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Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Diesmal geht es darum, dass eine Siedlerfamilie einen Streifen Land fester Größe erhält. Wie gelingt es mittels mathematischer Methoden, diese Fläche beliebig zu vergrößern?
Dies kann bereits am Messtisch erfolgen: Ein Papierstreifen, der die Fläche repräsentiert und auf der Landkarte abdeckt, darf beliebig zerteilt und wieder neu zusammengesetzt werden, so dass nach dieser Prozedur eine größere Fläche abgedeckt wird. Der Streifen oder ein beliebiger Teil darf nicht gedehnt werden.
Dies kann bereits am Messtisch erfolgen: Ein Papierstreifen, der die Fläche repräsentiert und auf der Landkarte abdeckt, darf beliebig zerteilt und wieder neu zusammengesetzt werden, so dass nach dieser Prozedur eine größere Fläche abgedeckt wird. Der Streifen oder ein beliebiger Teil darf nicht gedehnt werden.
Gruß
Tom
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Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo zusammen,tomS hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 16:49Diesmal geht es darum, dass eine Siedlerfamilie einen Streifen Land fester Größe erhält. Wie gelingt es mittels mathematischer Methoden, diese Fläche beliebig zu vergrößern?
Dies kann bereits am Messtisch erfolgen: Ein Papierstreifen, der die Fläche repräsentiert und auf der Landkarte abdeckt, darf beliebig zerteilt und wieder neu zusammengesetzt werden, so dass nach dieser Prozedur eine größere Fläche abgedeckt wird. Der Streifen oder ein beliebiger Teil darf nicht gedehnt werden.
erster Lösungsansatz: da die Fläche der Summe zweier Teilflächen gleich der Summe der Fläche der beiden Teilflächen ist lässt sich die Fläche durch Aufteilen in 2 Teilflächen mit nachfolgendem Zusammensetzen nicht vergrössern.
Per vollständiger Induktion lässt sich das auf n Teilflächen erweitern.
Somit lässt sich durch endliche Zerteilung und neu Zusammensetzung keine grössere Fläche abdecken.
Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo zusammen,
zweiter Lösungsansatz, jetzt werfe ich die absolute Konvergenz ins Rennen: da Flächen stets positiv sind und durch Aufspalten in abzählbar unendlich viele Teilflächen nach oben durch die Ursprungsfläche begrenzt sind, ist die Summe der wieder zusammengesetzten Teilflächen absolut konvergent, d.h. es passieren keine "Phänomene" wie bei der alternierenden harmonischen Reihe, bei der sich der Grenzwert locker vergrössern (oder auch verkleinern) lässt.
Um Toms Aufgabe zu lösen müssen wir also irgendwie die absolute Konvergenz loswerden.
Freundliche Grüsse, Ralf
zweiter Lösungsansatz, jetzt werfe ich die absolute Konvergenz ins Rennen: da Flächen stets positiv sind und durch Aufspalten in abzählbar unendlich viele Teilflächen nach oben durch die Ursprungsfläche begrenzt sind, ist die Summe der wieder zusammengesetzten Teilflächen absolut konvergent, d.h. es passieren keine "Phänomene" wie bei der alternierenden harmonischen Reihe, bei der sich der Grenzwert locker vergrössern (oder auch verkleinern) lässt.
Um Toms Aufgabe zu lösen müssen wir also irgendwie die absolute Konvergenz loswerden.
Freundliche Grüsse, Ralf
Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Beides richtig, aber wohl noch nicht radikal genug.
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene ("Landkarte") oder Kugelloberflächen ("Siedlungsland") ?
Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial, da kann man dann die alternierende harmonische Reihe ein bisschen (ok, schon ein bisschen mehr als nur endlich viele Teilsummen) umordnen.
Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
oder schwebt Dir so etwas wie "die Länge der Küste Englands" (ich weiss nicht, wie man das Phänomen heutzutage nennt) vor, wo man durch immer feinere Unterteilung noch zusätzliche Wölbungen findet, die die Gesamtstrecke verlängern ?
Bei einer Fläche sollte das aber keine Rolle spielen, da wir ja nicht in die 3.Dimension "hinauswölben".
Freundliche Grüsse, Ralf
oder schwebt Dir so etwas wie "die Länge der Küste Englands" (ich weiss nicht, wie man das Phänomen heutzutage nennt) vor, wo man durch immer feinere Unterteilung noch zusätzliche Wölbungen findet, die die Gesamtstrecke verlängern ?
