Fragen

[breaker]

Ich hab noch ein Randproblem:
Wilfried hat geschrieben, das dx bekommen wir, indem wir x nach phi ableiten und mit phi multiplizieren. Aber haben wir dann nicht eher ein ∂x als ein dx?

Ich meine, mich zu erinnern, dass man, wenn man die Ableitung dy/dx in Polarkoordinaten haben will, x und y als Funktionen von r und phi auffasst und dann jeweils das totale Differential bildet.

Müsste dann das dx nicht eigentlich: dx = cos(phi)∙dr - r∙sin(phi)∙d(phi) sein?


(Ach ja, ich hab den Thread jetzt mal in 'Fragen' umbenannt.)

[Ray Light]

Zu Deinem Randproblem, breaker:

Ich verstehe, woraus Du hinaus willst. Du hast das totale Differential der Funktion
\fedon x(r,\phi)
\fedoff
schon richtig notiert, nur betrachtest Du r ja in Deinem Beispiel als eine Konstante, so dass bei der Substitution gilt
\fedon
x = r \ cos\phi
dx = -r \ sin\phi \ d\phi
\fedoff

Nehmen wir an, es handelt sich um ein Flächenintegral (Doppelintegral) und Du willst Deinen Integranden
\fedon
f(x, y)
\fedoff
von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten
\fedon
f(r, \phi)
\fedoff
transformieren. Dann kommt die Jacobi-Determinante J zum Einsatz:
\fedon
int(int(f(x,y),x),y)=int(int(f(x(u,v),y(u,v)) J,u),v)
\fedoff
Dabei gilt
\fedon
J= det(pdiff(x,u),pdiff(x,v);pdiff(y,u),pdiff(y,v))
\fedoff
Hier steht mit voller Berechtigung die partielle Ableitung, weil u und v variabel sind.

Speziell bei den Polarkoordinaten
\fedon
x = r \ cos\phi
y = r \ sin\phi
\fedoff
wird J recht einfach:
\fedon
J= det(pdiff(x,r),pdiff(x,\phi);pdiff(y,r),pdiff(y,\phi))=det(cos\phi,-r sin\phi; sin\phi, r cos\phi)= r ((cos\phi)^2 + (sin\phi)^2) =r
\fedoff

Ein empfehlenswertes Mathe-Taschenbuch, das ich bezüglich Kurven-, Oberflächen-, Volumenintegration, Gaußscher und Stokesscher Satz sowie krummlinige Koordinaten sehr schätze, lautet:

Bourne & Kendall: Vektoranalysis
Teubner Studienbücher Physik
(260 Seiten)
ca. 15 Euro

Gruß,
Ray

[breaker]

Erstmal danke für die Antwort und den Buchtitel. Ist das ein Lehrbuch oder mehr so etwas wie eine Formelsammlung?

[Ray Light]

Hallo.

"Vektoranalysis" von Bourne & Kendall ist ein kleines Lehrbuch, mit dem das Arbeiten richtig Spaß macht. Es gibt darin Rechenbeispiele und Lösungen.

Es ist eine ideale Ergänzung für Physiker, z.B. für die Mathematik, die man in der Elektordynamik braucht (div, grad, rot in verschiedenen Koordinatensystemen; Integralsätze). Es ist ansprechend geschrieben (nicht im typischen "Satz-Beweis-Lemma-Stil" der Mathematikbücher).

Die beiden Autoren sind Mathematiker aus England. Das Buch ist zwar im Original von 1967 und die deutsche Übersetzung von 1988, aber da die Inhalte Grundwissen sind, spielt das keine Rolle.

Die Kapitel lauten:
1.) Rechtwinklige kartesische Koordinaten und Drehung der Achsen
2.) Skalar- und Vektoralgebra
3.) Vektorfunktionen einer reellen Variablen, Differentialgeometrie von Kurven
4.) Skalar- und Vektorfelder
5.) Kurven-, Oberflächen und Volumenintegrale
6.) Integralsätze
7.) Anwendungen auf Potentiale
8.) Kartesische Tensoren
9.) Sätze über die Darstellung invarianter Tensoren

Ich habe es im Internet für 8 und sogar für knapp 3 Euro gefunden.

