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von tomS » 20. Mär 2008, 09:58
Al hat recht, zunächst werden el.-mag. Wellen durch die klass. Maxwell-Gl. beschrieben. Deren quantisierte Form ist nicht die Schrödinger-Gl. Es gibt jedoch unter gewissen Randbedingungen eine Umformulierung der Maxwell-Gl., die zur Schrödinger-Gl. mathematisch äquivalent sind. Daher kann man für bestimmte q.-m. Effekte ein völlig anderes phys. System finden, das sich mittels der Maxwell-Gl. beschreiben lässt und das zu denselben Interferenzmustern führt. Insofern sind die klass. el.-mag. Welle und die q.m. Wahrscheinlichkeit (Wellenfunktion) in gewisser Weise mathematisch verwandt.
Dies war auch der Grund für die Akzeptanz und Beliebtheit der Schrödinger-Gl., da sie die Q.-M. nach der rein abstrakten Formulierung von Heisenberg wieder in eine „vertraute“ Form gebracht hat. Leider war diese Hoffnung jedoch trügerisch, wie man am Beispiel des Interferenzexperiments mit einzelnen Photonen (oder auch Elektronen) sieht, da hier zum einen die q.m. Beschreibung eines einzelnen Teilchens mittels Wellenfunktion zum Tragen kommt (das Photon interferiert mit sich selbst!), zum anderen die Wechselwirkung eines klass. Teilchens mit dem Messgerät / Detektor.
Also ganz klar: das Photon interferiert mit sich selbst und trägt somit die Basis für das Interferenzmuster mit sich herum.
Es gibt eine mathematisch äquivalente Beschreibung der Q.-M. mittels sogenannter Pfadintegrale. Ich hab darüber schon mal was geschriebene, allerdings in anderem Kontext, deswegen hier noch mal in Kürze:
Man geht aus von dem Begriff der klassischen Wirkung S. Das ist ein mathematischer Ausdruck, aus dem sich (im Falle von Punktteilchen) die Newtonschen Bewegungsgleichungen in einem Potential ableiten lassen. Damit kann man eine bestimmte Bahnkurve X in Form von x(t) ableiten (Man kann das auch für mehrere Dimensionen also Vektoren verallgemeinern). Man kann nun auch andere Bahnkurven betrachten, also Kurven, die die Newtonschen Bewegungsgleichungen nicht erfüllen, z.B. im Schwerefeld der Erde keine Ellipse o.ä., sondern eine Gerade. Und man kann für alle beliebeigen (!) Bahnen K die Wirkung S[K] berechnen. Das ist dann einfach eine Zahl, die von K abhängt, und zwar nicht nur von der Form, sondern auch von der Geschwindigkeit, mit der das Teilchen sich entlang der Bahn bewegt, also S[K] = S[x(t), dx(t)/dt]. Man stellt nun fest, dass Lösungen der Newtonschen Bewegungsgleichungen sich dadurch auszeichnen, dass für sie der Wert S[K] minimal wird, d.h. von allen gedachten Kurven K haben die Lösungen den kleinsten Wert S. Dies ist bekannt als Prinzip der kleinsten Wirkung und dient heute in allen physikalischen Modellen (von der Punktmechanik über z.B. Elektromagnetismus, Quantenmechanik bis hin zu Stringtheorie) als einheitlicher Ausgangspunkt für deren Lösung.
Die Quantisierung, also die Ableitung eine q.-m. Theorie für eine klass. Theorie bedeutet nun, eine Formulierung zu finden, die bestimmte Eigenschaften der klass. Formulierung übernimmt, die es aber erlaubt, systematisch Quanteneffekte zu berechnen. So enthält z.B. die Quantenelektrodynamik in einem bestimmten Grenzfall alle Ergebnisse der klass. Elektrodynamik (d.h. die Maxwell-Gl.) aber natürlich auch darüberhinausgehende Quanteneffekte. Eine mögliche Quantisierung ist die sogenannte Pfadintegralquantisierung, in der zunächst keine Wellenfunktionen vorkommen.
Man nimmt dazu die o.g. Wirkung S, berechnet ihren Wert für alle denkbaren Pfade K (das sind überabzählbar unendlich viele!) und berechnet dafür das sogenannte Pfadintegral. Formal schreibt man das als
\fed\mixonZ = int(,,,) DK e^(iS[K])
Dabei ist Z eine Zahl (der Wert des Pfadintegrals), S wieder die Wirkung, DK entspricht dem dx in einem normalen Integral (die genaue mathematische Definition interessiert hier nicht). Für K setzt betrachtet man nun alle Pfade, die zwei vorgegeben Punkt miteinander verbinden, also z.B. einen Punkt (die Photonenquelle) und die möglichen Endpunkte x der Bahn K auf dem Beobachtungsschirm oder Detektor. Dann erhält man für jeden Endpunkt x eine Zahl Z[x].