Bei einer Fläche sollte das aber keine Rolle spielen, da wir ja nicht in die 3.Dimension "hinauswölben".
Freundliche Grüsse, Ralf
Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Ich sehe nicht, dass die Mathematik “negative Flächen” kennt. Das Flächenmaß ist doch immer positiv definit.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 17:43Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial ...
Die Lösung verzichtet völlig auf eine Topologie oder Homöomorphismen.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 17:43Lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene oder Kugelloberflächen?
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,tomS hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 18:19Ich sehe nicht, dass die Mathematik “negative Flächen” kennt. Das Flächenmaß ist doch immer positiv definit.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 17:43Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial ...
sehr gut, ich wollte nur sichersetllen, dass "Sachen" wie die Minkowski-Metrik (die nicht einmal eine Halbmetrik ist), nicht zur Lösung beitragen.
Ok.tomS hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 18:19Die Lösung verzichtet völlig auf eine Topologie oder Homöomorphismen.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑24. Mai 2020, 17:43Lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene oder Kugelloberflächen?
Noch eine Frage: grundsätzlich ist die Erdoberfläche "hügelig", d.h. sie kann sich tatsächlich in die 3.Dimension wölben. Dadurch kann eine Fläche grösser werden, und ich fürchte auch beliebig gross: bleiben wir der Einfachheit halber im 1-Dimensionalen und betrachten eine Strecke der Länge 1 und setzen der zwischen 1/3 und 2/3 noch einen "Hut" auf, z.B. ein gleichseitiges Dreieck oder ein Quadrat. Bei einem gleichseitigen Dreieck verlängert sich die Steckenlänge auf 4/3, bei einem Quadrat auf 5/3. Allerdings kommt das nur daher, dass man die ursprüngliche Strecke zunächst nicht genau genug vermessen hatte, d.h. wenn man die ursprüngliche Fläche mathematisch exakt kennt passiert so etwas nicht. - Spielt das bei der Lösung der Aufgabe eine Rolle ?
Freundliche Grüsse, Ralf
Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Nee, das spielt keine Rolle.
Was eine Rolle spielt ist der “völlige Verzicht auf Topologie oder Homöomorphismen”.
Was eine Rolle spielt ist der “völlige Verzicht auf Topologie oder Homöomorphismen”.
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
ich wäre mit dem Ausdruck 'darf nicht gedehnt werden' vorsichtiger, weil es impliziert, daß die Fläche eine Dichte habe. Ich finde das Rätsel gut, lasse aber zunächst mal nur die anderen machen, weil es für mich relativ offensichtlich ist, worauf es hinaus läuft
Außerdem hab ich gerade derben Zeitmangel.
@ralfkannenberg: Du kannst Teile der Fläche gerne verschieben. Auch bist du für das Teilen der Fläche nicht auf eine Scheere beschränkt. Du kannst das Papier aber gerne beliebig teilen und die 'Stücke' verschieben.
ich wäre mit dem Ausdruck 'darf nicht gedehnt werden' vorsichtiger, weil es impliziert, daß die Fläche eine Dichte habe. Ich finde das Rätsel gut, lasse aber zunächst mal nur die anderen machen, weil es für mich relativ offensichtlich ist, worauf es hinaus läuft
Außerdem hab ich gerade derben Zeitmangel.
@ralfkannenberg: Du kannst Teile der Fläche gerne verschieben. Auch bist du für das Teilen der Fläche nicht auf eine Scheere beschränkt. Du kannst das Papier aber gerne beliebig teilen und die 'Stücke' verschieben.
Gödel für Dummies:
- Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
- Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
- Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.
Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Mit “dehnen” meine ich einen Homöomorphismus, der z.B. mittels y=2x das Intervall [0,1] auf [0,2] abbildet. Das ist natürlich ausgeschlossen, da trivial.
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Die praktikabel-einfachste Lösung wäre m.E. die:
Man zerteilt die Fläche A in n kleine Quadrate (oder gleichseitige Dreiecke) von bekannter Größe/Flächeninhalt und der Seitenlänge s.
Als nächstes vergrößert man s zu s' und erhält so A'.
Aber genau das soll verboten sein?
In dem Fall muss man zwischen den Teilen Zwischenräume schaffen, sodass man n Quadrate und m Zwischenräume erhält (am einfachsten auch quadratisch mit Seitenlänge s).
Somit ergibt sich dann: A' = A (Quadrate) + A (Zwischenräume)
Man zerteilt die Fläche A in n kleine Quadrate (oder gleichseitige Dreiecke) von bekannter Größe/Flächeninhalt und der Seitenlänge s.
