Abenteuer-Universum

Wir machen einen zweifachen Münzwurf und wollen ihn als Zufallsexperiment modellieren. Es gibt zwei Möglichkeiten und beide haben etwas Seltsames an sich:

(1) Stichprobenraum = {{K & K}, {K & Z}, {Z & K}, {Z & Z}}. Hier gilt insbesondere, dass {K & Z} = {Z & K}. Deshalb gilt auch P(K & Z) = P(Z & K). Der Satz von Bayes gilt. Wir können aber die Wahrscheinlichkeit von zB "mindestens einmal Kopf" nicht durch P(K & K) + P(K & Z) + P(Z & K) ausrechnen, weil {K & Z} = {Z & K} und somit nicht disjunkt, so dass wir Kolmogorovs drittes Axiom nicht anwenden können. Wir müssten uns was anderes überlegen, im Beispiel hätte man noch den Weg über die Gegenwahrscheinlichkeit.

(2) Stichprobenraum = {{K1 & K2}, {K1 & Z2}, {Z1 & K2}, {Z1 & Z2}}. Wir sind also jetzt präziser und lassen die Reihenfolge wichtig werden. Dann gilt insbesondere nicht mehr {K1 & Z2} = {Z1 & K2}. Deshalb gilt auch nicht mehr (jedenfalls nicht automatisch) P(K & Z) = P(Z & K), d.h. der Satz von Bayes gilt nicht. Dafür könnten wir die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Kopf" einfach durch Aufaddieren der Einzelwahrscheinlichkeiten errechnen, weil sie alle disjunkt sind.

Es scheint also - egal, wie wir einen Münzwurf modellieren - immer ein unschöner Defekt übrig zu bleiben: entweder wir können nicht einfach die Elementarereignisse aufaddieren oder Bayes gilt nicht. Das ist mir bis jetzt nie aufgefallen oder mache ich irgendwo einen Denkfehler? Meine Erklärung wäre vorläufig, dass man idR stille Zusatzprämissen einführt: modelliert man den zweifachen Münzwurf mit (1), dann setzt man einfach als viertes Axiom, dass alle Elementarereignisse addiert werden können, modelliert man den zweifachen Münzwurf mit (2), dann setzt man einfach P(K1 & Z2) = P(Z1 & K2), was Bayes gültig machen würde. Meint ihr, das ist so?

@ Pippen

Wir können aber die Wahrscheinlichkeit von zB "mindestens einmal Kopf" nicht durch P(K & K) + P(K & Z) + P(Z & K) ausrechnen

Doch, natürlich kann man das. Es ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,75, dass wenigstens einmal Kopf nach dem Münzwurf auftritt. Ebenso ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,75, dass wenigstens einmal Zahl nach dem Münzwurf auftritt. Weiterhin ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,5, dass sowohl Kopf wie auch Zahl nach dem Münzwurf auftritt. Dann haben wir noch eine Wahrscheinlichkeit von 0,25, dass entweder zwei mal Kopf oder zwei mal Zahl nach dem Münzwurf auftritt. Wo ist das Problem?

mache ich irgendwo einen Denkfehler?

Ich denke, Du gehst einfach viel zu verkopft an die Sache heran und konstruierst Probleme, wo keine sind.

Ich habe denselben Eindruck wie Diagnostiker.

Diagnostiker hat geschrieben: Ich denke, Du gehst einfach viel zu verkopft an die Sache heran und konstruierst Probleme, wo keine sind.

Wieso? Seine Gedankengänge sind gut. Er muss nur den Widerspruch ein wenig mit seinen Gedanken hin- und her-schieben, bis der 'Widerspruchsknoten' irgendwo an einem der Enden der gedanklichen Schnur hinaus läuft
Gedanklen müssen gedacht werden, bevor man diese verwirft.

Das Erste erinnert ein wenig an das Zwei-Brüder-Problem, nur daß der Widerspruch innen und nicht außen steckt.
Im zweiten Beispiel scheint mir deutlich zu werden, daß hier die Bedeutung bzw der Unterschied von P(K1,Z2) und P(K1|Z2) möglicherweise(?) nicht ganz klar ist.
Diese Denkfehler kommen auf allen Komplexitäts- und Anspruchs-Graden vor. Zwei Brüder Problem ist ein solches, die Verletzung der Bellschen Ungleichung möglicherweise ein anderes (in jedem Fall halte ich diese für ein solches, habe mich aber noch wirklich nicht intensiv damit beschäftigt).
Vor allem bietet die Verletzung der Bellschen Ungleichung meiner Meinung nach ein ähnliches Konfliktpotential bei der Interpretation wie das der mathematischen Überabzählbarkeit.

Im Grunde genommen ist das dasselbe, nur auf einem anderen Komplexitätsgrad... aber man hangelt sich eben gerade durch solche Gedankengänge halt langsam und mühsam hoch zu komplexeren Gefilden. Ich erinnere mich noch gut daran, als es damals bei mir 'Klick' gemacht hat und ich plötzlich von selbst auf das anthropische Prinzip oder die Idee des Self-Sampling entdeckte.

Was du als 'verkopft' bezeichnest ist doch der völlig natürliche Holzpfad, den jeder von uns ständig geht oder gehen muss um für sich die Lösung zu finden?