber einmal von einem "übergeordneten Quantenvakuum" ausgehe, aus dem einst unser Kosmos entstand, so muss das Bild doch ein anderes sein. Immerhin gab es hier eine ganz gewaltige Fluktuation (zumindest eine, wenn nicht gar beliebig viele), welche die "Ordnung" des Vakuums gehörig störte. Auf den ersten Blick betrachtet müsste in diesem Fall die (virtuelle?) Entropie mal schnell heftig abgenommen haben...

Mir ist durchaus klar, dass man die Thermodynamik nicht auf einen Vakuumzustand anwenden kann, Wärme spielt dort ja keine Rolle. Aber irgendeine "Ordnung" muss es doch auch für das "Nichts" geben...

Was meint Ihr?

Gruß
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 31. Mär 2009, 20:49

Ein bisschen was kann ich dazu beitragen, aber sicher nicht endgültig die Fragen beantworten.

Für ein quantenmechanisches System, das einen bestimmten Makrozustand einnimmt, ist die Entropie S definiert als



Dabei ist k die Boltzmann-Konstante und N die Zahl der Mikrozustände, die zum selben Makrozustand führen.

Beispiel 1; klassische Betrachtung
Zwei Teilchen (jeweils Spin 1) koppeln zu einem Zustand mit Spin 0; dies ist durch folgende zwei Mikroszustände möglich: |+-) und |-+); |+-) steht dabei für |Teilchen A hat Spin +1, Teilchen B Spin -1). In diesem Falle wäre N=2.

Beispiel 1; exakte quantenmechanische Betrachtung für Bosonen
Zwei Teilchen (jeweils Spin 1) koppeln zu einem Zustand mit Spin 0; dies ist klassisch durch folgende zwei Mikroszustände möglich: |+-) und |-+); quantenmechaniasch muss jedoch der Gesamtzustand für Bosonen symmetrisch unter Vertauschung der beiden Teilchen sein, d.h. es existiert nur die Linearkombination |+-) + |-+). In diesem Falle ist N=1, also S=0.

D.h. aber, dass die Entropie immer dann exakt Null ist, wenn es für einen bestimmten Zustand nur genau einen Mikrozustand gibt. In den meisten Fällen wird das auch im dritten Hauptsatz der Thermodynamik so formuliert: Für T=0 gilt S=0. Damit hätte das Vakuum die Entropie Null.

Nun gibt es aber kompliziertere Vakuumzustände, wo mehrere (unendlich viele) Mikrozustände für minimale Energie existieren - Beispiel Higgs-Boson! Da weiß ich ggw. auch nicht, wie der Fall zu behandeln ist.
Gruß
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 1. Apr 2009, 19:50

Danke schon mal für Deine Antwort.
Da habe ich wohl ein Thema angeschnitten, das evtl. besser in die Grenzbereiche gepasst hätte...

Eventuell hat ja noch jemand Einblicke in diese Thematik?

Gruß
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 4. Apr 2009, 16:54

Vielleicht sollte ich mal grundsätzlich die Entropie in der statistischen Mechanik erklären.

Nehmen wir an wir hätten ein quantenmechanisches System, das sich in den Mikroszuständen befinden kann. Diese sind wie üblich orthonormale Vektoren in einem Hilbertraum.

Nun betrachten wir einen sogenannten Makroszustand , der durch den Dichteoperator beschrieben wird. Es gilt



D.h. die Wahrscheinlichkeit, im Makrozustand einen Mikroszustand zu finden, ist gegeben durch .

Der Makrozustand kann dabei z.B. ein Gas einer bestimmten Temperatur, der Mikrozustand z.B. ein bestimmter Impuls (eines Teilchens) sein. D.h. dass die Wahrscheinlichkeiten die Eigenschaften des Makrozustandes wiederspiegeln, die Mikroszutände jedoch immer die selben sind, unabhängig vom Makrozustand.

