Abenteuer-Universum

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 17:11

Intuitiv sehe ich allerdings noch ein Problem mit dem Kreis-Mittelpunkt, denn bei regelmässigen n-Ecken mit n=2*m, also bei geradzahligen n-Ecken, laufen zahlreiche Geraden durch den Kreismittelpunkt. Ob das im Allgemeinen auch so ist ? Vielleicht muss man hier noch eine *"kleine" Korrektur anbringen.

Argh,
Hallo Ralf,

das habe ich doch gefühlte 10 Mal schon geschrieben:

Dgoe hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 12:22

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 11:36

das Hauptproblem dürften diese inneren Schnittpunkte sein, die da ab n=4 auftreten. Im Bild (n=4) gibt es da erst einen davon.

Hallo Ralf,

ja das meinte ich oben mit den symmetrischen Vielecken ab 5, ist aber erst ab 6 so (größer 5). Bei der 4 sind es noch die 2 erlaubten Geraden in einem Schnittpunkt, egal wie angeordnet. Bei 5 gar keine im Mittelpunkt. Ab 6 dann gleich alle, also alle geraden Zahlen schneiden sich im Mittelpunkt, so dass man die Punkte etwas asymmetrisch verschieben muss, was mehr Flächen ergibt. Die Punkte dürfen nicht im gleichen Abstand angelegt sein.

Bei höheren Werten gibt es noch andere Schnittpunkte, als den Mittelpunkt, die mehr als 2 Geraden kreuzen, außer alles ist eben etwas schief sozusagen.

Dein letzter Ansatz

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 17:03

Nehmen wir an wir haben das nun alles schon gelöst, ...

scheint mir aussichtslos.

Ich hatte leider noch keine Zeit heute nachmittag.

Gruß,
Dgoe

n=0 --> F=1
n=1 --> F=1
n=2 --> F=2
n=3 --> F=4
n=4 --> F=8
n=5 --> F=16
n=6 --> F=31
n=7 --> F=57

tada, ja? Vorerst...

Gruß,
Dgoe

(2x korrigiert, alles verrutscht)

Ich gehe erstmal rein intuitiv vor. Es gibt überabzählbar viele Punkte, also mehr als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen. Die erste Verbindung mach ich zwischen infinitesimal benachbarten Punkten P1 und P2. Dann gehe ich wieder vom ersten Punkt aus und zeichne eine inifinitesimale benachbarte Gerade daneben und immer weiter. Von P1 kann ich schon mal beliebig viele andere Punkte ansteuern. Weiterhin kann ich von den beliebig vielen anderen Punkten auch noch Geraden ziehen. Eine erste Abschätzung liefert trivialerweise unendliche viele Strecken, und unendlich verschiedene Strecken, die miteinander in Beziehung stehen, liefern unendlich viele Flächen. Interessant wäre jetzt das Verhältnis der Anzahl Flächen zu der Anzahl der Strecken. Da könnte was Endliches herauskommen, habe es aber noch nicht genauer verfolgt.

@Analytiker: Beachte, dass die Geraden sich innen nicht beliebig kreuzen dürfen, immer nur 2 pro Schnittpunkt, wie ein + oder x, beliebig gedehnt, gestaucht.

@Tom: Mein Ansatz wäre, den äußeren Ring an Flächen, welche nur aus einer Geraden und einem Kreisbogen(stück) begrenzt sind, zu isolieren.
Deren Anzahl wären immer [Edit: n, also zum Rest mit n] zu addieren.
Denn damit erhält man im Inneren alles nur Vielecke (ausser bei n=2, aber egal erst einmal) mit geraden Linien und jede "Kreuzung"/Schnittpunkt erhöht die vorherige Anzahl an Flächen um +2.
[Edit: was aber so nicht funktioniert]

Deswegen würde ich mit einem Fächer/Bündel beginnen, von einem Punkt zu allen verbliebenen, nachdem man den äußeren Kreis nun ignoriert, nur noch ein Vieleck mit n Ecken hat.
Das 1. Bündel teilt dieses Innere immer in n-2 Flächen.

Nun muss ich noch weiter überlegen wie methodisch vorgehen, beim 2ten benachbarten Bündel.... ongoing.....hab eine Idee in Prüfung, so far.

Gruß,
Dgoe

positronium hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 13:20

{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

Ich habe diese wesentliche letzte Zeile völlig übersehen - sie ist richtig!!

Der Ansatz von positronium sowie seine Formel sehen völlig anders aus als meine. Ich konnte die Äquivalenz noch nicht beweisen, aber es sollte wohl stimmen.

