Abenteuer-Universum

Diesmal geht es darum, dass eine Siedlerfamilie einen Streifen Land fester Größe erhält. Wie gelingt es mittels mathematischer Methoden, diese Fläche beliebig zu vergrößern?

Dies kann bereits am Messtisch erfolgen: Ein Papierstreifen, der die Fläche repräsentiert und auf der Landkarte abdeckt, darf beliebig zerteilt und wieder neu zusammengesetzt werden, so dass nach dieser Prozedur eine größere Fläche abgedeckt wird. Der Streifen oder ein beliebiger Teil darf nicht gedehnt werden.

tomS hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 16:49

Diesmal geht es darum, dass eine Siedlerfamilie einen Streifen Land fester Größe erhält. Wie gelingt es mittels mathematischer Methoden, diese Fläche beliebig zu vergrößern?

Dies kann bereits am Messtisch erfolgen: Ein Papierstreifen, der die Fläche repräsentiert und auf der Landkarte abdeckt, darf beliebig zerteilt und wieder neu zusammengesetzt werden, so dass nach dieser Prozedur eine größere Fläche abgedeckt wird. Der Streifen oder ein beliebiger Teil darf nicht gedehnt werden.

Hallo zusammen,

erster Lösungsansatz: da die Fläche der Summe zweier Teilflächen gleich der Summe der Fläche der beiden Teilflächen ist lässt sich die Fläche durch Aufteilen in 2 Teilflächen mit nachfolgendem Zusammensetzen nicht vergrössern.

Per vollständiger Induktion lässt sich das auf n Teilflächen erweitern.

Somit lässt sich durch endliche Zerteilung und neu Zusammensetzung keine grössere Fläche abdecken.


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo zusammen,

zweiter Lösungsansatz, jetzt werfe ich die absolute Konvergenz ins Rennen: da Flächen stets positiv sind und durch Aufspalten in abzählbar unendlich viele Teilflächen nach oben durch die Ursprungsfläche begrenzt sind, ist die Summe der wieder zusammengesetzten Teilflächen absolut konvergent, d.h. es passieren keine "Phänomene" wie bei der alternierenden harmonischen Reihe, bei der sich der Grenzwert locker vergrössern (oder auch verkleinern) lässt.

Um Toms Aufgabe zu lösen müssen wir also irgendwie die absolute Konvergenz loswerden.


Freundliche Grüsse, Ralf

Beides richtig, aber wohl noch nicht radikal genug.

tomS hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 17:35

Beides richtig, aber wohl noch nicht radikal genug.

Hallo Tom,

lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene ("Landkarte") oder Kugelloberflächen ("Siedlungsland") ?

Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial, da kann man dann die alternierende harmonische Reihe ein bisschen (ok, schon ein bisschen mehr als nur endlich viele Teilsummen) umordnen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo Tom,

oder schwebt Dir so etwas wie "die Länge der Küste Englands" (ich weiss nicht, wie man das Phänomen heutzutage nennt) vor, wo man durch immer feinere Unterteilung noch zusätzliche Wölbungen findet, die die Gesamtstrecke verlängern ?

Bei einer Fläche sollte das aber keine Rolle spielen, da wir ja nicht in die 3.Dimension "hinauswölben".


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 17:43

Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial ...

Ich sehe nicht, dass die Mathematik “negative Flächen” kennt. Das Flächenmaß ist doch immer positiv definit.

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 17:43

Lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene oder Kugelloberflächen?

Die Lösung verzichtet völlig auf eine Topologie oder Homöomorphismen.

tomS hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 18:19

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 17:43

Sobald Du negative Flächen zulässt ist die Lösung natürlich trivial ...

Ich sehe nicht, dass die Mathematik “negative Flächen” kennt. Das Flächenmaß ist doch immer positiv definit.

Hallo Tom,

sehr gut, ich wollte nur sichersetllen, dass "Sachen" wie die Minkowski-Metrik (die nicht einmal eine Halbmetrik ist), nicht zur Lösung beitragen.

tomS hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 18:19

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

24. Mai 2020, 17:43

Lässt Du denn beliebige Topologien mit "seltsamen" Flächenmessungen" zu oder beschränken wir uns auf die Ebene oder Kugelloberflächen?

Die Lösung verzichtet völlig auf eine Topologie oder Homöomorphismen.

Ok.

Noch eine Frage: grundsätzlich ist die Erdoberfläche "hügelig", d.h. sie kann sich tatsächlich in die 3.Dimension wölben. Dadurch kann eine Fläche grösser werden, und ich fürchte auch beliebig gross: bleiben wir der Einfachheit halber im 1-Dimensionalen und betrachten eine Strecke der Länge 1 und setzen der zwischen 1/3 und 2/3 noch einen "Hut" auf, z.B. ein gleichseitiges Dreieck oder ein Quadrat. Bei einem gleichseitigen Dreieck verlängert sich die Steckenlänge auf 4/3, bei einem Quadrat auf 5/3. Allerdings kommt das nur daher, dass man die ursprüngliche Strecke zunächst nicht genau genug vermessen hatte, d.h. wenn man die ursprüngliche Fläche mathematisch exakt kennt passiert so etwas nicht. - Spielt das bei der Lösung der Aufgabe eine Rolle ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Nee, das spielt keine Rolle.

Was eine Rolle spielt ist der “völlige Verzicht auf Topologie oder Homöomorphismen”.