Die Entropie ist über die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Mikrozustände im Makrozustand definiert durch



Man sieht nun auch, wann die Entropie ihr Minimum 0 annimmt, nämlich dann, wenn ein sogenannter reiner Zustand vorliegt, d.h. wenn der Makrozustand sicher genau einem Mikrozustand entspricht. Nehmen wir z.B. an, das System sei im Grundzustand, dann ist








Sobald aber dieser Vakuumzustand entartet ist, d.h. sobald mehrere Zustände gleicher Energie existieren und keine Symmetriebrechung auftritt, könnte der Zustand definiert werden durch



Die Wahrscheinlichkeiten müssen normiert sein, also



Dabei nehme ich an, dass ich ein Kontinuum an Vakuumzuständen habe, die ich mit einer kontinuierlichen Variablen bezeichne. Nehme ich weiter an, dass alle Zustände gleich wahrscheinlich sind, so gilt



Dabei ist die mittlere Wahrscheinlichkeit und die Länge des Intervalls, über das integriert wird. Es gilt also



Setze ich das in die Definition der Entropie ein, so gilt



Dabei habe ich im letzten Schritt die Normierung benutzt. Nun schreibe ich das noch um zu



D.h. die Entropie ist hier ein Maß für die mögliche (quantenmechanische) Entartung. Sie zählt gewissermaßen die möglichen Vakuumzustände. Wenn ein reiner Zustand vorliegt, d.h. wenn keine Entartung vorliegt, dann ist die Entropie exakt Null

Nun gibt es also mehrere Schwierigkeiten bei der Definition der Entropie des Vakuums:
  • der Hilbertraum aller möglichen Mikrozustände muss bekannt sein
  • für den Grundzustand muss der Grad der Entartung bekannt sein
  • wenn ein gemischter Zustand vorliegt, dann muss erklärt werden, warum (die Statistik bzw. die Wahrscheinlichkeiten p sind ja nur ein Ausdruck unserer Unkenntnis!)
  • es ist zu klären, was eigentlich mit "Vakuum" gemeint ist (leerer Raum im Sinne der Quantengravitation ist jedoch sicher kein einfacher Zustand; da müsste man von "keinem Raum" sprechen)
  • es ist zu klären, ob weitere Effekte des "Vakuums" zu berücksichtigen sind, z.B. die Hintergrundstrahlung oder eine mögliche Entropie der Dunklen Energie
Gruß
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 4. Apr 2009, 20:03

Besten Dank für die Weiterführung!
Ich habe zwar nicht alles verstanden, sehe aber, dass dies ein ziemlich verzwicktes Thema ist - wie das Vakuum selbst.
Nicht zu fassen, wie kompliziert das Innere eines leeren Fahrradschlauchs sein kann! :lolol:

Summa summarum also besser keine Entropie fürs Vakuum definieren...

Danke,
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 4. Apr 2009, 20:51

Alles das, was ich mit Formeln beschrieben habe, ist "bekannte Physik" ohne irgendwelche geheimnisvolle Zutaten oder offenen Punkte. Über Fragen (und. ggf. Diskussionen) dazu würde ich mich freuen.

Nur die letzten Punkte sind dann eben teilweise etwas problematisch - aber dafür geht's da wieder ohne Formeln weiter ...

Insbs. müssten wir dann den Thread über das Vakuum wieder aufgreifen. Denn ohne zu wissen, was das Vakuum eigentlich ist, können wir natürlich seine Entropie nicht berechnen :-)
Gruß
Tom

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 24. Apr 2009, 19:44

Ich muss doch noch mal in diese Kerbe hauen, weil mich das Thema nicht in Ruhe lässt... :roll:

Also, unser Universum ist flach, die Expansion geht fast ewig weiter. Dabei wird die Entropie ständig zunehmen, bis sich alle Materie aufgelöst hat und selbst die Schwarzen Löcher restlos verdampft sind.
In diesem Moment dürfte die Entropie einen Maximalwert erreicht haben. Einverstanden?

Äonen weiter ist das Universum derart verdünnt, dass man es von einem "perfekten" Vakuum nicht mehr unterscheiden kann.
Wenn aber ein Vakuum keine Entropie hat, fällt dann jetzt diejenige unseres Universums vom Maximalwert auf Null herunter?
Ist so etwas überhaupt denkbar? Oder bleibt sie einfach auf dem Max.- Level stehen?
Ich bin ratlos...

Netten Gruß
gravi (temporary called "vacuum brain" :lolol: )
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von Maclane » 24. Apr 2009, 21:57

Mich beschleicht hin und wieder das Gefühl, dass unser Begriff der Entropie zu künstlich ist. Für "normale" Systeme okay, für das Universum am Anfang und am Ende aber nicht zu gebrauchen.

