Differential- Und Integralrechnung

[breaker]

Sind denn die Aussagen

- [a,b] ist ein endliches Intervall und f ist innerhalb dieses Intervalls beschränkt
und
- f hat im Intervall [a,b] keine Singularität

äquivalent?

[tomS]

Nein.

Zunächst ist die Aussage, dass [a,b] ein endliches Intervall ist, ist unabhängig von den anderen; man benötigt sie, da unendliche Werte des Integrals dann sicher auf den Integranden zurückzuführen sind. Außerdem können dann Limes und Integral vertauscht werden, falls der Integrand gewisse Kriterien erfüllt.

Auch Beschränktheit und Singularitätenfreihet sind zwei unterschiedlche Konzepte. Zum einen muss man annehmen, dass der Integrand nur abzählbar unendlich viele Singularitäten hat. Eine Singularität ist dabei ein Begriff aus der Differentialrechnung. I.A. bedeutet dies, dass die Funktion eine Sprungstelle oder sogar Lücke hat oder dass sie aus anderen Gründen, z.B. Unendlichkeit nicht definiert werden kann.

Es gibt Singularitäten, die keine negativen Auswirkungen auf die Integrierbarkeit haben. Knicke oder Sprünge um einen endlichen Betrag sind z.B. harmlos. Unendlichkeiten können, müssen aber nicht die Integrierbarkeit zerstören. Z.B. kann beim Integrieren von f(x) mit einer Singularität bei X eine Stammfunktion F(x) entstehen, die an der selben Stelle X regulär ist und somit integriert werden kann. Auch schlimmere Singularitäten können bei einer geeigneten Definition des Integralbegriffs unproblematisch sein. So kann man z.B. das Integral so definieren, dass das Integral der Funktion 1/x über das Integral [-a, +a] exakt Null ist.

Ich nehme die Beschränktheit deswegen an, da sonst bestimmte seltsame Effekte möglich sind. Z.B. kann man Funktionen betrachten, für die für "fast alle" Punkte der Limes exakt Null ist, für die das Integral jedoch entweder nicht definiert ist oder bei einer geeigneten Definition eben nicht Null ergibt.

Es gibt verschiedene Begriffe des Limes einer Funktion. Der ist wesentlich schwieriger zu behandeln als der Grenzwert einer Punktefolge. Man muss nämlich betrachten, wie sich die Gesamtheit aller Punkte der Funktion bei dem Grenzübergang verhält. Die von mir angegeben Voraussetzungen sind ziemlich stark, d.h. es gibt sicher viele Funktionen, für die sie nicht gelten, aber für einen Start ist das doch ausreichend, oder? Welche Klasse von Funktionen soll denn betrachet werden?

[breaker]

Es geht um meromorphe Funktionen, das heißt, wenn Singularitäten vorkommen, sind es Pole.
Es waren mehrere Anwendungen des Residuensatzes, bei dem man eben bei einem Kurvenintegral oft ein R gegen unendlich gehen lässt, damit ein Teilintegral verschwindet.

[tomS]

Jetzt war ich auf dem völlig falschen Dampfer; in deiner Formel war R gegen unendlich nicht lesbar!

Bei meromorphen Funktionen ist das aber eigentlich ganz einfach: Auf dem Integrationsweg selbst liegen keine Singularitäten, die Funktion (bzw. ihr Betrag) ist beschränkt. Andere Integrationswege sind nicht zulässig, d.h. weder liegt ein Pol darauf, noch eine wesentliche Singularität (letztere gibt es bei meromorphen Funktionen nicht; wesentliche Singularitäten gibt es z.B. beim Logarithmus - der ist auf der gesamten negativen Halbachse nicht definiert; oder z.B. bei der e-Funktion für Radius gegen unendlich - dabei ist nur ein Halbkreis zulässig, der jeweils andere muss ausgeschlossen werden).

Dann benötigt man lediglich noch eine Abschätzung, wie sich für R gegen unendlich der Betrag des Integranden verhält, dazu kann man eine asymptotische Entwicklung in Potenzen von R durchführen.

[breaker]

In meinem ursprünglichen Beitrag hieß es auch nicht R ->∞, ich hab nur gedacht, die allgemeine Lösung wäre vielleicht genau so einfach wie die für unendlich.

