DGL lösen?

[Otz]

Hallo, ich wollte mal einen Massepunkt eine Halbschale runterrutschen lassen, und gucken wie schnell die im tiefsten Punkt wird. Allerdings wollte ich die Reibung berücksichtigen. Jetzt bin ich auf folgende DGL gestoßen, die ich nicht gelöst bekomme:

g*cos(φ)-rμω²=rα

g,r und μ sind Konstanten.
Am Anfang ist φ=0; am Ende φ=PI/2;

φ = Auslenkung (0° im höchsten Punkt, 90° im tiefsten)
ω = Winkelgeschwindigkeit
α = Winkelbeschleunigung

Für jeden Tipp bin ich sehr Dankbar.

Gruß

Robert

[tomS]

Sieht schwierig aus:

Zunächst mal gehe ich davon aus dass ω bzw. α die erste bzw. zweite Ableitung von φ nach der Zeit sind - richtig?

Jetzt zu der (neuen) DGL:

g*cos(φ) - rμ (dφ/dt)² = r d²φ/dt²

Zunächst erinnert mich die an die Gleichung eines Pendels. Auslenkung ist wieder φ, der cos kommt von der Formel der potentiellen Energie. Wenn du eine Koordinatentransformation für den Winkel durchführst, dann kannst du den cos durch den sin ersetzen, also

g*sin(φ) - rμ (dφ/dt)² = r d²φ/dt²

Wenn du jetzt den Reibungsterm weglässt, dann ist das tatsächlich die Gleichung für ein gewöhnliches Pendel. Erste Schwierigkeit: sie ist nicht-linear in φ. Um die zu lösen musst du eine Trennung der Variablen durchführen. Dazu führst du die Gleichung in eine äquivalente Gleichung ersten Grades über (d.h. es gibt keine zweite Ableitung d²φ/dt² mehr). Dazu drückst du die Gesamtenergie E des Pendels durch φ sowie durch die Winkelgeschwindigkeit dφ/dt aus. Das sieht wie folgt aus:

E(φ, dφ/dt) = E°

E° ist erhalten und hängt von deine Konstanten g und r. Zunächst löst du die Gleichung nach dφ/dt auf, dann nach dt. Du erhältst schließlich sowas wie

dt = dφ * f(φ, E°)

Diese Gleichung integrierst du nun formal: t von 0 bis T und φ von φ° bis φ. Dann lautet das Ergebnis

T = F(φ, E°) - F(φ°, E°)

mit der Stammfunktion F. Das Ergebnis musst du nun nach φ = φ(T) auflösen und hast die gewünschte Schwingung. Bevor du jetzt zu rechnen anfängst hier die zweite Schwierigkeit: Das Integral für F ist nicht elementar bestimmbar, sondern ein sogenannten elliptisches Integral. Die Eigenschaften kann man in einschlägigen Büchern oder unter folgendem Link nachsehen: http://mathworld.wolfram.com/. Problem ist, dass das Auflösen nach φ ebenfalls nicht mehr elementar möglich ist.

Wenn man das gewöhnliche Pendel betrachtet, dann macht man meist folgende Näherung: man setzt die Auslenkung φ als klein an (das ist aber in deinem Fall falsch, weil du ja eine Auslenkung von 90° beschreiben möchtest!!!), entwickelt den sin in eine Taylorreihe und behält nur den ersten Term, das ist genau φ. Damit hast du die Gleichung für einen harmonischen Oszillator

g φ - rμ (dφ/dt)² = r d²φ/dt²

Nun hast du noch den Reibungsterm rμ (dφ/dt)². Normalerweise betrachtet man den gedämpften harmonischen Oszillator mit einem Reibungsterm, der linear in der Geschwindigkeit ist, also in (dφ/dt).

g φ - rA dφ/dt = r d²φ/dt²

Den gedämpften harmonischen Oszillator löst du mit einem e-Funktions-Ansatz, also

φ(t) = exp{ω°t}

Beim Einsetzen in die DGL. bekommst du für jede Ableitung eine Potenz in ω° und musst letzlich eine quadratische Gleichung für ω° lösen. Die Anwesendheit der Reibung erkennst du daran, dass ω° komplex wird. Re ω° < 0 beschreibt die Reibung (= Dämpfung mittels e-Funktion), Im ω° beschreibt die Schwingung, also sin und cos.