Gruß Mac
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 24. Apr 2009, 22:34

Je weiter sich das Universum ausdehnt, also je größer es wird, desto größer wird auch die Entropie der (immer kälter werdenden) Hintergrundstrahlung. Die Photonen verschwinden ja nicht, also wird auch deren Entropie nicht Null.
Gruß
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von Maclane » 25. Apr 2009, 02:45

Blöde Frage:

Die Photonen haben ihre Energie verloren. Wo ist die Energie denn hin?

Gruß Mac
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 25. Apr 2009, 09:33

Duch die Ausdehung des Universums werden die Wellenlängen der Photonen gestreckt (das ist im eigentlichen Sinne kein Dopplereffekt!) Langwelligeres Licht bedeutet geringere Energie.
Gruß
Tom

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von Maclane » 25. Apr 2009, 12:23

Und wohin verschwindet die Energie der Photonen? Sie kann doch nicht verloren gehen, sagt die Thermodynamik.

Mein laienhafter Verstand sagt mir, dass wenn der Raum die Wellenlängen streckt, dann hat der Raum, also das Vakuum, die Energie bekommen, die dem Licht genommen wurde. Kann das sein?

Gruß
Mac
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 25. Apr 2009, 20:01

Sehe ich auch so, Mac.
Irgendwann ist die Rotverschiebung so gut wie unendlich, d.h. die Photonen haben praktisch keinen Impuls mehr. Dann wirds wirklich dunkel und kalt im All. Und ab diesem Zeitpunkt kann man doch nicht mehr von einer Entropie sprechen, oder sehe ich das falsch?

Vermutlich haben wir es hier mit einem extremen Grenzfall der Physik zu tun, den wir derzeit noch nicht überschauen...

Gruß
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 26. Apr 2009, 11:33

Wir kreisen schon wieder um die Frage, wie man die Gesamtenergie eines expandierenden Universums beschreiben kann. Oder alternativ, wie man die Energie eines Photons innerhalb eines endlichen, expandierenden Volumens definieren kann. Da bisher alle meine Versuche, euch von der Problematik dieses Vorhabens zu überzeugen, auf Kritik gestoßen sind, muss ich wohl etwas mehr dazu nachlesen ...

Quasi-Local Energy-Momentum and Angular Momentum in GR: A Review Article

Das sind 140 Seiten, und bis ich die durchhabe, müsst ihr warten

:devil:
Gruß
Tom

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 26. Apr 2009, 19:47

Niemand will Dich kritisieren! Ganz bestimmt nicht, vielmehr habe zumindest ich ab und an Verständnisprobleme...

Da hast Du Dir aber etwas vorgenommen. Das ist ja ein Buch!
Na, dann bin ich mal gespannt...

Sonntäglichen Gruß
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 26. Apr 2009, 19:56

Hey, langsam. So hab' ich das gar nicht aufgefasst! Ich bin z.Zt. viel zu gut drauf, als dass mich sowas ärgern würde :g-star:

Es ist doch so:
- wir haben das Bedürfnis, die Themen Energiedichte des Gravitationsfeldes sowie Energieinhalt eines (expandierenden) Volumens zu verstehen
- wir stoßen seit einiger Zeit in unterschiedlichen Themenkomplexen immer wieder auf diese offensichtlich zentrale Fragestellung
- wir haben da gewaltige Probleme, vorwärts zu kommen
- ich kann eigentlich immer nur schreiben, warum das so oder so ähnlich nicht klappt

Schussfolgerung:
- ich versuche, mich schlau zu machen ...
- und euch dann darüber zu berichten (wobei ich bezweifle, dass ich das alles im Detail lesen und verstehen werde)

Also bis dann
Euer
Tom
Gruß
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 27. Apr 2009, 19:18

Das ist wirklich sehr nett von Dir! :verygood:

Aber: wird uns die Energiedichte des Gravitationsfeldes bzw. der Energieinhalt des Universums in der Frage der Entropie des Vakuums weiter bringen? Ehrlich gesagt sehe ich da noch keinen Zusammenhang.

