mit ist was interessantes aufgefallen. Vor einiger Zeit wurde ja die Poincare-Vermutung bewiesen Dabei spielt eine Differentialgleichung, der sogenannte Ricci-Fluss, eine wesentliche Rolle.
Ein simples Analogon ist die Wärmeleitungsgleichung:
Dabei ist U die Temperatur (oder eine äquivalente Energieform). Die Gleichung beschreibt, dass sich die Temperatur mit der Zeit gleichverteilt, dass also Energie mit der Zeit von heißeren zu kühleren Stellen fließt.
Ein ähnliches Konzept steckt hinter dem Ricci-Fluss:
Dabei ist g die Metrik der Mannigfaltigkeit und R der Ricci-Tensor, der aus dem Riemannschen Krümmungstensor berechnet werden kann:
Ich kenne ihn nur aus der Relativitätstheorie (für vierdimensionale Räume), im Falle der Poincare-Vermutung wurde der Ricci-Tensor jedoch für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet, die Zeit t hat nichts mit der Zeit in der ART zu tun.
Der Ricci-Fluss beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die dafür sorgt, dass sich für die Ricci-Krümmung eine "Gleichverteilung" (wie oben für die Temperatur einstellt), d.h. dass die Krümmung von stark gekrümmten zu schwächer gekümmten Regionen der Mannigfaltigkeit "fließt" und eine Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung entsteht.
Hamilton vor ca. 20 Jahren versucht, mit Hilfe des Ricci-Flusses zu beweisen, dass jede dreidimensionale Mannigfaltigkeit aus bestimmten einfachen Mannigfaltigkeiten zusammengesetzt werden kann. Dabei tritt jedoch das Problem auf, dass der Ricci-Fluss Singularitäten entwickeln kann. Perelman hat dann 2003 bewiesen, dass man diese Singularitäten kontrollieren kann. Daraus folgt als Sonderfall die Poincare-Vermutung, die besagt, dass jede dreidimensionale Mannigfaltigkeit, in der sich eine geschlossene Schleife auf einen Punkt zusammenziehen lässt, einer drei-Sphäre entspricht (eines der Milleniums-Probleme der Mathematik)
In der ART spielt der Ricci-Fluss m.W.n. keine Rolle.