Gegeben sind n Punkte und die durch sie definierten Geraden; die Anzahl der Geraden ist eine leichte Übung. Nimmt man an, dass keine zwei Geraden parallel sind, dann ist die Anzahl der insgesamt existierenden Schnittpunkte N ebenfalls leicht. Von diesen N Schnittpunkten liegen n auf dem Kreis.

Schwierig ist die Anzahl der innerhalb des Kreises liegenden Schnittpunkte.

Je zwei beliebige der innerhalb und auf dem Kreis liegenden Punkte sind durch Kanten verbunden, wobei die Segmente der Kreislinie mitgezählt werden.

Das definiert einen Graphen mit E Ecken, K Kanten und F Flächen. Dazu existiert eine berühmte Formel, aus der F folgt, wenn E und K bekannt sind.

Also: wie kommt man auf die Anzahl der innerhalb des Kreises liegenden Schnittpunkte?

Tja, dann:

positronium hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 13:20

Für n=1..20:
{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

positronium hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 16:36

Ich betrachte, wie viele neue Flächen beim Hinzukommen einer Linie entstehen.
Erst einmal hat man den Kreis, also 1+...
Dann mache ich zwei Summen, also für Linien von einem Punkt a zu einem Punkt b. Dann stellt sich die Frage, wie viele Schnitte diese neue Linie ergibt - die neuen Flächen sind die Zahl der Schnitte +1. Und die Zahl der Schnitte mit der neuen Linie ergibt sich, indem man die Punkte zwischen a und b (=b-a-1) mit der Zahl der Punkte vor a (=a-1) multipliziert.

Respekt.

Gruß,
Dgoe

Vorerst:

Die Anzahl der Flächen bei n Punkten ist n + 4x die Anzahl der Schnittpunkte SP der Linien innerhalb der Kreisfläche (jeder SP erzeugt 4 Flächen).
Die Anzahl A der Schnittpunkte die auf jeder Linie liegen (außer den Linien, die zu den Nachbarpunkten gehen, dort ist A=0, die Anzahl dieser Linien = n) ist:

n= 0-3 -> A = 0
n= 4 -> A = 1
n= 5 -> A = 2
n= 6 -> A = 3
n= 7 -> A = 6

...wobei jeder Schnittpunkt genau vier Punkten auf dem Kreisumfang zuzuordnen ist.
So, jetzt schaue ich mir an, ob ich ein Muster bei der Anzahl der SP finde...

seeker hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 00:24

...wobei jeder Schnittpunkt genau vier Punkten auf dem Kreisumfang zuzuordnen ist.

Guter Ansatz.

Bei n Punkten erhalten wir mittels Kombinatorik n(n-1)/2 Verbindungen zwischen je zwei Punkten. Wir müssen also ungeordnete Punkte-Tupel zählen, um die Anzahl der Geraden zu erhalten.

Aus vier Punkten erhalten wir genau einen Schnittpunkt. Wir müssen also ungeordnete Punkte-Quadupel zählen, um die Anzahl der Schnittpunkte zu erhalten.

Dgoe hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 20:58

... würde ich mit einem Fächer/Bündel beginnen, von einem Punkt zu allen verbliebenen, nachdem man den äußeren Kreis nun ignoriert, nur noch ein Vieleck mit n Ecken hat.
Das 1. Bündel teilt dieses Innere immer in n-2 Flächen.

Nicht gleich die Flächen bestimmen.

Stell dir vor, du führst einen neuen Punkt 1 zu bereits vorhandenen 2,...,n ein. Nun verbindest du den neuen Punkt 1 mit einem der alten; sagen wir k. Dann liegen auf den einen Seite (links) der Verbindung die Punkte 2,3,...,k-1, auf der anderen (rechts) die Punkte k+1,k+2,...,n. Aus der Anzahl der Punkte links und rechts berechnest du die Anzahl der Verbindungen, die die linken mit den rechten Punkten verbinden. Daraus folgt die Anzahl der neuen Schnittpunkte, die die Verbindung von 1 zu k erzeugt. Zuletzt summierst du über alle möglichen k.

Hallo Tom,

Danke für den Tipp (-:


Das hier hatte ich zwischendurch schon geschrieben, morgen geht's weiter:

tomS hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 23:10

Nimmt man an, dass keine zwei Geraden parallel sind, dann ist die Anzahl der insgesamt existierenden Schnittpunkte N ebenfalls leicht.

Es können aber durchaus manchmal welche parallel sein ohne die Spielregeln oben zu stören.

tomS hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 23:10

Von diesen N Schnittpunkten liegen n auf dem Kreis.