Kann man eigentlich - um mal ein wenig abzuschweifen - den Energieinhalt des Kosmos nach der LQG nicht "einfach" berechnen?
Diese besagt ja, dass ein definiertes Raumgebiet nur eine maximale Energiemenge aufnehmen kann. Wird diese erreicht, wirkt die Gravitation nicht mehr anziehend sondern abstoßend - so erklärt sich die Expansion nach dem Urknall. Auf diese Weise vermeidet die LQG ja die Urknallsingularität. Also müsste der Energieinhalt rechnerisch erfassbar sein?

Schönen Gruß
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 27. Apr 2009, 21:23

"... dass ein definiertes Raumgebiet nur eine maximale Energiemenge aufnehmen kann ..."
Oh weh! Du hast den Artikel von Bojowald im Spektrum gelesen - stimmt's? Der gute Mann will es dem Laien anschaulich erklären - und stiftet dadurch Verwirrung. Ich behaupte mal ganz frecht, dass auch Herr Bojowald den Energieinhalt eines Raumgebietes in der LQG nicht definieren kann!

Die abstoßende Wirkung der LQG bei kleinen Abständen stammt aus einer Formel, die die Energiedichte des Materiefeldes dominiert. Dabei tritt ein Korrekturfaktor auf, der bei extrem kleinen Abständen wie ein stark abstoßendes Potential wirkt. Also ja - bei hohen Energiedichten des Materiefeldes wirkt die Gravitation abstoßend. Nein - ich sehe noch nicht, wie daraus der Energieinhalt eines Raumgebietes definiert werden könnte (evtl. geht das in der LQC wg. der extrem hohen Symmetrie).

Zu Frage, wie ich auf die Energie komme, wenn hier doch über die Entroppie geredet wird: ganz einfach ... ihr seid drauf gekommen :-)
"... dann hat der Raum, also das Vakuum, die Energie bekommen, die dem Licht genommen wurde ..."
Gruß
Tom

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von gravi » 28. Apr 2009, 19:49

Da muss ich Dir in jedem Punkt Recht geben... :wink:

Gruß
gravi
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von Maclane » 28. Apr 2009, 20:12

tomS hat geschrieben: Zu Frage, wie ich auf die Energie komme, wenn hier doch über die Entroppie geredet wird: ganz einfach ... ihr seid drauf gekommen :-)
"... dann hat der Raum, also das Vakuum, die Energie bekommen, die dem Licht genommen wurde ..."
Jaja, der Mac ist wieder alles schuld. :mrgreen:

Aber die Frage war doch berechtigt. Wohin verschwindet die Energie, die die Photonen durch die Expansion verlieren?

Naaaaguuuut..... ich hab ja inzwischen über meine Frage nachgedacht. ;)

Und ich denke, dass es einfach ein Fehler meinerseits gewesen ist. Man kann hierfür einfach nicht das Teilchenbild bemühen, das führt zu nichts (genausowenig wie man das Doppelspalt-Experiment mit dem Teilchenbild erklären kann).
Und die Abkühlung der Strahlung bedeutet nicht, dass Energie verloren geht oder woanders gewonnen wird. Das ist der gleiche Effekt wie bei schwarzen Löchern. Ein SL gewinnt ja auch keine Energie, nur weil das Licht von knapp außerhalb des EHs immer röter und röter wird.

Korrekt?
Okay, dann dürft ihr weitermachen. :mrgreen:

Gruß Mac
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roozy

Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von roozy » 17. Feb 2010, 19:54

hallo,

ich erlaube mir jetzt einfach mal, das Thema wieder aufzunehmen...
Meine Frage beschäftigt mich schon seit längerem, und ich habe noch nirgens eine Antwort darauf gefunden, deshalb:

Soweit ich weiß, gibt es Theorien, die besagen, dass das Universum nicht bis in alle Ewigkeit expandiert, sondern sich der Vorgang irgendwann umkehrt, und es zu kollabieren beginnt...
z.B. wird hier: http://www.spektrum.de/artikel/987527&_z=798888 unter anderem vom "big bounce" geredet.

Beginnt das Universum sich zusammenzuziehen, so SINKT doch die Entropie? (?bis sie in einer Singularität/einem Zustand in dem das Raumvolumen vollgepackt mit Energie ein Minimum erreicht?)
Wie ist das mit dem 2. HS der Thermodynamik vereinbar?

lg
Philipp

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von seeker » 17. Feb 2010, 21:27

Diese Frage habe ich mir auch schon gestellt.