Sag mal, hat der Logarithmus entlang der negativen reellen Achse wirklich eine Singularität?
Soviel ich weiß, ist es dort nur nicht analytisch. Und es gilt doch

[tomS]

Zunächst mal grundsätzlich: in der Funktionentheorie werden die Begriffe "nicht-analytisch" und "singulär" im wesentlichen für den selben Sachverhalt verwendet. Singulär bedeutet dabei nicht, dass der Wert einer Funktion unendluch wird, sondern lediglich, dass sie dort nicht definiert ist.

Es gibt unterschiedliche Formen von Singularitäten.

Die einfachsten sind die Pole. Es handelt sich dabei um sogenannte isolierte Singularitäten; in jeder beliebig kleinen Umgebung U eines Pols lässt sich wiederum ein Gebiet V definieren, innerhalb dessen die Funktion regulär ist. U ist z.B. eine Kreisscheibe mit dem Pol als Mittelunkt, V ist eine Kreisscheibe im Inneren von U, die den Pol nicht enthält. Ein Pol (bei z=0) liegt vor, wenn die Funktion ein Verhalten wie
f(z) ~ 1/z, 1/z², ...
oder eine endliche Summe derartiger Terme aufweist.

Eine weitere Form (eine sogenannte wesentliche Singularität) liegt vor, wenn statt der endlichen Summe eine unendliche Summe vorliegt. Ein Beispiel ist die Funktion exp(-1/z²); betrachtet man sie entlang der reellen Achse z=x, so stellt man fest, dass sie für x=0 zusammen mit allen Ableitungen identisch 0 ist, denn exp(-1/x²) geht gegen 0, wenn x gegen 0 und damit 1/x² gegen Unendlich geht. Betrachtet man sie jedoch entlang der imaginären Achse z=iy, so erhält man statt dessen exp(1/y²), und das geht gegen Unendlich für y gegen 0.

Der Logarithmus hat nun eine nicht-isolierte Singularität. Berechnet man für
z=r*exp(iφ)
den Logarithmus, so findet man
ln(z) = ln(r) + iφ.
Nun ist aber
exp(iφ) = exp(iφ + 2kπi)
und damit
ln(z) = ln(r) + iφ + 2kπi.
D.h. der Logarithmus wird mehrdeutig, da man zum Argument φ beliebige Vielfache k von 2πi hinzuzählen kann.
Begründung: Betrachtet man eine kreisförmige Kurve mit Radius r
z(φ) = r*exp(iφ)
um den Nullpunkt r=0, so findet man für jedes r, dass der Wert von φ entlang der Kurve von 0 bis 2πi variiert. Im Logarithmus bedeutet dies nun, dass dieser einen Sprung aufweist, denn nach einer vollen Umkreisung des Nullpunktes entlang der Kurze ist zwar der Wert von z wieder derselbe, nicht jedoch der Wert von ln(z), der hat einen Sprung um 2πi gemacht. D.h. aus der stetigen Funktion
f(z) = z
wird eine unstetige Funktion
ln f(z)
Da die Unstetigkeit für alle r gilt, handelt es sich um eine linienförmige Singularität. Man kann sich theoretisch aussuchen, entlang welcher Linie man diesen Sprung haben möchte, die positive Achse oder jede andere Halbgerade wäre ebenfalls zulässig; aus praktischen ud historischen Gründen legt man diesen Sprung entlang der negativen Achse.

[breaker]

Guten Morgen.

Physiker sind do schlampig im Vergleich zu Mathematikern. Ich hatte neulich im Vorkurs als Übungsaufgabe und dachte, ich nutze das Beispiel mal, um eine Verständnisfrage zu stellen (ja, ich weiß schon, dass x rauskommt). Ich hab den Tutor gefragt, ob man sich das als schreiben und dann so tun kann, als ob sich das dt wegkürzt.
Die Antwort war: "Ja, die Mathematiker sehen das nicht so gerne, aber als Physiker kann man das machen."
Das stört mich unheimlich, weil ich sehr gerne mal wissen möchte, was man darf und was nicht. Zum Beispiel schreibt man in der Physik einfach immer .
Bildet man in der Mathematik das totale Differential einer Funktion f(x,y), dann ist . Wenn man da einfach ein Integral davorschreibt, erhält man im allgemeinen aber nicht die Funktion f, also ist in der Mathematik .