Und einige auch ausserhalb.

tomS hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 23:10

Schwierig ist die Anzahl der innerhalb des Kreises liegenden Schnittpunkte.

Ja. Außer für positronium.

tomS hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 23:10

Dazu existiert eine berühmte Formel, aus der F folgt, wenn E und K bekannt sind.

gut, die kenne ich nicht, interessant. Ich probiere erstmal ohne.

Macht Spaß.

Gruß,
Dgoe

Ich habe in den letzten beiden Posts zwei unterschiedliche Überlegungen skizziert, wie man zur Zahl der "inneren" Schnittpunkte kommt.

Hier eine Skizze zu den beiden Ideen:

Zum einen führt die Einführung eines neuen Punktes (grünes Kreuz) und dessen Verbindung mit einem weiteren Punkt zur Einführung von Punktepaaren; deren Anzahl und somit die Anzahl der daraus generierten Schnittpunkte lässt sich einfach berechnen.

Zum anderen bestimmt ein Quadrupel grüner Randpunkte eindeutig einen Schnittpunkt; die Menge aller inneren Schnittpunkte hat somit dieselbe Anzahl an Punkten wie die Menge aller Randpunkt-Quadrupel.

Analytiker hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 19:41

Ich gehe erstmal rein intuitiv vor. Es gibt überabzählbar viele Punkte, also mehr als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

Ein ganz wichtiger Punkt, weil man damit zeigen kann, dass die Menge der "Ausnahmen", also wo mehrere Punkte zusammenfallen, eine Nullmenge bildet.

Analytiker hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 19:41

Die erste Verbindung mach ich zwischen infinitesimal benachbarten Punkten P1 und P2. Dann gehe ich wieder vom ersten Punkt aus und zeichne eine inifinitesimale benachbarte Gerade daneben und immer weiter. Von P1 kann ich schon mal beliebig viele andere Punkte ansteuern. Weiterhin kann ich von den beliebig vielen anderen Punkten auch noch Geraden ziehen.

Hier wollte ich anders vorgehen: P1 wie Du auswählen, den Fall n=3 betrachten, d.h. Dreieck P1, P2 und P3, und dann als P4 den Punkt zwischen P1 und o.E.d.A. P2 auf der Kreislinie wählen. Allerdings riskiere ich hier eine Symmetrie, d.h. ich sollte nicht die Hälfte, sondern eine transzendente Zahl in der Nähe von 1/2 wählen, z.B. den Punkt, zwischen P1 und P2, der 1/e von P2 entfernt liegt.

Dann iterativ weiter mit P4, P5 usw., die dann zu P1 konvergieren.

Da wir aber nur den Fall eines endlichen n betrachten ist der Abstand zwischen P1 und Pn immer hinreichend gross.


Ich bin noch immer am "brainstormen"; konkrete Lösungen kann man sich dann immer noch heraussuchen; irgendwie riecht das ganze aber nach einer Formel aus der Graphentheorie über Kanten und Ecken usw.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 09:34

irgendwie riecht das ganze aber nach einer Formel aus der Graphentheorie über Kanten und Ecken usw.

ja

Ich hatte noch eine andere Idee, nämlich die Projektion auf die Sphäre. Der zunächst vorgegebene Kreis wird ein Kreis; jede Gerade wird ein Großkreis. Offensichtlich schneiden sich alle Kreise paarweise genau zweimal. Irgendwie sollte eine Symmetrie oder ein einfacher Zusammenhang zwischen dem Inneren und dem Äußeren des ursprünglichen Kreises existieren, aber ich finde hier nichts Einfacheres als die oben skizzierten eher mühsamen Wege.

tomS hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 09:42

Ich hatte noch eine andere Idee, nämlich die Projektion auf die Sphäre. Der zunächst vorgegebene Kreis wird ein Kreis; jede Gerade wird ein Großkreis. Offensichtlich schneiden sich alle Kreise paarweise genau zweimal. Irgendwie sollte eine Symmetrie oder ein einfacher Zusammenhang zwischen dem Inneren und dem Äußeren des ursprünglichen Kreises existieren, aber ich finde hier nichts Einfacheres als die oben skizzierten eher mühsamen Wege.

Das hatte ich mir auch schon überlegt, aber insgesamt scheint mir eine Behandlung via Geraden einfacher als eine Behandlung via Kreisen zu sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 17:11

Intuitiv sehe ich allerdings noch ein Problem mit dem Kreis-Mittelpunkt, denn bei regelmässigen n-Ecken mit n=2*m, also bei geradzahligen n-Ecken, laufen zahlreiche Geraden durch den Kreismittelpunkt. Ob das im Allgemeinen auch so ist ? Vielleicht muss man hier noch eine *"kleine" Korrektur anbringen.

