Abenteuer-Universum

1. Unvollständigkeitssatz

Man nimmt ein konsistentes formales S(ystem) mit der Mächtigkeit an, dort Folgendes (syntaktisch korrekt) zu konstruieren (die konkrete Konstruktion anhand von IN war Gödels wirkliche Leistung!):

G ~|- G. (Wenn G, dann keine Herleitung von G)
~G |- G (Wenn ~G, dann Herleitung von G).

Nun gibt es zwei Fälle:

|- G, dann ~|- G, Widerspruch, G wird hergeleitet und nicht hergeleitet.
|- ~G, dann |- G, Widerspruch, Annahme und Negation werden hergeleitet.

Man kann also in einem solchen S weder G noch ~G beweisen. S wäre unvollständig.

2. Unvollständigkeitssatz

Man nimmt an, S könne seine eigene Konsistenz beweisen, S wäre also konsistent. Aus dem ersten Unvollständigkeitsbeweis wissen wir: S-Konsistenz ~|- G. Damit ergibt sich ein modus ponens: S-Konsistenz, (S-Konsistenz ~|- G) |- (~|- G), d.h. es wird ein unherleitbares G hergeleitet, Widerspruch. Daraus folgt, dass die Konsistenzbeweisannahme falsch sein muss.

1. Unvollständigkeitssatz

Gegeben sei ein konsistentes formales S(ystem), in dem folgende Aussage (formal) formulierbar ist: G (G ist in S unbeweisbar).
Nun gibt es zwei mögliche Fälle:

a) G ist in S beweisbar, doch dann ist G laut eigener Aussage unbeweisbar, Widerspruch,
b) ~G ist in S beweisbar, doch ~G sagt, dass G beweisbar ist, was dann auch so sein müßte, so dass G und ~G beweisbar wären, Widerspruch.

Weder G noch ~G sind in S beweisbar, S ist unvollständig.

2. Unvollständigkeitssatz

Sei S widerspruchsfrei (Annahme). Aufgrund des 1. Unvollständigkeitssatzes gilt: Wenn S konsistent ist, dann ist G in S unbeweisbar. Daraus folgt per mp (und ist mithin bewiesen), dass G in S unbeweisbar ist. Das ist aber genau der Inhalt von G (s.o., das rot-markierte), so dass damit G in S bewiesen wäre, was nach dem 1. Unvollständigkeitssatz (dort Fall 1a) unmöglich ist, so dass die Konsistenzannahme falsch sein muss, ergo: wann immer die Konsistenz von S bewiesen wird, ist es gleichzeitig widersprüchlich.