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Counting

Mathematische Fragestellungen
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tomS
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Re: Counting

Beitrag von tomS » 10. Jul 2017, 06:32

Die Mathematik liefert keine falschen Vorhersagen.

Du vergleichst lediglich zwei unterschiedliche Situationen, nämlich die Situation vor der Geburt mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ereignisse mit der Situation nach dem Tod wobei alle diese Ereignisse sicher eingetreten sind.

Vergleiche das doch mit einer Folge von Münzwürfen. Vor den Würfen ist die Folge "KZZKZKKZKZ" extrem unwahrscheinlich mit P = 1/2¹⁰. Nachdem genau diese Folge jedoch zufällig tatsächlich geworfen wurde, hat sie die Wahrscheinlichkeit P = 1.

Da ist kein Widerspruch. Ersteres ist einfach P(KZZKZKKZKZ) = = 1/2¹⁰, letzteres P(KZZKZKKZKZ | KZZKZKKZKZ) = 1.
Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 10. Jul 2017, 18:02

tomS hat geschrieben:
10. Jul 2017, 06:32
Du vergleichst lediglich zwei unterschiedliche Situationen, nämlich die Situation vor der Geburt mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ereignisse mit der Situation nach dem Tod wobei alle diese Ereignisse sicher eingetreten sind.

Vergleiche das doch mit einer Folge von Münzwürfen. Vor den Würfen ist die Folge "KZZKZKKZKZ" extrem unwahrscheinlich mit P = 1/2¹⁰. Nachdem genau diese Folge jedoch zufällig tatsächlich geworfen wurde, hat sie die Wahrscheinlichkeit P = 1.

Da ist kein Widerspruch. Ersteres ist einfach P(KZZKZKKZKZ) = = 1/2¹⁰, letzteres P(KZZKZKKZKZ | KZZKZKKZKZ) = 1.
Mein Problem am Münzwurf sieht so aus: Jemand wirft KKZKZKKKZZ, dann KKKZKZZZKZ und dann ZKZZZKKZKZ. Vorher hatten diese drei Wurfreihen eine Wahrscheinlichkeit von 3 * 1/210. Das Nachher interessiert mich nicht! Wir hätten also vorher niemals eine der drei Reihen erwartet und doch passierte etwas, das wir nicht erwarteten. Ok, kann ja mal passieren, deshalb heißt's ja auch Wahrscheinlichkeit, denken wir uns. Jetzt kommt der nächste und wirft KKZKZKZKZZ, dann KKKKKZZKZZ und ZZKZKZKKZZ. Das gleiche Spiel. Und dann der nächste Spieler und wieder das gleiche Spiel usw. Jetzt denken wir uns zurück an den Anfang des Wurffestivals: Wenn einmal was Unwahrscheinliches eintritt, ok, aber wenn häufig Unwahrscheinliches eintritt - und das wäre in unserem Bsp. gegeben - dann funktioniert doch etwas nicht.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 10. Jul 2017, 18:35

Pippen hat geschrieben:
10. Jul 2017, 18:02
Wenn einmal was Unwahrscheinliches eintritt, ok, aber wenn häufig Unwahrscheinliches eintritt - und das wäre in unserem Bsp. gegeben - dann funktioniert doch etwas nicht.
Wo ist das Problem, etwas Unwahrscheinliches ist immer noch möglich, also entsteht kein Widerspruch!

Erwartest Du, dass die meisten Ereignisse hochwahrscheinlich sind oder besser noch vorbestimmt?

