Counting

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 21. Apr 2017, 11:38

Für mindesten einen richtigen bei zwanzig Fragen bietet sich natürlich das rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit an, wobei etwa 0,9968 herauskommt. Umständlicher ist es, über alle k von 1 bis 20 zu summieren.

Für genau 3 Richtige haben wir (20 über 3)*(0,25^3)*(0,75^17), was etwa 0,1339 ergibt.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 21. Apr 2017, 18:18

Ach, stimmt, so einfach. Danke. Gibt's deinem Wissen nach ein Programm, wo man das nur in eine Maske eingeben muss und die lästige Rechnung zB für "mind. 3 Richtige" entfällt?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 21. Apr 2017, 20:24

Das Programm unter aufgeführtem Link enthält zusätzlich noch die Normalverteilung sowie die Poissonverteilung:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scri ... ilung1.htm

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 26. Apr 2017, 13:56

Wenn wir 3 mal eine Münze werfen, dann gibt es 1 Fall aus 8 Möglichen, wo die Münze 3mal hintereinander auf Kopf landet, P(KKK) = 1/8.
Wenn wir 4mal eine Münze werfen, dann gibt es 3 Fälle aus 16 Möglichen, wo die Münze 3mal hintereinander auf Kopf landet, P(KKK) = 3/16.
Wenn wir 30mal eine Münze werfen, dann gibt es ? Fälle aus 2^30 Möglichen, wo die Münze 3mal hintereinander auf Kopf landet, P(KKK) = ?/2^30.

Die beiden ersten Beispiele habe ich mir aufgezeichnet. Gibt's eine Formel, wo man das ausrechnen kann? Intuitiv müsste P(KKK) bei unendlich vielen Versuchen gegen 1 laufen, richtig? Mit dem Binomialdingsbums klappt das nicht, weil man damit immer nur ausrechnen kann, wieviel mal Kopf insgesamt auftritt, aber keine Kopf-Reihen, oder? Ich habe es erst auf meine ziemlich bescheidenen Stochastik-Kenntnisse geschoben, aber auch der Google-Gott spuckt nur das aus, was ziemlich abgefahren aussieht und wo ich die Lösung nicht ausrechnen kann (weil ich's nicht verstehe): http://mathworld.wolfram.com/Run.html

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Re: Counting

Beitrag von positronium » 26. Apr 2017, 14:52

edit: Da habe ich noch etwas abzuziehen vergessen. :oops:
Zuletzt geändert von positronium am 26. Apr 2017, 15:28, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 26. Apr 2017, 15:11

@Pippen: Wenn direkt vor und nach einem 3-er-Block Kopf kein Kopf erscheinen soll, dann ist der Fall für 3 Versuche natürlich klar. Bei 4 Versuchen hast Du auch einen 4-er-Block zugelassen, der natürlich 3-er-Blöcke enthält. Rechnen wir mal mit Blöcken, die mindestens 3 mal Kopf enthalten und Blöcke dürfen mehrfach vorkommen, sonst wird es noch komplizierter.

Bei 4 Versuchen haben wir dann die Kombinationen, wo mindestens dreimal K in einem Block vorkommt: KKKK, KKKZ, ZKKK; 3 Möglichkeiten

Bei 5 Versuchen dann: KKKKK, KKKKZ, ZKKKK, KKKZK, KKKZZ, ZKKKZ, KZKKK, ZZKKK; 8 Möglichkeiten

Bei 6 Versuchen dann: KKKKKK, KKKKKZ, ZKKKKK, KKKKZK, KKKKZZ, ZKKKKZ, ZZKKKK, KZKKKK, KKKZKK, KKKZKZ, KKKZZK, KKKZZZ, ZKKKZK, ZKKKZZ, KZKKKZ,
ZZKKKZ, ZZZKKK, KKZKKK, ZKZKKK, KZZKKK; 20 Möglichkeiten

Wie man der Tabelle bei http://mathworld.wolfram.com/Run.html entnehmen kann hat man dann bei 7 Versuchen schon 47 Möglichkeiten und bei 8 Versuchen 107 Möglichkeiten für die gesuchten Blocks. Klickt man den Tabellenlink mit der URL http://oeis.org/A050231 an, dann sind die Ergebnisse bis 31 Versuche aufgelistet. Es ist dort auch eine Formel angegeben für n Versuche. Geht n gegen unendlich dann geht die Wahrscheinlichkeit gegen 1, wie man anhand der Formel erkennt. Der Term 2^n, der für die Wahrscheinlichkeit auch im Zähler auftritt, dominiert gegenüber einer Tribonacci-Zahl, so dass die Tribonacci-Zahl im Grenzwertübergang vernachlässigbar wird.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 26. Apr 2017, 18:05

Unter http://oeis.org/A000073/list sind die Tribonacci-Zahlen von a(0) bis a(37) aufgelistet. Die Startglieder sind also 0, 0, und 1. Jede Tribonacci-Zahl ist die Summe ihrer drei unmittelbaren Vorgänger.