Gruß,
Ray

[breaker]

Ich hab mal kurz ne grundlegende Randfrage:
Bei der Herleitung der Thomson'schen Schwingungsgleichung nach dem Energieerhaltungssatz hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Thomsonsch ... sgleichung

Wird ziemlich am Anfang die ganze Gleichung nach t abgeleitet. Aus Q² wird dann beispielsweise Q· \fed\mixonQ^* .
Warum?
Irgendwas passt da in meinem Kopf nicht. Ich versuchs mal zu erklären. Wenn ich eine Funktion f(x) = x habe, habe ich eine Gerade. Schön. Dann wäre doch wohl f(x)² = x², oder?
Nach der Regel von oben müsste ja dann (f(x)²)' = f(x)·f'(x) sein.
Nun ist aber f(x)·f'(x) = x·1
Und x² abgeleitet gibt 2x.
Nicht das Gleiche.
Das ist mein Problem.
Wo ist mein Fehler?

(Ach ja, und weiß jemand, warum das Opimath-zeugs da oben nicht geht?)

[Bhood]

mhm... in der Gleichung taucht ja 1/2 auf, dass nach dem Ableiten nicht mehr da ist. Somit stimmt (f(x)²)' = f(x)·f'(x) nicht weil es (f(x)²)' = f(x)· f'(x) * 2 heißt. In der Gleichung wurde dadurch 1/2 weggekürzt.
Kann das sein?

Gruß

[breaker]

Keine Ahnung, aber das 1/2 kann man auch einfach so wegkürzen, auf der anderen Seite steht ja Null. Da kann man die ganze Gleichung mal 2 nehmen und dann ist es auch weg. Weiß nicht, welches von beidem gemacht wurde.

[gradient]

Hallo breaker,

du musst nach der Kettenregel ableiten:
\fedon\mixondiff(Q^2,t)=2*Q*diff(Q,t)=2QQ'
Übrigens ist (f(x)^2)'=2f(x)*f'(x)
\fedoffMit deinem Beispiel kommt dann dasselbe heraus.

[wilfried]

Lieber breaker

machen wir es etwas präziser:

Ich schreibe:
1/2 * L * dQ(t)/dt * dQ(t)/dt + 1/(2C) * Q(t) * Q(t) = E_ges

Wir leiten den ersten Term ab:

1/2 * L * d/dt ( dQ(t)/dt * dQ(t)/dt) =

bevor wir das tun, schu bitte in die Klammer. Da stehen 2 Ausdrücke, welche abgeleitet werden wollen. Eine Ableitung eines Produkts erfolgt nach der Kettenregel:
u*v' + v*u' also tun wir das und erhalten (ich vereinfache ab hier die zeitleiche Ableitung mit dem oben indizierten Strich und alle folgenden Ableitungen mit oben indizierten Strichen:

1/2*L * ( Q' * Q'' + Q'' * Q' ) = 1/2 * L * 2*Q'*Q'' = L*Q'*Q''

2. Term:

1/(2*C) * d/dt( Q^2(T)) = 1/(2*C) * d/dt * (Q(t) * Q(t) ) und dafür gilt das selbe wie vorhin: Kettenregel:

1/(2*C) * ( Q * Q' + Q' * Q) = 1/(2*C) * 2*Q*Q' 1/C*Q*Q'

Voila und das ist das Ergebnis.

Merk Dir: werden Terme der gleichen Abhängigkeit miteinander multipliziert bzw. dividiert gelten stets Produkt bzw. Quotientenregeln.

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Okay, danke an alle, habs jetzt.
Eigentlich logisch.

[breaker]

Was ich mich schon lange mal gefragt habe: Wie kann man bei einer irrationalen Zahl denn überhaupt wissen, dass sie unendlich viele Nachkommastellen hat?

