Darstellungstheorie der Lorentzgruppe

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Darstellungstheorie der Lorentzgruppe

Beitrag von tomS » 27. Jul 2008, 12:51

Bevor ich selbst etwa schreibe hier ein Link auf eine Seminararbeit, die das ganze m.E. sehr gut erklärt.
- Lorentzgruppe
- Rotationen, Boosts
- infinitesimale Erzeugende, Algebra
- Spinordarstellungen
- Casimir-Operatoren

http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadm ... orentz.pdf
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

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Beitrag von tomS » 4. Aug 2008, 22:32

Kurze Tips zum ersten Lesen bzw. Auslassen.

1. klar

2. überspringen

3. klar

3.1 Lorentzgruppe besteht aus mehrere Teilen; im folgenden interessiert im wesentlichen die S(3,1), d.h. die eigentliche, orthochrone Lorentzgruppe ohne Raum- und Zeitspiegelung
SO(3,1) enthält die Rotationen = Transformationen in ein rotiertes (nicht rotierendes !!!) Bezugssystem sowie Boosts = Transformationen in ein bewegtes (nicht beschleunigendes !!!) Bezugssystem

3.2 Poincaregruppe enthält die Lorentzgruppe sowie (neu) Translationen

4. überspringen

4.1 "nicht-assoziativ" ist hier eher uninteressant

4.1.1 man muss sich nur merken,dass in der Praxis die Elemente der Algebra Matrizen sind, für die bestimmte Gleichungen gelten müssen; außerdem steht hier, dass man zu einer Liegruppe die Liealgebra bestimmt, in dem man die Elemente der Gruppe in eine Taylorreihe (deren Elemente Matrizen sind) entwickelt. Man betrachtet also infinitesimale Rotationen oder Boosts, d.h. mit infinitesimalem Drehwinkel bzw. Boost-Parameter

4.1.2 Beispiel hier irrelevant

4.2, 4.2.1 überspringen (ist theoretisch interessant, braucht man in der Praxis aber nicht)
4.2.2 Mit den Paulimatrize kann man mal rumspielen = multiplizieren, Kommutator [ ... , ... ] berechnen, damit man sieht, um was es geht.

5.1 hier die beiden Transformationen, nämlich Rotationen (mit sin und cos) sowie die Boosts (mit sinh und cosh). Man kann in die Definition von sin und cos über die komplexe e-Funktion mal imaginäre Winkel einsetzen, dann kommt man auf sinh und cosh. Das ist im wesentlichen auch der Grund für die SO(3,1) statt der SO(4).
Seite 7: Dann berechnet man die Taylorentwicklung von R bis zur linearen Ordnung und erhält M.
die letzte Darstellung kann man wieder überspringen

5.2 Hier ist nur wichtig, dass man eben eine Cliffordalgebra der Dirac- oder Gamma-Matrizen konstruieren möchte. Man kann sich einfach merken, dass in vier Dimensionen entsprechend der SO(3,1) als Symmetriegruppe der vierdimensionalen Raumzeit die Dirac-Matrizen ebenfalls vierdimensionale sind.

6., 6.1, 6.2, 6.3 und alles was im Folgenden mit der SL(2,C) zu tun hat, kann man überspringen (und später nachlesen)

6.4 hier wird der Zusammenhang zwischen den Gruppen SO(3,1) und SL(2,C) sowie der Algebra so(3,1) hergestellt; kann man auch erstmal weglassen

6.5 wichtig!
man betrachtet jetzt wieder die M-Matrizen; davon gibt es sechs, sie sind über den doppelten oberen Index definiert. warum sechs? es gibt drei Drehungen und drei Boosts.
Jetzt werden aus den M die J und K berechnet, die physikalisch bedeutungsvoll sind. J sind die Drehungen, K die Boosts. Dabei gibt es drei J's und drei K's, wobei ein J bzw. K immer eine 4*4 Matrix ist.
zu den Vertauschungsrelationen (diese definieren letztlich die Lorentzgruppe):
J,J: der Kommutator zweier J's ergibt ein neues J, d.h. zwei unterschiedliche, infinitesimale Drehungen J enstprechen sowas wie einer dritten Drehung J; Drehachsen stehen senkrecht aufeinander
K,K: hier erhält man aus dem Kommutator zweier Boosts K eine Drehung J; mathematisch liegt es im wesentlichen an den imaginären Drehwinkeln, dass man keine dritten Boost K bekommt
J,K: ergibt wieder einen Boost


7. spannend - das hat jetzt was mit SL(2,C) zu tun
Man definiert neue Matrizen T, die einer komplexen Mischung aus Rotation und Boost entsprechen. Der Witz dabei ist, dass die dabei entstehenden zwei Gruppen = SU(2,C) * SU(2,C) miteinander vertauschen. D.h. dass man sowas wie eine komplexe Drehgruppe für zweidimensionale, komplexe Vektoren definieren kann. Davon gibt es nun offensichtlich zwei verschiedenen (das sind die verschiedenen T's mit einmal + und einmal -).