\fed\mixonZ(x) = int(,,,x) DK e^(iS[K])
Man kann nun beweisen, dass dieses Z(x) genau der Wellenfunktion der Schrödinger-Gl. entspricht.
D.h. aber man hat eine mathematisch äquivalente Darstellung der Q.-M:, die folgende Interpretation nahelegt: Jedes einzelne Photon (oder ein anderes Teilchen) bewegt sich gemäß der Q.-M. entlang aller möglichen Bahnen K. Alle diese „virtuellen“ Photonen entlang der „virtuellen“ Bahnen interferieren zum Schluss miteinander und produzieren an den Orten x ein reales Photon mit der Wahrscheinlichkeit |Z(x)|².
@derNeugierige: Man kann die Schrödinger-Gl. und die Pfadintegralmethode so erweitern, dass sie mehrere Teilchen oder sogar unendlich viele Teilchen beschreibt (z.B. in der Festkörperphysik zur Berechnung von Halbleitereigenschaften, Supraleitern usw.). Wenn man bestimmte Theorien quantisiert, stellt man fest, dass man sogar dazu gezwungen wird, dies zu tun, da es sowohl mathematisch als auch physikalisch möglich ist, Teilchen zu erzeugen und wieder zu vernichten. Z.B. muss eine vollständige Beschreibung eines Lasers erklären, wieso zum einen angeregte Atome existieren und zum anderen Atome im Grundzustand plus Photonen. D.h. die Teilchenzahl (hier die Zahl der Photonen) muss variieren können. Diese Formulierungen (Laser: QED) sind seit Jahrzehnten Handwerkszeug der Physiker und produzieren Ergebnisse mit phantastischer Genauigkeit = Übereinstimmung mit dem Experiment. Sie erlauben auch eine gemeinsame Beschreibung von Mikro- und Makrokosmos, indem sie nämlich Näherungslösungen gestatten, aus denen sich makroskopische Größen als Grenzfall ableiten lassen.
Leider hat diese Beschreibung jedoch noch überhaupt gar nichts mit der ART zu tun. Und das liegt daran, dass alle diese Formulierungen voraussetzen, dass es eine klassische Raum-Zeit gibt (meist wird sie verträglich mit der SRT gewählt, also der flache Minkowski-Raum), auf der sich das alles abspielt. Alle mathematischen Konstrukte (Wellenfunktionen, Pfadintegrale, QED, …) setzen bestimmte Begriffe bzw. deren Existenz voraus. Insbs. ist der Abstand zweier Punkte der Raum-Zeit ein notwendiger Input. Man muss also zuerst sagen können, dass für beliebige Punkte a und b der „Abstand“ in der Raum-Zeit definieren lässt. Erst dann kann man die o.g. Formalismen anwerfen. Bei der Quantisierung der Gravitation / der ART funktioniert genau dies nicht, da der Begriff Abstand nichts ist, was man hineinstecken darf, sondern die Theorie muss es erst produzieren. Und genau dieses Entstehen der klass. Raum-Zeit ist es, was man heute versucht mathematisch zu greifen. Es ist vergleichbar mit der QED: Man steckt eine Input rein (es gibt Elektronen, Positronen und Photonen, sowie Atomkerne, die man näherungsweise als elementar betrachtet), man rechnet einige Jahre bis Jahrzehnte rum, und erhält schließlich Ergebnisse wie „es gibt Metalle mit diesen oder jenen Eigenschaften“. Gewissermaßen produziert die Theorie mathematisch diese physikalischen Strukturen. Genau dies erwartet man von einer Quantengravitation und genau dies funktioniert ggw. nur in Ansätzen.
Es gibt außerdem noch andere Ergebnisse, die eine TOE Produzieren sollte, und davon ist man sogar noch viel weiter entfernt. Z.B: möchte man verstehen, warum es gerade den Elektromagnetismus, die schwache und die starke Wechselwirkung gibt, warum gibt es sechs Quarks (u,d,s,c,b,t) und nicht nur zwei, oder acht? Warum gibt es nicht noch weitere Wechselwirkungen? Oder weniger? Warum haben Elektronen eine Ladung von -1e, Quarks aber drittelzahlige Ladungen 1/3 und 2/3? Warum sind die Massen der Elektronen, Quarks und Neutrinos genau so, wie sie sind? Warum sind die Teilchen nicht schwerer oder leichter? Warum haben sie überhaupt Masse und nicht alle masselos? Diese Fragen hat man gerade erst angekratzt, d.h. man ist davon noch viel weiter weg als von der Quantengravitation.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
: Vielleicht habe ich ja die Lösung, um die TOE zu finden. 
