Neues von den Lie Gruppen - Kac-Moody Gruppen
Verfasst: 13. Okt 2008, 23:41
Ich hab in Neues von den Lie Gruppen ja versucht, die Reihe der exzeptionellen Gruppen E6, E7, und E8 weiter fortzusetzen - und bin dabei auf einige Hindernisse gestoßen.
Nach einigem Forschen im Web bin ich aber darauf gestoßen, dass es tatsächlich derartige Objekte gibt.
Dazu muss man nochmal einiges über die Lie-Alegebren bzw. die damit eng zusammenhängenden Gitter erzählen: Zu jeder Lie-Algebra gehört ein sogenannten Gitter aus Wurzelvektoren - und umgekehrt. Das Gitter kristallographisch, d.h. es ist eine periodisches Gitter (in n Dimensionen) und entspricht im wesentlichen einem (n-dimensionalen) Kristall. Man kann aus den Generatpren der Lie-Algebra ein derartiges Gitter konstruieren und umgekehrt aus einem Gitter wiederum eindeutig die Generatoren der Lie-Algebra zurückgewinnen.
Meine Frage war nun, warum dies für die bekannten Gitter der A-, B-, C- und D-Serie für beliebige n funktioniert, jedoch nicht für E. D.h. warum gibt es SU(n), SO(2n), SO(2n+1) und Sp(n) in jeder beliebigen Dimension n - die E Serie jedoch nur für N=6, 7 und 8?
Wenn man diese "Kristallgitter" untersucht, so stellt man etwas erstaunliches fest. Sie leben in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein Skalarprodukt definiert werden kann. Versucht man, von E8 nach E9 überzugehen, so scheitert diese Konstruktion (zunächst) daran, dass der neu hinzugekommene Vektor eine Eigenschaft des Skalarproduktes zerstört, nämlich dass es positiv definit ist. D.h. obwohl bestimmte Vektoren (komponentenweise) ungleich Null sind, haben sie bzgl. dieses neuen Skalarproduktes doch die Länge Null! Damit handelt es sich jedoch nicht um einen gewöhnlichen Vektorraum, sondern um einen sogenannten affinen Raum.
Man klassifiziert die Lie-Algebren nach ihren Gittern und für diese führt man sogenannte Dynkin-Diagramme ein. Jeder Vektor des Gitters wird durch einen Knoten veranschaulicht; 90° zwischen zwei Vektoren entspricht keiner Linie, 120° entspricht einer Linie, weitere Möglichkeiten existieren, sind jedoch erstmal nicht von Belang.
Für die D-Serie erhält man
Für die E-Serie erhält man
Dabei ist n+1 = 9 eigentlich nicht mehr erlaubt, da das entsprechende affine Gitter im euklidischen Raum nicht existiert.
Man kann jedoch formal diese neue Algebra zulassen und versuchen, aus den neun Wurzelvektoren die gesamte Algebra zu rekonstruieren. Im Falle einer gewöhnliche Lie-Algebra erhält man nach einer endliche Anzahl von Schritten alle Generatoren der Algebra. Diese erfüllen i.A. eine Beziehung
Man kann dies z.B. für die Pauli-Matrizen der SU(2) explizit berechnen:
Im Falle der affinen Lie-Algebren (oder nach den Entdeckern: affinen Kac-Moody-Algebren) bricht diese Konstruktion nicht ab. Man erhält eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra.
Dabei entspricht die neue affine Lie-Algebren unendlich vielen "Kopien" der ursprünglichen Lie-Algebra. Die Generatoren erhalten einen weiteren Index n (der beliebige ganze Zahlen durchäuft) und die Vertauschungsrelationen lauten
Für m=n=0 erhält man die ursprüngliche, endliche Lie-Algebra als Unteralgebra zurück.
K ist ein neuer Generator, der mit allen anderen Generatoren vertauscht.
Leider gibt es für die Kac-Moody Algebren keine anschauliche Darstellung mittels (endlichdimensionaler) Matrizen.
Nach einigem Forschen im Web bin ich aber darauf gestoßen, dass es tatsächlich derartige Objekte gibt.
Dazu muss man nochmal einiges über die Lie-Alegebren bzw. die damit eng zusammenhängenden Gitter erzählen: Zu jeder Lie-Algebra gehört ein sogenannten Gitter aus Wurzelvektoren - und umgekehrt. Das Gitter kristallographisch, d.h. es ist eine periodisches Gitter (in n Dimensionen) und entspricht im wesentlichen einem (n-dimensionalen) Kristall. Man kann aus den Generatpren der Lie-Algebra ein derartiges Gitter konstruieren und umgekehrt aus einem Gitter wiederum eindeutig die Generatoren der Lie-Algebra zurückgewinnen.
Meine Frage war nun, warum dies für die bekannten Gitter der A-, B-, C- und D-Serie für beliebige n funktioniert, jedoch nicht für E. D.h. warum gibt es SU(n), SO(2n), SO(2n+1) und Sp(n) in jeder beliebigen Dimension n - die E Serie jedoch nur für N=6, 7 und 8?
Wenn man diese "Kristallgitter" untersucht, so stellt man etwas erstaunliches fest. Sie leben in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein Skalarprodukt definiert werden kann. Versucht man, von E8 nach E9 überzugehen, so scheitert diese Konstruktion (zunächst) daran, dass der neu hinzugekommene Vektor eine Eigenschaft des Skalarproduktes zerstört, nämlich dass es positiv definit ist. D.h. obwohl bestimmte Vektoren (komponentenweise) ungleich Null sind, haben sie bzgl. dieses neuen Skalarproduktes doch die Länge Null! Damit handelt es sich jedoch nicht um einen gewöhnlichen Vektorraum, sondern um einen sogenannten affinen Raum.
Man klassifiziert die Lie-Algebren nach ihren Gittern und für diese führt man sogenannte Dynkin-Diagramme ein. Jeder Vektor des Gitters wird durch einen Knoten veranschaulicht; 90° zwischen zwei Vektoren entspricht keiner Linie, 120° entspricht einer Linie, weitere Möglichkeiten existieren, sind jedoch erstmal nicht von Belang.
Für die D-Serie erhält man
Für die E-Serie erhält man
Dabei ist n+1 = 9 eigentlich nicht mehr erlaubt, da das entsprechende affine Gitter im euklidischen Raum nicht existiert.
Man kann jedoch formal diese neue Algebra zulassen und versuchen, aus den neun Wurzelvektoren die gesamte Algebra zu rekonstruieren. Im Falle einer gewöhnliche Lie-Algebra erhält man nach einer endliche Anzahl von Schritten alle Generatoren der Algebra. Diese erfüllen i.A. eine Beziehung
Man kann dies z.B. für die Pauli-Matrizen der SU(2) explizit berechnen:
Im Falle der affinen Lie-Algebren (oder nach den Entdeckern: affinen Kac-Moody-Algebren) bricht diese Konstruktion nicht ab. Man erhält eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra.
Dabei entspricht die neue affine Lie-Algebren unendlich vielen "Kopien" der ursprünglichen Lie-Algebra. Die Generatoren erhalten einen weiteren Index n (der beliebige ganze Zahlen durchäuft) und die Vertauschungsrelationen lauten
Für m=n=0 erhält man die ursprüngliche, endliche Lie-Algebra als Unteralgebra zurück.
K ist ein neuer Generator, der mit allen anderen Generatoren vertauscht.
Leider gibt es für die Kac-Moody Algebren keine anschauliche Darstellung mittels (endlichdimensionaler) Matrizen.