Gilt der 2. HS der Thermodynamik nur in einem expandierenden Universum?
Drehte sich der thermodynamische Zeitpfeil, falls das Universum kontrahieren würde?
Ich meine, ich habe schon mal was in der Richtung gelesen (Hawking?)...

Ich hätte auch gleich noch eine Frage zur Entropie des Vakuums:

Wenn ich mir das Vakuum als Ausdehnung vorstelle, die mit völlig regellos entstehenden und vergehenden virtuellen Teilchen angefüllt ist, dann komme ich doch vielmehr zu dem Schluss, dass die Entropie des Vakuums nicht null sondern maximal sein muss?
Wie sollte ein völlig regelloses Gewusel denn noch regelloser werden können? (Wenn es Null hat, dann muss es doch wachsen können?)
Vielleicht darf man aber auch den Begriff Entropie gar nicht so ohne weiteres auf ein Vakuum anwenden, dafür wurde der Begriff zumindest nicht eingeführt. Er beschreibt thermodynamische Vorgänge. Wo keine Wärme, da kein sinnvoller Entropiebegriff?
Auf der anderen Seite ist ein völlig wärmeloses/strahlungsfreies Vakuum rein hypothetisch, da es in unserem Universum nicht verwirklicht ist...
Vielleicht läuft das wieder in die gleiche Richtung, wie die Frage nach einem Raum ohne Materie?
So langsam vermute ich, dass solche Fragen zu Paradoxien führen müssen - nicht wegen der Antworten, sondern wegen der nicht sinnvollen Art der Frage?

Grüße
seeker
Zuletzt geändert von seeker am 17. Feb 2010, 23:15, insgesamt 1-mal geändert.
Grüße
seeker


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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von tomS » 17. Feb 2010, 21:49

seeker hat geschrieben:Ich meine, ich habe schon mal was in der Richtung gelesen (Hawkins?)...
Der Herr heißt Hawking; Jim Hawkins ist der junge Held in der "Schatzinsel"; Sam dagegen der "Lehrer" von Old Shatterhand im wilden Westen ... beide werden uns wohl hier nicht weiterhelfen :-)

Der Zeitpfeil dreht sich wohl nicht um, denn er hat nicht direkt etwas mit der Energie sondern mit der Entropie zu tun.
Gruß
Tom

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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von seeker » 17. Feb 2010, 23:13

:lol: Da muss ich dir mal völlig widerspruchs- und diskussionslos, fraglos, absolut und unwiderruflich recht geben!

Ich hab's geändert.
Aber ich hab auch die Textstelle gefunden:

Stephen W. Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit
Das Anwachsen der Unordnung oder Entropie mit der Zeit ist ein Beispiel für das, was wir Zeitpfeil nennen, für etwas, das die Vergangenheit von der Zukunft unterscheidet, indem es der Zeit eine Richtung gibt. Es gibt mindestens drei verschiedene Zeitpfeile: den thermodynamischen Zeitpfeil, die Richtung der Zeit, in der die Unordnung oder Entropie zunimmt; den psychologischen Zeitpfeil, die Richtung, in der unserem Gefühl nach die Zeit fortschreitet, die Richtung, in der wir die Vergangenheit, aber nicht die Zukunft erinnern; und den kosmologischen Zeitpfeil, die Richtung der Zeit, in der sich das Universum ausdehnt und nicht zusammenzieht. (Seite 183)
Natürlich ist die Entropie gemeint.

Grüße
seeker
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Re: Vakuum und Entropie

Beitrag von roozy » 18. Feb 2010, 06:56

Unter der Annahme, dass sich der Zeitpfeil tatsächlich umdreht, sobald sich das Universum zusammenzuziehen beginnt:

Laufen dann nur noch Prozesse ab, beidenen die Entropie vom jetzigen Zeitpfeil aus betrachtet abnimmt?
Sprich, werden z.B. Gase dann statt zu diffundieren kompressiert?

Mir kommt die Antwort, dass sich der thermodyn. Zeitpfeil einfach umdreht sehr aus der Luft gegriffen vor^^
Damit erklärt man ja vorerst nichts, man definiert sich einfach eine Größe um sodass alles wieder passt...

schon gespannt auf die Antwort wartend,
Philipp

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