[AlTheKingBundy]

nun ja die physiker machen sich das leben gerne einfach, was ich auch gar nicht so schlecht finde, wenn das ergebnis stimmt. die natur ist von grund auf einfach, das sollte auch das streben des physikers sein, diese einfachheit zu ergründen, auch wenn das manchmal sehr schwer ist wie hat es einstein mal formuliert?

man soll sich die dinge so einfach wier möglich machen. aber nicht einfacher.

kein physiker wird ein integral df mit f gleichsetzen, wenn die integrationskonstante iene physikalische bedeutung hat!

im gegenzug könnte man sagen, dass die mathematiker alles unnötig verkomplizieren, was einer praktischen anwendung oft wenig entgegenkommt. das optimum liegt wahrscheinlich in der goldenen mitte.

[tomS]

Das ganze sieht nur in einer Dimension so einfach aus. I.A. müsste man derartige formale Überlegungen mit sogenannten Differentialformen durchführen. Eine Differentialform ist sowas wie eine Verallgemeinerung von Funktionen f, g, ... kombiniert mit Differentialen dx, dy, ...

Eine Funktion



ist eine Differentalform nullter Ordnung.

Das totale Differential aus deinem Beispiel ist eine spezielle Differentialform erster Ordnung. I.A. erhält man diese aus allgemeinen Funktionen



Für das totale Differential gilt speziell



In diesem speziellen Falle schreiben die Mathematiker einfach



und nennen dies eine exakte Differentialform.

Nun gibt es für derartige exakte Differentialformen den Satz von Stokes, der besagt dass das Integral über ein n dimensionales Gebiet G einer exakten Differentialform dem Integral über den n-1 dimensionalen Rand des Gebietes entspricht:



Beispiel: sei G eine Kreisscheibe mit dem Rand gleich der Kreislinie. Der Satz besagt, dass das Integral über dein totales Differential df(x,y) dem Linienintegral entlang der Kreislinie über die Funktion f(x,y) entspricht. Das Beispiel gilt für Räume beliebiger Dimension.

In drei Dimensionen erhält man den Spezialfall, der auf die Rotation eines Vektorfeldes führt.

Im Falle von nur einer Dimension wird das ganze sehr übersichtlich, denn dann besteht der Rand eines Gebietes aus den beiden Endpunkten. Variiert man nun die Obergrenze bei fester Untergrenze, so erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, nachdem das Integral über die Ableitung einer Funktion die Funktion reproduziert. Das hast du ja auch beschrieben.

In höheren Dimensionen funktioniert das alles nicht mehr, da dort eben das Integral über den Rand eines Gebietes stehenbleibt und der Begriff der Stammfunktion keinen Sinn mehr ergibt. Also gilt dieses nette "Kürzen des Bruchs" bzw. die einfache Formel dx* df/dx = df eben nur in einer Dimension.

[breaker]

Ich hätte den Thread glaub lieber Analysis nennen sollen.
Ich hätte eine Frage zu Nullstellen von Polynomen, die mir heute morgen in den Kopf geschossen ist und mich seitdem plagt.
Abel hat ja bewiesen, dass es für die Nullstellen eines Polynoms fünfter oder höherer Ordnung keine Formel mehr in der Art wie die Mitternachtsformel geben kann. Bedeutet das nun, dass es Polynome gibt, deren Nullstellen man überhaupt nicht exakt berechnen kann?
Das dürfte eigentlich nicht sein, denn beispielsweise mit dem Newton-Verfahren kann man ja leicht eine Folge konstruieren, die gegen die Nullstelle konvergiert. Und wenn man die Folge kennt, muss man doch auch den Grenzwert bestimmen können.
Wenn es schon unmöglich ist, eine Formel zu finden, die Alle Nullstellen auf einmal ausspuckt, wie die Mitternachtsformel, so könnte es auf diese Weise ja vielleicht möglich sein, für jede Nullstelle eine extra Formel zu finden oder ähnliches.
Zumindest müssen die Nullstellen doch irgendwie in den Koeffizienten drinstecken, denn die entstehen doch eigentlich aus den Nullstellen, wenn man das Polynom in der Form schreibt und ausmultipliziert. (die bezeichnen hier natürlich die Nullstellen)

[Xathan]

Diese Aussage wurde von meinem Mathedozenten auch getroffen.
Wir betrachten glücklicherweise meist nur Polynome bis zur 4. Ordnung und konnten bisher alle Nullstellen entweder durch Testen oder aber mittels P-Q-Formel sowie Bisektion herleiten.
Sekanten- und Tangentialverfahren wurden nur genannt, aber noch nicht besprochen, wobei letzteres ja das Newton-Verfahren ist, mit dem sich eine Nullstelle recht gut eingrenzen lässt.

