Neues von den Lie Gruppen - Kac-Moody Gruppen

Beitrag von **tomS** » 13. Okt 2008, 23:41

Ich hab in Neues von den Lie Gruppen ja versucht, die Reihe der exzeptionellen Gruppen E6, E7, und E8 weiter fortzusetzen - und bin dabei auf einige Hindernisse gestoßen.

Nach einigem Forschen im Web bin ich aber darauf gestoßen, dass es tatsächlich derartige Objekte gibt.

Dazu muss man nochmal einiges über die Lie-Alegebren bzw. die damit eng zusammenhängenden Gitter erzählen: Zu jeder Lie-Algebra gehört ein sogenannten Gitter aus Wurzelvektoren - und umgekehrt. Das Gitter kristallographisch, d.h. es ist eine periodisches Gitter (in n Dimensionen) und entspricht im wesentlichen einem (n-dimensionalen) Kristall. Man kann aus den Generatpren der Lie-Algebra ein derartiges Gitter konstruieren und umgekehrt aus einem Gitter wiederum eindeutig die Generatoren der Lie-Algebra zurückgewinnen.

Meine Frage war nun, warum dies für die bekannten Gitter der A-, B-, C- und D-Serie für beliebige n funktioniert, jedoch nicht für E. D.h. warum gibt es SU(n), SO(2n), SO(2n+1) und Sp(n) in jeder beliebigen Dimension n - die E Serie jedoch nur für N=6, 7 und 8?

Wenn man diese "Kristallgitter" untersucht, so stellt man etwas erstaunliches fest. Sie leben in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein Skalarprodukt definiert werden kann. Versucht man, von E8 nach E9 überzugehen, so scheitert diese Konstruktion (zunächst) daran, dass der neu hinzugekommene Vektor eine Eigenschaft des Skalarproduktes zerstört, nämlich dass es positiv definit ist. D.h. obwohl bestimmte Vektoren (komponentenweise) ungleich Null sind, haben sie bzgl. dieses neuen Skalarproduktes doch die Länge Null! Damit handelt es sich jedoch nicht um einen gewöhnlichen Vektorraum, sondern um einen sogenannten affinen Raum.

Man klassifiziert die Lie-Algebren nach ihren Gittern und für diese führt man sogenannte Dynkin-Diagramme ein. Jeder Vektor des Gitters wird durch einen Knoten veranschaulicht; 90° zwischen zwei Vektoren entspricht keiner Linie, 120° entspricht einer Linie, weitere Möglichkeiten existieren, sind jedoch erstmal nicht von Belang.

Für die D-Serie erhält man

$\begin{eqnarray} {\tiny n+1} & & {\tiny n} & & & & {\tiny 4}& & {\tiny 3}& & {\tiny 2} \\ \bullet & - & \bullet & - & \cdots & - & \bullet & - & \bullet & - & \bullet \\ & & & & & & & & | & \\ & & & & & & & & \bullet & \\ & & & & & & & & {\tiny 1} \end{eqnarray}$

Für die E-Serie erhält man

$\begin{eqnarray} {\tiny n+1} & & {\tiny n} & & & & {\tiny 4}& & {\tiny 3}& & {\tiny 2} \\ \bullet & - & \bullet & - & \cdots & - & \bullet & - & \bullet & - & \bullet \\ & & & & & & | & & & \\ & & & & & & \bullet & & & \\ & & & & & & {\tiny 1} & & \end{eqnarray}$

Dabei ist n+1 = 9 eigentlich nicht mehr erlaubt, da das entsprechende affine Gitter im euklidischen Raum nicht existiert.

Man kann jedoch formal diese neue Algebra zulassen und versuchen, aus den neun Wurzelvektoren die gesamte Algebra zu rekonstruieren. Im Falle einer gewöhnliche Lie-Algebra erhält man nach einer endliche Anzahl von Schritten alle Generatoren der Algebra. Diese erfüllen i.A. eine Beziehung

$\[T^a, T^b\] = if^{abc}T^c$

Man kann dies z.B. für die Pauli-Matrizen der SU(2) explizit berechnen:

$T^a = \sigma^a / 2$

$f^{abc}_{\tiny SU(2)} = \epsilon^{abc}$

Im Falle der affinen Lie-Algebren (oder nach den Entdeckern: affinen Kac-Moody-Algebren) bricht diese Konstruktion nicht ab. Man erhält eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra.

Dabei entspricht die neue affine Lie-Algebren unendlich vielen "Kopien" der ursprünglichen Lie-Algebra. Die Generatoren erhalten einen weiteren Index n (der beliebige ganze Zahlen durchäuft) und die Vertauschungsrelationen lauten

$\[T^a_m, T^b_n \] = if^{abc}T^c_{m+n} + Km\delta^{ab}\delta_{m, -n}$

Für m=n=0 erhält man die ursprüngliche, endliche Lie-Algebra als Unteralgebra zurück.
K ist ein neuer Generator, der mit allen anderen Generatoren vertauscht.

Leider gibt es für die Kac-Moody Algebren keine anschauliche Darstellung mittels (endlichdimensionaler) Matrizen.

Beitrag von **tomS** » 15. Okt 2008, 07:06

Eine wichtige Info habe ich noch unterschlagen: So wie Beispiel von E8 (positiv-definites Skalarprodukt => endlich-dimensionale Lie-Algebra) und E9 (positive-semidefinites Skalarprodukt => unendlich-dimensionale affine Kac-Moody-Algebra) funktioniert das auch für andere Algebren.

Man schreibt dann übrigens nicht mehr

$A_n, B_n, C_n, D_n, E_n$

sondern man kennzeichnet die Sonderrolle durch eine hochgestellten Index, also

$A_n^{(1)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}, E_n^{(1)}$

Damit entspricht "meine" E_9 eigentlich der E_8^(1)

Für die o.g. Serien gibt es also eine Möglichkeit, jeweils eine affine Algebra zu erzeugen; nur im Fall von E9 sieht sie strukturell analog zu E8 aus; in anderen Fällen sehen die Diagramme etwas anders als die bekannten Diagramme. Insbs. gilt nicht A_n^(1) = A_(n+1) usw! Insofern ist die E9 eine Ausnahme.

Meine urpsrüngliche Fragestellung, ob man die E-Serie unbegrenzt erweitern kann, ist damit natürlich noch nicht gelöst, denn ich habe ja nur genau eine Erweiterung gefunden. Tatsache ist, dass man dann auch zu E10, E11 usw. übergehen kann.

Für die E10 hat man es mit einem hyperbolischen Raum (ähnlich dem Minkowski-Raum) zu tun, d.h. statt der Metrik (+1, +1, ... , +1) hat er die Metrik (+1, +1, ..., +1, -1). Man konstruiert also ein "Kristallgitter" in einem Raum mit einer Zeitdimension. Hier tritt also ein neuer seltsamer Effekt auf!

Dann gibt es die E11 - über die man noch wenig weiß - und die in der M-Theorie (einer Erweiterung der Stringtheorie) eine Rolle spielt. Soweit ich weiß kann man auch höhere E12 usw. kosntruieren, aber diese Algebren sind praktisch nicht untersucht; man kennt ihre Eigenschaften, Darstellungen und Anwendungen kaum bzw. gar nicht.