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 10. Jul 2017, 21:19

Nein, aber in meinem o.g. Beispiel würden zB an einem Wurfabend bei 3.000 Leuten mit 3 Wurfreihen 3.000mal Ereignisse eintreten, die extrem unwahrscheinlich wären. Zugegeben: Egal, was da gewürfelt würde, ich hätte ein Problem, weil ja jeder 10fach Münzwurf extrem unwahrscheinlich wäre. Da liegt wohl der Hase im Pfeffer, aber es erstaunt mich einfach, dass extrem Unwahrscheinliches so oft eintreten kann.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 10. Jul 2017, 22:51

Beim zehnmaligen Münzwurf gibt es 1024 Möglichkeiten. Wenn dann 9000 mal eine 10er-Serie geworfen wird, beträgt der Erwartungswert für eine ganz bestimmte Serie, egal wie sie aussieht, schon 9000/1024, also etwa 8,8 und die Standardabweichung etwa 3. Innerhalb von zwei Standardabweichungen nach oben und unten bezüglich des Erwartungswerts zu liegen, beträgt die Wahrscheinlichkeit schon über 95%.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 11. Jul 2017, 12:20

Ich meine es so: Du wirft 10mal eine Münze mit dem Ergebnis: KKKZKZKKZZ. Dieses Ereignis ist extrem unwahrscheinlich (0.5^10), aber ok, sagst du dir, auch Unwahrscheinliches passiert. Du wirfst wieder eine Münze, diesmal: KZZZKZZKZZ. Auch hier ist das Ereignis extrem unwahrscheinlich (0.5^10) und jetzt hast du schon zweimal ein extrem Unwahrscheinliches Ereignis geworfen und das könnte man so fortsetzen. Ist es nicht komisch, soviele extrem unwahrscheinliche Ereignisse zu werfen? Man sollte doch denken, dass extrem unwahrscheinliche Ereignisse auch extrem selten auftreten - tun sie aber hier nicht.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Jul 2017, 13:16

Das ist nicht komisch. Es gibt halt so viele Möglichkeiten. Wenn es kaum Möglichkeiten gebe, würde die Monotonie verstärkt um sich greifen.

Es kommt auch auf die Betrachtungsweise an. Wenn ein Ereignis neunmal auftritt, mag das häufig erscheinen. Aussagekräftiger in wahrscheinlichkeitstheoretischer Hinsicht ist jedoch die relative Häufigkeit.

Mit steigendem n wächst sehr schnell die Anzahl der Möglichkeiten n verschiedene Elemente anzuordnen. n! wächst schneller als exponentiell, eben faktoriell.

Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 15. Jul 2017, 20:54

Ein Politiker, der einen Flug antreten muss, erkundigt sich bei einem Mathematiker, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Bombe im
Flugzeug ist. Der Mathematiker rechnet eine Woche lang und verkündet dann: "Die Wahrscheinlichkeit ist ein Zehntausendstel!"
Dem Politiker ist das noch zu hoch und er fragt den Mathematiker, ob es nicht eine Methode gibt, die Wahrscheinlichkeit weiter zu senken. Der
Mathematiker verschwindet wieder für eine Woche und hat dann die Lösung. Er sagt: "Nehmen Sie selbst eine Bombe mit! Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Bomben an Bord sind, ist dann das Produkt (1/10000) x (1/10000) = Eins zu Hundertmillionen. Damit können Sie beruhigt fliegen!"
Hab ich hier als Witz gelesen, aber ist da nicht was dran?

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Re: Counting

Beitrag von tomS » 15. Jul 2017, 23:09

Der Mathematiker ignoriert die Regeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten
Gruß
Tom

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 16. Jul 2017, 03:51

tomS hat geschrieben:
15. Jul 2017, 23:09
Der Mathematiker ignoriert die Regeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten
Kann man die Wahrscheinlichkeit für eine Bombe künstlich runtersetzen? Nehmen wir an, P(Bombe) = 0.0001. Jetzt sagen wir dem Politiker, er solle vorher noch eine faire Münze werfen. In diesem Moment gilt entweder P(Bombe & Kopf) = 0.00005 oder P(Bombe & Zahl) = 0.00005, egal wie der Münzwurf ausfällt, die Bombenwahrscheinlichkeit sinkt, weil sie mit einem zusätzlichen Ereignis (Kopf/Zahl) verknüpft wird. Manch einer mag sagen: Quatsch, P(Bombe) = P(Bombe & Kopf) + P(Bombe & Zahl) = 0.0001, no problem. Aber mit dem Münzwurf gibt es P(Bombe) in der Form eigentlich gar nicht mehr. Vor dem Münzwurf beinhaltet jede weitere Möglichkeit des Fortgangs der Dinge nur noch die Bombe mit einem Münzwurfergebnis und diese Gesamtwahrscheinlichkeit sinkt und damit auch die Wahrscheinlichkeit der Bombe im Flugzeug!