Bei periodischen Zahlen ist mir das vollkommen logisch. Wenn man 100 schriftlich durch 3 teilt, dann kommt man in eine Endlosschleife, in der immer nur noch 3er rauskommen.
Aber, wenn jede Stelle nach dem Komma eine andere ist, woher kann man dann wissen, dass die Zahl nicht nach der nächsten Stelle aufhört??

[Stephen]

Servus @breaker!

Wie wir an anderer Stelle schon mal besprochen haben, könnte u. U. schon ein anderes Zahlensystem diesen "Konflikt" beseitigen. Für uns Menschen ist "PI" eine unendlich lange Zahl - selbst die allerbesten Computer fügen nach Billionen von Nachkommstellen immer noch eine weitere hinzu - ähnlich den Primzahlen.

Dabei sind wir Menschen mit Sicherheit nicht ungenau, haben unsere Arithmetik mit Zehner-Zahlen-System, 360-Grad-Rechnung (Winkelfunktionen) und 24-Stunden-Tag (basierend auf 60 Sekunden pro Minute) hübsch eingegrenzt. Vielleicht fehlen uns die Sekunden, die aller 5 Jahre durch einen 29. Februar wieder dazugefügt werden *g* - war ein Scherz, kann ja wieder "rausgerechnet" werden...

Wenn "Pi" nach 1,6 Billionen Stellen noch keine 0 stehen hat gibt es nur zwei Möglichkeiten: Akzeptieren oder weiter nachforschen. Dabei wird aber nicht nur unsere Spezies an Grenzen stoßen: Ich habe die Vermutung, dass sich im Universum "winzigste" Nuancen ändern (Naturkonstanten inbegriffen) - aber eben über einen Zeitraum von Milliarden von Jahren...

Gruß, Steffen

[wilfried]

Lieber breaker

die komplexen Zahlen sind orthogonal verbundene Einzelwerte. So ist z.B. 3 + j7 anzusehen als 3 auf der x-Achse und 7 auf der y-Achse. Die komplexe Zahl selber stellt sich als geometrische Verknüpfung dar. Sieh das so in diesem Beispiel:

Du "malst" das wie oben erzählt. Wegen der Orthogonalität ist ein rechter Winkel vorhanden. Damit ergibt sich die eigentliche Zahl aus dem Pythagoras der Einzelkomponenten, der Winkel dieser Zahl aus dem tangens der beiden Achsenkomponenten.

Damit lassen sich ebenfalls Zahlen unendlich vieler Nachkommastellen konstruieren.

Gruß

Wilfried

[breaker]

Warum ist 1 eigentlich keine Primzahl?

Das hab ich in der Realschule mal gehört, nicht verstanden und mir keine weiteren Gedanken mehr drüber gemacht.

[Stephen]

Ganz einfach:
Die Zahlen 0 und 1 sind nicht zusammengesetzt - die grundlegende Voraussetzung für eine Primzahl. Die erste Zahl, die diese Bedingung erfüllt, ist die 2...

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Gruß, Steffen

[Stephen]

@tensor:
Stimmt, ich hatte das was durcheinander gebracht...

[breaker]

Solche Definitionssachen gefallen mir irgendwie nicht, aber danke für die Antwort.

Anderes Problem:
Wenn man viele Punkte in einem Koordinatensystem gegeben hat und eine Ausgleichsgerade durchlegen will, die die Lage aller Punkte möglichst gut berücksichtigt, wie bestimmt man da den Funktionsterm?
Die Summe der Abstandsquadrate der Punkte von der Gerade muss minimal werden, soviel weiß ich.
Ich habs versucht zu rechnen, aber es kam Unsinn raus:

[gradient]

Hallo breaker,

du bist ja eigentlich schon am Ziel. Nur: wie kommst du auf zwei selbe Gleichungen? In der ersten Gleichung steht ja ein x_i davor. Das ist doch der Unterschied zur zweiten Gleichung!