Die Wahrscheinlichkeit für das von Pippen zuletzt gestellte Problem beträgt:

(2^n-a(n+3))/2^n

Um den von ihn gefragten Fall von n=32 zu berechnen, suchen wir uns a(35) aus der Tabelle und finden 334745777.

Einsetzen führt auf

(2^32-334745777)/2^32, was etwa 0,92206093 ergibt.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 6. Mai 2017, 14:57

Ich will mal keinen Extrathread aufmachen und eine weitere stoachastische Frage stellen: Man hört ja oft, man solle bei Spielen den Erwartungswert tippen. Spielt man ein Spiel sehr oft, dann macht das Sinn und ich verstehe es. Spielt man ein Spiel aber nur 1mal (oder jedenfalls selten), dann sollte man mE nicht den Erwartungswert spielen, sondern schlicht den Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert meint also eigentlich den "Vielfachwiederholungserwartungswert" und ist strikt vom "Einzelfallerwartungswert" zu trennen, denn das wäre schlicht der Wert mit der höchsten Einzelwahrscheinlichkeit. Hab ich da ein korrektes Konzept von dem Ganzen?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 8. Mai 2017, 22:41

Der Erwartungswert ergibt sich im Allgemeinen aus einer Messreihe.
Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert np und die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl 1/6 bei einem Wurf. Wenn ich 600 mal werfe habe ich im Mittel 100mal 1, 100mal 2, 100mal 3 usw. Da liegt stochastische Unabhängigkeit vor. Der Erwartungswert der Augenzahl bei einem Wurf ist 3,5, denn alle möglichen Augenzahlen aufaddiert ergeben 21 und geteilt durch die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, die gleichwahrscheinlich sind, eben 3,5.
Den Zufall kann man nicht überlisten, sondern nur berechnen.

Wir können gerne andere Beispiele durchrechnen.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 9. Mai 2017, 21:55

Ok, dann meine Verständnisfrage an einem Bsp.: Wir tippen eine Zahl aus 100 nach irgendwelchen Regeln und spielen natürlich um Geld. Wir wissen, dass der Erwartungswert 34 beträgt, wir wissen, dass die höchste Einzelwahrscheinlichkeit bei 57 liegt (= 0,021). Was tippst du bei a) einem Versuch und b) bei 100 Versuchen? Bei a) würde ich 57 tippen, bei b) würde ich 1000mal die 34 tippen. Ist das vernünftig und optimal?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 9. Mai 2017, 22:13

Wie kommst Du auf einen Erwartungswert von 34, wie setzt er sich zusammen? Warum hat 57 die Wahrscheinlichkeit von 0,021? Welche Wahrscheinlichkeiten haben die anderen? Mit den vorliegenden Informationen ist nicht viel anzufangen. Und wie kommst Du darauf bei 100 Versuchen 1000mal zu tippen?

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 10. Mai 2017, 00:00

Analytiker hat geschrieben:
9. Mai 2017, 22:13
Wie kommst Du auf einen Erwartungswert von 34, wie setzt er sich zusammen? Warum hat 57 die Wahrscheinlichkeit von 0,021? Welche Wahrscheinlichkeiten haben die anderen?
Nehmen wir einfach an, es wäre so. Erwartungswert wäre 34 und 57 hätte die größte Einzelwahrscheinlichkeit. Es geht darum aus 100 Zahlen nach irgendeinem Verfahren eine Zahl zu ziehen. Daher kann man das auch 1000mal spielen. Es darf eigentlich keine Frage sein, dass bei so einem setup bei ein/zwei Ziehungen 57, bei vielen Ziehungen 34 zu tippen wäre, aber so ganz sicher bin ich mir da nicht, weil mir der Erwartungswert immer als DER Wert verkauft wird, den man spielen sollte, was aber so nicht stimmt, jedenfalls bei wenigen Versuchen. So glaube ich jedenfalls....

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 10. Mai 2017, 07:17

Die Menge an Informationen spielt in der Stochastik eine große Rolle. Bei der Binomialverteilung ändert sich der Erwartungswert mit der Anzahl der Versuche. Der Erwartungswert ist das entscheidende Kriterium für das Maximum der Wahrscheinlichkeit. Bei der Binomialverteilung stimmen bei einem Versuch Einzelwahrscheinlichkeit und Erwartungswert überein. Mit jedem weiteren Versuch ändert sich der Erwartungswert.