Ich will nochmal auf diese Idee von gestern zurückgreifen: könnte man diese Nachkorrektur evtl. einfach bewerkstelligen ?

Allerdings wäre nicht nur der Mittelpunkt von solchen "Korrekturen" betroffen, und grundsätzlich würde ich eine Lösung, die direkt ist und ohne Nachkorrekturen auskommt, bevorzugen.


Freundliche Grüsse, Ralf

positronium hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 13:20

Jetzt aber hoffentlich:


Für n=1..20:
{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

Und hier sticht ein bisschen ins Auge, dass für n=9 gerade 2^8 herauskommt, d.h. f(9) = 2^9 - 2^8.


Freundliche Grüsse, Ralf

positronium hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 13:20

Jetzt aber hoffentlich:


Für n=1..20:
{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

Ins Auge sticht auch, dass sich 4 gerade mit 4 ungeraden Zahlen abwechseln:

f(0) = 1
f(1) bis f(4) sind gerade
f(5) bis f(8) sind ungerade
f(9) bis f(12) sind gerade
f(13) bis f(16) sind ungerade


Freundliche Grüsse, Ralf

Ich glaube für n = ungerade darf man die Punkte auf dem Kreisumfang auch symmetrisch verteilen, d.h. ich vermute, dass für alle n = ungerade die Forderung dass nicht mehr als 2 Linien einen Schnittpunkt bilden dürfen immer erfüllt ist (für n = gerade ist das ab n = 6 definitiv nicht der Fall).

Außerdem besteht die Kreisfläche am Anfang (bei Null Punkten/Linien) aus genau einer Fläche. Zu betrachten sind also die zusätzlichen Fächen: F(n)=1+x(n), die durch die Linien erzeugt werden.
Dann kann man festhalten, dass von jedem Punkt P prinzipiell genau drei verschiedene Sorten von Linien ausgehen können:

1. Die Linien, die von P zu sich selbst führen

Diese Linien haben unter der Voraussetzung, dass sich der Kreis auf einer unendlich ausgedehnten Ebene befindet die Länge Null und entfallen daher in der Betrachtung, da sie innerhalb der Kreisfläche keine zusätzlichen Flächen erzeugen.
(Sollte sich der Kreis z.B. auf einem Zylinder oder einer Kugel befinden schaut es anders aus.)

2. Die Linien die von einem Punkt P zu seinen Nachbarpunkten auf dem Kreisumfang führen.

Das sind die uninteressanten Linien, es befinden sich auf ihnen keine Schnittpunkte mit anderen Linien.
Ihre Anzahl ist für alle n gleich n-1 und sie erzeugen n-1 zusätzliche Flächen (das "-1" hängt mit 1. zusammen und zusätzliche Flächen meint zusätzlich zu der Anfangsfläche, also zusätzlich zu 1).

3. Die Linien die von einem Punkt P nicht zu seinen Nachbarpunkten auf der Kreislinie führen

Das sind die interessanten Linien, nur auf ihnen gibt es Schnittpunkte SP mit anderen Linien.
Jeder dieser Schnittpunkte ist von genau 4 Flächen umgeben und ist genau 4 Punkten auf dem Kreisumfang zuzuordnen.
Das Problem hier ist nur, dass nicht jeder zusätzliche SP auf einer Linie 4 zusätzliche Flächen erzeugt, das tun nur die den Punkten P nächstgelegenen SPs, die P am zweitnächsten gelegenen SP erzeugen höchstens noch 2 zusätzliche Flächen oder gar keine mehr...

Die Gesamtzahl der SPs erhält man, indem man alle Kombinationen aus 4er-Päckchen aus n durchspielt.
Alternativ kann man auch invers vorgehen (bei kleinen n ist das schneller), indem man alle Kombinationen durchspielt, in dem kein 4er Päckchen enthalten ist (also alle Kombinationen aus n-4 Elementen, man erhält daraus dieselbe Anzahl).

tomS hat geschrieben: ↑

11. Jan 2018, 23:10

Also: wie kommt man auf die Anzahl der innerhalb des Kreises liegenden Schnittpunkte?