Als nächstes vergrößert man s zu s' und erhält so A'.
Aber genau das soll verboten sein?
In dem Fall muss man zwischen den Teilen Zwischenräume schaffen, sodass man n Quadrate und m Zwischenräume erhält (am einfachsten auch quadratisch mit Seitenlänge s).
Somit ergibt sich dann: A' = A (Quadrate) + A (Zwischenräume)
Grüße
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Ihr könntet euch ja mal fragen, ob mir da ein völlig neues Rätsel eingefallen ist, oder ob die Lösung irgendwas mit einem anderen Rätsel zu tun haben könnte ...
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Grüße
seeker
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
das habe ich schon und ich vermute, dass da wieder ZF und das Auswahlaxiom zum Handkuss kommen werden. Aber zuerst wollte (und möchte) ich erst einmal die anderen Möglichkeiten ausschliessen, deswegen habe ich ein bisschen an den Voraussetzungen "geklopft".
@seeker: Lösungslinks interessieren mich nicht !
Freundliche Grüsse, Ralf
Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
seeker hat die richtige Idee; es ist in einer (!) Dimension lösbar, dadurch im Vergleich zu Banach-Tarski technisch wesentlich einfacher, an einer Stelle leider etwas schwieriger; wichtig ist jedoch, auf die Idee zu kommen
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Wenn man den Flächeninhalt verdoppeln will, muss man sich erstmal klar werden, was der Flächeninhalt genau ist bzw wie er definiert ist.
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
mein letzter 'Tip' ging nicht an dich. Jetzt hast du als Reaktion(?) schon die halbe Lösung verraten
Wäre es nicht auch möglich, die Familienmitglieder in Stücke zu schneiden, sodaß jeder nur noch halb so viel Platz verbraucht?
Ich hörte das wird von reichen Erben gelegentlich so praktiziert, sodaß man mehr vom Haus für sich hat
mein letzter 'Tip' ging nicht an dich. Jetzt hast du als Reaktion(?) schon die halbe Lösung verraten
Wäre es nicht auch möglich, die Familienmitglieder in Stücke zu schneiden, sodaß jeder nur noch halb so viel Platz verbraucht?
Ich hörte das wird von reichen Erben gelegentlich so praktiziert, sodaß man mehr vom Haus für sich hat
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Ja, das geht. Ich werde eine allgemeine Lösung skizzieren, für die die Größenverhältnisse praktisch völlig beliebig sind.
Gruß
Tom
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
sorry, jetzt mit spoiler-tag
Gruß
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo Tom,
kein Problem, den meisten Leuten (einschliesslich meiner Wenigkeit) gehen sofort die Rolladen runter wenn sie dieses Wort "L.......-..ß" lesen.
Über die zugehörige Vorlesung könnte ich einige Anekdoten erzählen, und die Anzahl Personen aus dem laufenden Semester, die den freiwilligen Test bestanden haben, findest Du heraus, wenn ich Dir den Tipp mitgebe, dass sie mit der bisherigen Information eindeutig bestimmbar ist.
Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Und nun: wird der Satz von Vitali eine Rolle spielen ? - Immerhin kommen da im Beweis Äquivalenzklassen vor und das Auswahlaxiom kommt zum Handkuss.
Drauf gekommen bin ich über das Lebesgue-Maß:
Freundiche Grüsse, Ralf
Drauf gekommen bin ich über das Lebesgue-Maß:
Die Existenz nicht Lebesgue-messbaren Mengen (etwa der Vitali-Mengen) lässt sich nicht-konstruktiv unter Verwendung des Auswahlaxioms beweisen.
Freundiche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 26. Mai 2020, 10:51, insgesamt 2-mal geändert.
- belgariath
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Besiedelt die Familie eine euklidische Welt oder einen echten Planeten (gekrümmte Fläche), oder ist das egal?
Der harmonische Oszillator ist die Drosophila der Physiker (Carsten Honerkamp)
Eine Welle ist, was so wackelt (Andrei Pimenov)
Elektrodynamik ist ein Schlauch vieler Hamsterkäfige (Haye Hinrichsen)
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung
Hallo belgariath,belgariath hat geschrieben: ↑26. Mai 2020, 10:47Besiedelt die Familie eine euklidische Welt oder einen echten Planeten (gekrümmte Fläche), oder ist das egal?
das habe ich mich auch gefragt; die Lösung scheint davon unabhängig zu sein.
Freundliche Grüsse, Ralf