Die Zahl mit der höchsten Einzelwahrscheinlichkeit jedes mal zu wählen, führt zum höchsten Erwartungswert.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 11. Mai 2017, 00:51

Mit anderen Worten: Du würdest bei jedem Spiel dessen Erwartungswert tippen?
Mit anderen Worten: Es kann keine Einzelwahrscheinlichkeit höher als der Erwartungswert sein?

Was wäre bei Verteilungen, die aussehen, wie zwei Binomialverteilungen nebeneinander. d.h. mit zwei Erhebungen, wo der Erwartungswert genau in dem Tal der beiden Erhebungen liegen dürfte?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Mai 2017, 07:15

Ich selbst beteilige mich nicht an Glücksspielen, finde jedoch Wahrscheinlichkeitsexperimente höchst interessant.

Der Erwartungswert hat die höchste Wahrscheinlichkeit in einer Verteilung. Wenn man nun zwei Verteilungen hat wie im vorigen Beitrag, wäre der höhere Erwartungswert vorzuziehen. Bei Gleichheit wäre ein beliebiger Erwartungswert zu wählen.

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Re: Counting

Beitrag von tomS » 11. Mai 2017, 15:25

So einfach ist das nicht.

Der Erwartungswert kann zum einen ein nicht möglicher Wert sein, z.B. 3.5 im Falle des Würfels. Und der Erwartungswert kann selbst eine niedrige Wahrscheinlichkeit oder sogar Null haben; betrachte die möglichen Werte n = -2,-1,0,+1,+2 mit den Wahrscheinlichkeiten p(n) = 1/4,1/4,0,1/4,1/4; für den Erwartungswert gilt <n> = 0, jedoch p(n=0) = 0.
Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Mai 2017, 15:41

Ja, der Erwartungswert ist ein theoretischer Wert, der nicht unbedingt realisierbar ist, siehe 3,5 beim Würfeln oder er ist in der Standardnormalverteilung immer null. Allerdings ist die Standardnormalverteilung keine diskrete Verteilung und die Glockenkurve gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an. Von null verschiedene Wahrscheinlichkeiten beziehen sich immer auf Intervalle.

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung und sie geht für große n in die Normalverteilung über, sogar schon wenn die Standardabweichung größer gleich drei ist. In Spezialfällen noch darunter, wenn np und n(1-p) größer gleich fünf sind.

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Beitrag von tomS » 11. Mai 2017, 16:14

Jedenfalls gibt es sowohl Fälle, wo man nicht auf den Erwartungswert setzen kann, als auch Fälle, wo man nicht auf ihn setzen soll.

Zur eigtl. Frage:

Alleine aus den Wahrscheinlichkeiten p(n) kann man nichts schließen. Man muss zunächst klar sagen, wieviele Spiele man spielt, wieviel man setzt, wie hoch die Ausschüttung A(n) beträgt, und welches Ziel man verfolgt: Maximierung des zu erwartenden Gewinns, Minimierung des zu erwartenden Verlusts u.ä. Dann: gibt es eine Strategie, also ist z.B. der Einsatz abhängig vom bereits erzielten Gewinn? oder dem Verlust? bricht man nach bestimmten Regeln ab?

Bsp. Roulette ohne Null, Setzen auf "gerade": ich setze 1€ im ersten Spiel, verdopple bei Verlust und breche bei Gewinn ab. Mit dieser Strategie gewinne ich immer genau 1€. Bsp.: es fallen die Zahlen 1,3,31,4; ich setze demnach 1€ + 2€ + 4€ + 8€ = 15€ ich gewinne 0€ + 0€ + 0€ + 16€.

Bei unabhängigen und identischen Spielen ohne Gedächtnis bedeutet das gleichen Einsatz über eine zuvor festgelegte Anzahl Spiele Z. Dann betrachtet man die Wahrscheinlichkeiten p(n) sowie die Ausschüttungen A(n) und berechnet daraus den Erwartungswert E[p*a] für den Gewinn über die Produkte p(n) * a(n) über Untermengen U von {n = 1,2,...,N}. Man kann auch den Erwartungswert für den Verlust zugrundelegen. Danach legt man ein Ziel, also eine Zielfunktion fest, die es zu maximieren gilt. Man wählt schließlich die Untermenge, für die die Zielfunktion maximiert wird.
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Re:

Beitrag von Analytiker » 11. Mai 2017, 17:33

tomS hat geschrieben:
11. Mai 2017, 16:14
Bsp. Roulette ohne Null, Setzen auf "gerade": ich setze 1€ im ersten Spiel, verdopple bei Verlust und breche bei Gewinn ab. Mit dieser Strategie gewinne ich immer genau 1€. Bsp.: es fallen die Zahlen 1,3,31,4; ich setze demnach 1€ + 2€ + 4€ + 8€ = 15€ ich gewinne 0€ + 0€ + 0€ + 16€.
Ich gewinne nur dann immer, wenn irgendwann mal "gerade" kommt und ich genügend Kapital zu Verfügung habe. Kommt erst beim 21. mal gerade, muss ich schon 1048576 € einsetzen, um 1 € Gewinn zu erzielen. Nun ja, ist das nicht besonders wahrscheinlich, aber es kann passieren.