Ich würde bei deinem Beispiel immer mit Testen bzw. Ausklammern versuchen, mindestens eine Nullstelle zu berechnen und das Restpolynom dann mittels Faktorisierung in eine Ordnung kleiner 5 zu zerlegen. Ebenso sollte man ja auch immer testen, ob eine Nullstelle mehrmals vorkommt, um die Ordnung noch einmal zu verkleinern. Das wären meine Lösungsansätze für Polynome.

[tomS]

Hallo breaker,

ich verstehe nicht genau, was du möchtest.

Suchst du eine Art Algorithmus, iterativ alle Nullstellen zu bestimmen?

[breaker]

Ich möchte wissen, ob es für Polynome vom Grad größer vier möglich ist, eine Formel für mindestens eine Nullstelle zu finden, in der nur die Koeffizienten und vielleicht noch der Startwert der Newton-Folge vorkommen. Könnte ja möglich sein, dass bei der Newton-Folge sowas als Grenzwert herauskommt. Für die Geometrische Reihe beispielsweise hat man ja auch die Formel 1/(1-q).

[tomS]

Also ohne Numerik geht das nicht.

Angenommen, du hättest eine Formel, die aus einem Polynom n-ten Grades P(x, n) eine Nullstelle x° generiert.
Dann hättest du auch eine Formel, die ein neues Polynom P'(x, n-1) gemäß P'(x, n-1) = P(x, n)/(x-x°) generiert.
Damit hättest du aber (durch Iteration) doch eine Formel, die genau das leistet, was eben laut Abel nicht funktioniert (war es Abel oder Galois?)

Bei der numerischen Behandlung kenne ich mich nicht so gut aus.

[breaker]

Stimmt, wenn man eine Nullstelle hätte, hätte man dann alle und es stünde im Widerspruch zu Abel.
Das war mir nicht aufgefallen...

[breaker]

Hi.
Normalerweise versuche ich es zu vermeiden, solche Fragen im Forum zu stellen, aber ich hab ewig recherchiert und nix vernünftiges gefunden (obwohl das Problem zugegebenermaßen banal klingt):

Wie komme ich denn von der Krümmung einer Kurve u(t) (definiert als , für konstant) auf die Krümmung eines Funktionsgraphen im zweidimensionalen Fall ?

Also ich weiß, dass man u(t)=(t , f(t))[up]T[/up] schreiben kann und dann irgendwie umparameteisieren muss. Ich hab versucht, nach der Bogenlänge zu parametrisieren und auszurechnen, aber da kam Unsinn raus.

[breaker]

Ja, die Herleitung kenne ich, aber wo ist da der Zusammenhang mit ?

Mein Problem ist, dass die obige Definition nur für natürlich parametrisierte Kurven gilt (also |d/dt(u(t))|=const), dass aber u(t)=(t , f(t))[up]T[/up] im Allgemeinen nicht natürlich parametrisiert ist. Also müsste man, um daraus den Term für die Krümmung herzuleiten, auf jeden Fall umparametrisieren, aber wenn ich eine Parametertrafo s(t) nehme, bekomme ich unweigerlich Terme mit f(s(t)), mit denen ich nichts anfangen kann und die ich nicht mehr wegbekomme.

[breaker]

Bedeutet das, dass meine Krümmung nicht DIE Krümmung ist, sondern sie anders beschreibt?

(die Formel stammt aus einem Differentialgeometrie-Skript unseres Analysis-Profs, deshalb gehe ich davon aus, dass sie ihren Sinn hat)

[breaker]

Und warum gilt ?

[breaker]

Ah, hab's jetzt mit Polarkoordinaten für r' durchgerechnet, und es kommt perfekt |r''|/|r'|² = k raus.
Danke für die Hilfe, das mit dem Winkel war ein guter Tipp.