Das ist dieser Teil meiner Formel:

Die beiden Summen laufen über alle Kanten a->b innerhalb des Kreises; damit nicht jede Kante in beide Richtungen berücksichtigt wird, fängt b bei a+1 an.
Wenn die Kante a->b hinzugefügt wird, schneidet sie alle bereits vorhandenen Kanten, deren Startpunkt auf der einen und deren Endpunkt auf der anderen Seite von a->b liegen. Diese Kanten sind definiert durch einen Punkt der vor a liegt, also a-1 Punkte, und deren Endpunkt zwischen a und b liegt, also b-a-1 Punkte. Diese beiden Punktanzahlen multipliziert (a-1)*(b-a-1) ist die Zahl der Kanten, welche a->b schneiden.

Genau, das ist die eine der beiden von mir oben skizzierten Herleitungen.

Du baust den Graphen iterativ auf; man kann das unter Verwendung der anderen Begründung auch direkt angeben (wobei damit zwar direkt die Zahl der Punkte folgt, jedoch noch nicht die der Kanten)

Die Zahl der Kanten sollte ganz einfach aus der Zahl der Punkte P(n) folgen. Jeder Punkt innerhalb des Kreises hat vier halbe anhängende Kanten. Die Punkte am Rand drei halbe. Demnach:


Edit: Der zweite Term ist falsch. Es sollte lauten:

seeker hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 10:36

Ich glaube für n = ungerade darf man die Punkte auf dem Kreisumfang auch symmetrisch verteilen, ...

Hallo seeker,

kann gut sein, stimmt. Den Kreismittelpunkt betreffend auf jeden Fall, aber auch bei den anderen geht es wohl immer knapp vorbei, wie man bei n=9 noch gut erkennt.

seeker hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 10:36

für n = gerade ist das ab n = 6 definitiv nicht der Fall

In diese Richtung blickten wir hier auch.

seeker hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 10:36

Das sind die uninteressanten Linien, es befinden sich auf ihnen keine Schnittpunkte mit anderen Linien.
Ihre Anzahl ist für alle n gleich n-1 und sie erzeugen n-1 zusätzliche Flächen (das "-1" hängt mit 1. zusammen und zusätzliche Flächen meint zusätzlich zu der Anfangsfläche, also zusätzlich zu 1).

Das mit Deinem "1." habe ich nicht genau verstanden, aber die Anzahl dieser Linien ist genau gleich n. Und die Anzahl der Flächen ist n+1, denn vorher gab es 1 Fläche (die Kreisfläche) und danach n Neue, eben plus der verbliebenen inneren Fläche.

seeker hat geschrieben: ↑

12. Jan 2018, 10:36

3. Die Linien die von einem Punkt P nicht zu seinen Nachbarpunkten auf der Kreislinie führen

Das sind die interessanten Linien, nur auf ihnen gibt es Schnittpunkte SP mit anderen Linien.

Genau deswegen hatte ich in meiner ersten Überlegungen auch darauf den Fokus gelegt.
Bin da auch schon ein Stück weiter gekommen, ist aber etwas anders als Toms Ratschläge, die ich wie positroniums Weg ebenfalls versuche nachzugehen.

Gruß,
Dgoe

Ja, Dgoe, das stimmt!

Die ursprüngliche Aufgabe ist ja schon von positronium gelöst... aber darüber hinaus: Die Figur hat interessante Eigenschaften...
Ich habe das bis n=7 gezeichnet und es sieht danach aus, dass sich mit zunehmendem n ein fraktales (selbstähnliches) Muster ergibt!

Die direkten Verbindungslinien der Punkte auf dem Kreisumfang zu ihren Nachbarpunkten bilden für n wie schon festgestellt immer ein n-Eck.
Dieses n-Eck findet sich aber weiter innen mit zunehmendem n in verkleinerter Form in zunehmender Anzahl wieder:

Bei n=5 finden wir ein äußeres 5-Eck und ein zweites darin liegendes inneres 5-Eck, bei n=6 auch (dort gibt es dann ganz innen noch zusätzlich ein Dreieck).
Bei n=7 sind es schon drei 7-Ecke, die ineinander liegen.
Ich will jetzt nicht händisch die Figuren für noch größere n zeichnen, aber es schaut danach aus, dass die Anzahl der ineinander liegenden n-Ecke mit wachsendem n immer weiter zunimmt.
Hat jemand Lust das einmal mit einem Mate- oder Zeichenprogramm zu untersuchen, wie sich das fortsetzt?
Es würde mich außerdem auch interessieren, ob bei Figuren mit n = gerade und n>6 ganz innen immer noch ein Dreieck gebildet wird bzw. wie viele Ecken die innerste Fläche bei größeren geraden n hat (vermutlich hat diese Fläche n/2 Ecken, bei n = ungerade hat sie vermutlich n Ecken).