Was ich beschrieben habe wäre ein erster Schritt zur Lösung einer Gleichung wie

g*sin(φ) - rA dφ/dt = r d²φ/dt²

Dazu müsstest du das elliptische Integral in Anwesendheit des Reibungstermes lösen. Du hast mit dem obigen Ansatz das Problem, dass du nicht mehr nach dt auflösen kannst, da du sowohl erste als auch zweite Ableitungen in deiner DGL auftreten. Oder anders formuliert, der Umweg über die Energiefunktion ist nicht mehr möglich, da die Energie in Anwesendheit von Reibung eben keine Erhaltungsgröße mehr ist.

Ob es ein derart verallgemeinertes elliptisches Integral gibt, weiß ich nicht, müsstest du nachforschen.

Bei deinem Orginalansatz hast du insgs. die Problematik, dass du eine Nichtlinearität in φ mit einer in dφ/dt kombinierst. Ich kann dir da wenig Hoffnung machen.

Was du probieren kannst ist Störungstheorie. Dazu betrachtest du eine exakte Lösung φ° einer vereinfachten DGL, also

g*sin(φ°) = r d²φ°/dt²

Dann setzt du φ = φ° + φ' in die exakte DGL ein, also in

g*sin(φ) - rA dφ/dt = r d²φ/dt²

oder deine mit dem nichtlinearen Reibungsterm und entwickelst diese nach Potenzen von φ'. Für die erste Ordnung Störungstheorie setzt du alle Terme mit φ'², φ'³, ... = 0 und löst die resultierende Gleichung für φ'. Damit hast du eine Korrektur zu φ° erhalten. Es gibt eine exakte Methode, die Störungsreihe in allen Ordnungen formal hinzuschreiben. Vom Lösen rede ich lieber nicht, da du ja (wie oben erwähnt) schon zu Beginn auf nicht gerade einfache Funktionen stößt.

Ich würde an der Stelle entweder die Literatur oder alternativ das Internet durchforsten - oder eine numerische Lösung wählen. Zuerst würde ich die Gleichung

g*sin(φ) = r d²φ/dt²

numerisch integrieren und prüfen, ob das Ergebnis mit den elliptischen Integralen zusammenpasst. Anschließend würde ich deinen nichtlinearen Reibungsterm rμ (dφ/dt)² einbauen und die Stabilität der Lösung überprüfen. Nichtlineare Terme führen häufig zu Instabilitäten, d.h. z.B. die "Lösung" divergiert.

Hoffe, das hilft weiter

[Otz]

Hey cool, danke für deine Hilfe. Also deine
Das wird ja wirklich kompliziert. Hatte auch schon an so eine Art Pendel gedacht. Im Prinzip ist es ja auch nix anderes, nur dass es ein Klotz ist, der auf einer Schale runterrutscht. Das Problem ist halt, dass die Fliehkraft (Auflagekraft) zu V² proportional ist. Habe jetzt ein c++ Programm geschrieben, was das Problem nummerisch löst. Wobei ich analytische Lösungen immer elegater finde, als nummerische.

Also, vielen Dank für die schnelle Hilfe...

Gruß

Robert


p.s.

Deine Annahme ist genau richtig:

Zitat:
Zunächst mal gehe ich davon aus dass ω bzw. α die erste bzw. zweite Ableitung von φ nach der Zeit sind - richtig?

Jetzt zu der (neuen) DGL:

g*cos(φ) - rμ (dφ/dt)² = r d²φ/dt²