7.1 und 7.2 hier werden die beiden Gruppen betrachtet. Sie sind strukturell identisch, man würde normalerweise gar nicht über zwei verschiedene Gruppen sprechen, aber man hat sie parallel aus der einen SO(3,1) abgeleitet, d.h. sie existieren quasi nebeneinander, ohne direkt voneinander zu wissen - haben aber eine gemeinsame Abstammung.
Die hier auftretenden Tupel bzw. Zweier-Spalten sind nun die sogenannten Spinoren.

Wichtig ist, dass die Matrizen J und K sowie die T's auf Ebene der Algebra so aussehen, als ob sie die ganz normale Lorentzgruppe erzeugen würden. Die Darstellung der Lorentzgruppe über die komplexe e-Funktion, d.h. die Matrizen A in 7.1 und 7.2 sind nun aber das besondere, denn im Exponenten steh statt i ein i/2. Der Winkel entspricht dem ganz normalen Drehwinkel, d.h. wenn man Vektoren in der vierdimensionalen Raumzeit mit einer Matrix R aus 5.1 rotiert, dann muss man gleichzeitig Spinoren mit A aus 7.1 und 7.2 rotieren. Der Witz ist nun, dass bei 360° der Spinor nicht in sich selbst überführt wird, sondern ein Minuszeichen erhält; Spinoren muss man also um 720° rotieren, dass sie wieder mit sich selbst zur Deckung kommen!!!

7.3 jetzt werden die beiden SU(2,C) Gruppen zu einer SU(2,C)*SU(2,C) zusammengesetzt, dabei entstehen die Viererspinoren.

8. Casimiroperatoren sind Matrizen, die mit allen anderen bisher definierten Matrizen vertauschen, d.h. ihr Kommutator [ ... , ... ] mit allen J's und K's bzw. den ursprünglichen M's ist Null. Man betrachtet dazu den Impuls P sowie den "relativistischen Spin" W.

Wichtig ist, dass viele Matrizen bisher nicht eindeutig waren. So kann man z.B. J's, K's und T's definieren, die weniger oder Elemente haben, also z.B. die o.g. 2*2 T-Matrizen. Die Elemente der Matrizen oder die Dimension sind also nicht das entscheidende, sondern nur die Vertauschungsrelationen [ ... , ... ], die sind immer gleich. Man spricht von unterschiedlichen Darstellungen. In unterschiedlichen Darstellungen haben nun aber die Casimiroperatoren P² und W² unterschiedliche Werte - und die haben physikalische Relevanz, nämlich im wesentlichen Masse m und Spin s der Teilchen. Die zweidimensionalen Darstellungen (1/2, 0) und (0, 1/2) haben nun nichts mit einer zweidimensionalen Raumzeit zu tun, die Spinoren leben nach wie vor in einer vierdimensionalen Raumzeit. Z.B. können die Spinorkomponenten Funktionen von x sein.

Man kann mathematisch alle Darstellungen klassifizieren und findet, dass m² größer Null und s=0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ... sein muss. Halbzahliges s=1/2 und 3/2 bedeutet Fermionen in Spinordarstellung. Ganzzahliges s=0, 1, 2 bedeutet Skalar- Vektor- und Tensordarstellung:
s=1/2 sind z.B Elektron, Neutrino, Quarks (sowie nicht elementare Teilchen wie Protonen)
s=0 wäre z.B. das Higgs (sowie nicht elementare Teilchen wie Pionen)
s=1 ist z.B. das Photonen
s=2 wäre das Graviton
s=3/2 wären bestimmte supersymmetrische Partnerteilchen, z.B. das Gravitino
ab s=5/2 gibt es andere Gründe, warum diese Darstellunegn physikalisch nicnht sinnvoll sind - man nimmt jedenfalls heute an, dass mit s=2 Schluss ist.

9. überspringen
Gruß
Tom

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