Ich halte die Umformulierung in dem Video für schlecht. Schau dir lieber mal die englische Wikipedia an:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_ ... obability)
Das Paradoxon resultiert ja aus dem Indifferenzprinzip (= dem Prinzip vom unzureichenden Grunde), dass ohne weitere keine Kenntnisse bzgl. der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen diese als gleich wahrscheinlich anzusetzen sind. Nun sind jedoch die Wahrscheinlichkeiten nicht eindeutig definiert, wenn der Begriff "gleichwahrscheinlich" für die Zufallsvariable nicht eindeutig definiert ist.
Wo das Problem liegt kannst du anhand der Graphiken in der Wikipedia erkennen.
Ich verstehe bei diesem Paradoxon letztlich nicht, was genau daran paradox sein soll. Wenn ich zu wenig weiß, dann kann ich keine vernünftigen Aussagen treffen. Wenn ich fast gar nichts weiß, dann setze ich das Indifferenzprinzip an und vermute, dass die Wahrscheinlichkeiten gleichverteilt sind. Es kann sein, dass dies nicht funktioniert, z.B. wie im Falle des Paradoxons von Bertrand noch nicht mal klar ist, wie "gleichverteilt" definiert werden soll. Mein Fazit ist, dass wir so wenig wissen, dass das Indifferenzprinzip nicht eindeutig anwendbar ist.
Es gibt andere Fälle, wo das Indifferenzprinzip ebenfalls versagt, z.B. bei Zufallszahlen auf einer unendlichen Menge; hier existiert mathematisch die Gleichverteilung nicht. Nehmen wir an, wir wüssten nichts über die physikalischen Eigenschaften von Planeten, möchten jedoch Wahrscheinlichkeitsaussagen über Planeten mit Lebensformen treffen. Das Indifferenzprinzip fordert, dass wir jedem Planeten eine identische Wahrscheinlichkeit zuordnen, dort Leben anzutreffen. Dies ist jedoch mathematisch nicht möglich. Hier ist mein Fazit ist, dass das Indifferenzprinzips überhaupt nicht anwendbar ist.
Das Problem in beiden Fällen ist lediglich mangelndes Wissen.