[breaker]

Aber wenn man die erste durch x_i dividiert, bekommt man die zweite. Die sind ja beide gleich Null, und mit dem Gauss-Algorithmus kommt man da auf nix. Das ist im Prinzip schon nur eine Gleichung.

[gradient]

Man kann die erste Gleichung wohl eher nicht durch x_i dividieren, weil davor ein Summenzeichen steht. Du kannst ja mal das x_i in die Klammer bringen und dann die Summe "ausschreiben". Du siehst dann, dass man nicht durch x_i teilen kann, weil ja auch x_1, x_2, ..., x_n vorkommt.

[breaker]

Guter Einwand. :idea:

[breaker]

@Wilfried: Ich hab das Gefühl, wenn ich für jedes Unterthema einen eigenen Thread aufmachen würde, gäbe es fast so viele Threads wie Fragen, weil es so viele Unterthemen gibt. Mal schauen, wenn ich mal wieder eine Frage zu Analysis hab, mach ich einen Analysis-Thread auf.

Aber erst einmal was anderes (ich weiß nicht, ob das vielleicht sogar in 'physikalisches' gehört):
Was ist denn der Pointing-Vektor?
Scheint irgendetwas mit Wellen zu tun zu haben, aber bei Wikipedia & Co. findet man nix gescheites.

[breaker]

Ups, Danke. Ich wusste gar nicht, wie man den schreibt, hab nur vor kurzem das Wort gehört und mich gefragt, was es ist.

[wilfried]

Lieber breaker,

ich verstehe Dich schon. Nur sehe ich auch die anderen in diesem Forum, welche an Deinen Beiträgen bestimmt großes Interesse haben.
Es wird einfach unübersichtlich, wenn über viele Seite viele Themen behandelt werden.

Deshalb schlug ich ja auch vor, dass solche Themen zusammengefasst unter bestimmten Namen geführt werden können. Sagen wir mal "Infinitelsimalrechnung". Dann kann man immerhin etwas sortieren, auch wenn natürlich jedes Einzelgebiet wieder beliebig groß ist.
Aber auch dann kannst Du das sortieren. Wenn die Beiträge zu mannigfaltig werden, ja dann mach halt eine neue Serie mit Namen "Infinitesimalrechnung_2" auf. Damit ist der einzelne Beitragsumfang moderat zu halten und gewinnt damit an Transparenz.

Es ist wirklich mühsam viele Seite anzusehen und dabei festzustellen, dass hier ein Durcheinander herrscht.

Das ist, was ich vorschlage.

Der Poynting Vektor ist das Kreuzproduk aus dem magnetischen sowie dem elektrischen Feldanteil einer EM oder Lichtwelle. Er zeigt (für triviale Darstellung) in die Ausbreitungsrichtung und manifestiert darüber hinaus den Energieerhaltungssatz in der Elektrodynamik. Die höheren Weihen erhält er als tapferes Mitglied des Einstein-Tensors. Denn er ist immerhin an 3 der 10 Komponenten desselben beteiligt.
Interessant ist noch, dass der Betrag die Richtung des Feldes wiedergibt, während der Vektor die zeitlich "fließende" Energie pro Flächen(Volumeneinheit darstellt.
Für nichttriviale Fälle muß die Tensorcharakteristik oder die Tensorverbindung zwischen H und B berücksichtigt werden, was in dieser Konsequenz heißt, dass der Poynting Vektor nicht zwingend in Ausbreitungsrichtung des Feldes zeigt. Beispiel dazu: doppelbrechende Materialien.

Netten Gruß

Wilfried

[belgariath]

Hab mal kurz 'ne frage zu einer Abschätzung der harmonischen Reihe mit Exponent 2:
hier wird die n. Partialsumme abgeschätzt.

Wäre schön, wenn, mir jemand 'nen tipp geben kann, wie man die die erste Abschätzung einsehen kann und vor allem auch, wie man die Umformung nach der Abschätzung hinbekommt.