Wie gesagt, an Glücksspielen beteilige ich mich nicht, höchstens wenn zu erwarten ist, dass ein hoher Gewinn mit hoher Wahrscheinlichkeit eintritt. Nur ist mir so ein Spiel nicht bekannt. Bei Glücksspielen gewinnt in der Regel auf lange Sicht die Bank und je länger man selbst spielt, um so größer die Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust den man einfährt, immer größer wird.

Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt jedoch nicht nur bei Glücksspielen eine Rolle, sondern immer dann, wenn entweder ein Mangel an Information vorliegt oder man sich mit der Quantenphysik beschäftigt.

Gruß
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Re: Counting

Beitrag von tomS » 11. Mai 2017, 17:41

Das Problem mit meiner o.g. Strategie beim Roulette ist, dass zum einen die Bank bei Null immer gewinnt, d.h. dass der zu erwartende Gewinn bei einem Spiel strikt kleiner Null ist, und dass zum anderen der erlaubte Einsatz von der Bank nach oben begrenzt wird.

Mir ging es jedoch um etwas anderes: es ist offensichtlich nicht sinnvoll "auf den Erwartungswert zu setzen".
Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Mai 2017, 19:55

tomS hat geschrieben:
11. Mai 2017, 17:41
Mir ging es jedoch um etwas anderes: es ist offensichtlich nicht sinnvoll "auf den Erwartungswert zu setzen".
Ich würde sagen, es ist nicht immer sinnvoll auf den Erwartungswert zu setzen. Es kann unter Umständen Sinn machen. Es kommt eben auf den Fall an.

Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 13. Mai 2017, 16:55

tomS hat geschrieben:
11. Mai 2017, 15:25

Der Erwartungswert kann zum einen ein nicht möglicher Wert sein, z.B. 3.5 im Falle des Würfels. Und der Erwartungswert kann selbst eine niedrige Wahrscheinlichkeit oder sogar Null haben; betrachte die möglichen Werte n = -2,-1,0,+1,+2 mit den Wahrscheinlichkeiten p(n) = 1/4,1/4,0,1/4,1/4; für den Erwartungswert gilt <n> = 0, jedoch p(n=0) = 0.
Das ist genau, was ich meine. Hier wäre es falsch den Erwartungswert zu tippen, egal ob in einem oder in unendlich vielen Spielen. Sobald wir aber wissen, dass es um binomial- oder normalverteilte Spiele ginge, müssten wir immer den Erwartungswert tippen, egal ob bei einem (einzigen) Spiel oder einem Spiel mit vielen Wdh. Kann man das so sagen?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 13. Mai 2017, 17:36

Der Erwartungswert sollte dann natürlich realisierbar sein. Wenn eine Verteilung nur ein Maximum hat, liefert der Erwartungswert, sofern realisierbar, die höchste Wahrscheinlichkeit. Bei mehreren Maxima wäre dann bei Realisierbarkeit das absolute Maximum zu wählen.

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Re: Counting

Beitrag von positronium » 13. Mai 2017, 17:55

Das ist schon alles verzwickt... Das ist nur dann der Fall, wenn eine symmetrische Verteilung vorliegt.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 13. Mai 2017, 18:34

Die Binomialverteilung ist nur symmetrisch bei p=1/2. Trotzdem macht es generell Sinn bei der Binomialverteilung auf den Erwartungswert, sofern realisierbar, zu setzen.

Hingegen der Maxima von Wahrscheinlichlichkeitsverteilungen muss ich mich korrigieren. Es macht nicht immer Sinn auf das absolute Maxima. Man stelle sich eine exotische Verteilung mit einem einsamen Peak vor. An einem anderen Bereich seien viele Maxima, alle nur etwas kleiner als das absolute, ein Wald von Maxima also, dicht gedrängt. Die Wahrscheinlichkeiten zwischen den dortigen Maxima sind auch nicht niedrig. Dann macht es Sinn in den "Wald zu gehen". Sich dort geschickt einen Schwerpunkt zu suchen der die Wahrscheinlichkeiten gut repräsentiert.

Fazit: Es ist im Einzelfall zu prüfen, wie man vorgeht.

Gruß
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