Hallo Tom,
ich wäre mit dem Ausdruck 'darf nicht gedehnt werden' vorsichtiger, weil es impliziert, daß die Fläche eine Dichte habe. Ich finde das Rätsel gut, lasse aber zunächst mal nur die anderen machen, weil es für mich relativ offensichtlich ist, worauf es hinaus läuft
Außerdem hab ich gerade derben Zeitmangel.

@ralfkannenberg: Du kannst Teile der Fläche gerne verschieben. Auch bist du für das Teilen der Fläche nicht auf eine Scheere beschränkt. Du kannst das Papier aber gerne beliebig teilen und die 'Stücke' verschieben.

Skeltek hat geschrieben: ↑

25. Mai 2020, 01:13

ich wäre mit dem Ausdruck 'darf nicht gedehnt werden' vorsichtiger, weil es impliziert, daß die Fläche eine Dichte habe.

Mit “dehnen” meine ich einen Homöomorphismus, der z.B. mittels y=2x das Intervall [0,1] auf [0,2] abbildet. Das ist natürlich ausgeschlossen, da trivial.

Die praktikabel-einfachste Lösung wäre m.E. die:

Man zerteilt die Fläche A in n kleine Quadrate (oder gleichseitige Dreiecke) von bekannter Größe/Flächeninhalt und der Seitenlänge s.
Als nächstes vergrößert man s zu s' und erhält so A'.

Aber genau das soll verboten sein?

In dem Fall muss man zwischen den Teilen Zwischenräume schaffen, sodass man n Quadrate und m Zwischenräume erhält (am einfachsten auch quadratisch mit Seitenlänge s).

Somit ergibt sich dann: A' = A (Quadrate) + A (Zwischenräume)

Ihr könntet euch ja mal fragen, ob mir da ein völlig neues Rätsel eingefallen ist, oder ob die Lösung irgendwas mit einem anderen Rätsel zu tun haben könnte ...

tomS hat geschrieben: ↑

25. Mai 2020, 09:20

Ihr könntet euch ja mal fragen, ob mir da ein völlig neues Rätsel eingefallen ist, oder ob die Lösung irgendwas mit einem anderen Rätsel zu tun haben könnte ...

Hallo Tom,

das habe ich schon und ich vermute, dass da wieder ZF und das Auswahlaxiom zum Handkuss kommen werden. Aber zuerst wollte (und möchte) ich erst einmal die anderen Möglichkeiten ausschliessen, deswegen habe ich ein bisschen an den Voraussetzungen "geklopft".

@seeker: Lösungslinks interessieren mich nicht !


Freundliche Grüsse, Ralf

seeker hat die richtige Idee; es ist in einer (!) Dimension lösbar, dadurch im Vergleich zu Banach-Tarski technisch wesentlich einfacher, an einer Stelle leider etwas schwieriger; wichtig ist jedoch, auf die Idee zu kommen

Wenn man den Flächeninhalt verdoppeln will, muss man sich erstmal klar werden, was der Flächeninhalt genau ist bzw wie er definiert ist.

Ach ja, und es genügt, das in einer Dimension zu betrachten.

Hallo Tom,
mein letzter 'Tip' ging nicht an dich. Jetzt hast du als Reaktion(?) schon die halbe Lösung verraten
Wäre es nicht auch möglich, die Familienmitglieder in Stücke zu schneiden, sodaß jeder nur noch halb so viel Platz verbraucht?
Ich hörte das wird von reichen Erben gelegentlich so praktiziert, sodaß man mehr vom Haus für sich hat

Ja, das geht. Ich werde eine allgemeine Lösung skizzieren, für die die Größenverhältnisse praktisch völlig beliebig sind.

Skeltek hat geschrieben: ↑

25. Mai 2020, 18:26

mein letzter 'Tip' ging nicht an dich. Jetzt hast du als Reaktion(?) schon die halbe Lösung verraten :D

sorry, jetzt mit spoiler-tag

tomS hat geschrieben: ↑

25. Mai 2020, 18:30

Skeltek hat geschrieben: ↑

25. Mai 2020, 18:26

mein letzter 'Tip' ging nicht an dich. Jetzt hast du als Reaktion(?) schon die halbe Lösung verraten

sorry, jetzt mit spoiler-tag

Hallo Tom,

kein Problem, den meisten Leuten (einschliesslich meiner Wenigkeit) gehen sofort die Rolladen runter wenn sie dieses Wort "L.......-..ß" lesen.

Über die zugehörige Vorlesung könnte ich einige Anekdoten erzählen, und die Anzahl Personen aus dem laufenden Semester, die den freiwilligen Test bestanden haben, findest Du heraus, wenn ich Dir den Tipp mitgebe, dass sie mit der bisherigen Information eindeutig bestimmbar ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

Und nun: wird der Satz von Vitali eine Rolle spielen ? - Immerhin kommen da im Beweis Äquivalenzklassen vor und das Auswahlaxiom kommt zum Handkuss.

Drauf gekommen bin ich über das Lebesgue-Maß:

Die Existenz nicht Lebesgue-messbaren Mengen (etwa der Vitali-Mengen) lässt sich nicht-konstruktiv unter Verwendung des Auswahlaxioms beweisen.

Freundiche Grüsse, Ralf

Besiedelt die Familie eine euklidische Welt oder einen echten Planeten (gekrümmte Fläche), oder ist das egal?

belgariath hat geschrieben: ↑

26. Mai 2020, 10:47

Besiedelt die Familie eine euklidische Welt oder einen echten Planeten (gekrümmte Fläche), oder ist das egal?

Hallo belgariath,

das habe ich mich auch gefragt; die Lösung scheint davon unabhängig zu sein.


Freundliche Grüsse, Ralf