Ich sehe da auf Anhieb keinen Fehler, außer dass ich die übliche W-Theorie etwas verkompliziere, in dem ich den Additionssatz nicht ohne Weiteres zulasse, wie die übliche W-Theorie. Doch diese Verkomplizierung findet doch ihre Rechtfertigung in der Realität, denn dort ist es doch so, wie ich oben schreibe, oder nicht? Was wäre das für ein Durchbruch: vor wichtigen Entscheidungen/Operationen einfach kräftig Münzen werfen und sich stochastisch absichern! :) Und wer da denkt, dass kann doch nicht sein, der urteilt mE zu voreilig, denn zwar sinkt damit das unerwünschte Ereignis, gleichzeitig sinkt aber natürlich auch das erwünschte Ereignis. So wäre ursprünglich P(Bombe) = 0.0001 und P(~Bombe) = 0.9999. Bei der üblichen Stochastik würde sich daran durch Münzwürfe nix ändern. Bei mir wäre dann zwar P(Bombe & Kopf) = 0.00005 und P(Bombe & Zahl) = 0.00005, aber eben auch P(~Bombe & Kopf) = 0.49995 oder P(~Bombe & Zahl) = 0.49995, d.h. die Wahrscheinlichkeit keiner Bombe wäre nur noch 50%. Meine geringere Bombenwahrscheinlichkeit erkauft sich dadurch mit einer niedrigeren Nicht-Bombenwahrscheinlichkeit. Am Ende scheint die Verkomplizierung der Dinge evtl. außer Verhältnis zum Belassen der einfacheren math. Theorie?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 16. Jul 2017, 09:05

Pippen hat geschrieben:
16. Jul 2017, 03:51
So wäre ursprünglich P(Bombe) = 0.0001 und P(~Bombe) = 0.9999. Bei der üblichen Stochastik würde sich daran durch Münzwürfe nix ändern. Bei mir wäre dann zwar P(Bombe & Kopf) = 0.00005 und P(Bombe & Zahl) = 0.00005, aber eben auch P(~Bombe & Kopf) = 0.49995 oder P(~Bombe & Zahl) = 0.49995, d.h. die Wahrscheinlichkeit keiner Bombe wäre nur noch 50%. Meine geringere Bombenwahrscheinlichkeit erkauft sich dadurch mit einer niedrigeren Nicht-Bombenwahrscheinlichkeit. Am Ende scheint die Verkomplizierung der Dinge evtl. außer Verhältnis zum Belassen der einfacheren math. Theorie?
Wieso wäre die Wahrscheinlichkeit keiner Bombe nur noch 50%?

P(~Bombe & Kopf) = 0,49995 und P(~Bombe & Zahl) = 0,49995 ergibt für P(~Bombe) immer noch 0,9999.

Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 23. Jul 2017, 07:36

Analytiker hat geschrieben:
16. Jul 2017, 09:05
Wieso wäre die Wahrscheinlichkeit keiner Bombe nur noch 50%?

P(~Bombe & Kopf) = 0,49995 und P(~Bombe & Zahl) = 0,49995 ergibt für P(~Bombe) immer noch 0,9999.

Gruß
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Ich sage: P(~Bombe) ist gar keine zulässige Formel mehr, weil sie der Tatsachenwelt widerspricht, denn tatsächlich verengt sich die Welt der Möglichkeiten durch einen Münzwurf ja so, dass nur mehr entweder P(~Bombe & Kopf) und P(~Bombe & Zahl) überhaupt möglich sind. Da steckt also Metaphysik dahinter. Dass das zu Blödsinn führt, ist eigentlich klar, aber das Warum sehe ich noch nicht so recht.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 28. Sep 2017, 02:02

Folgendes Problem:

Es gibt zwei Zettel. Auf dem einen steht: "Harald opferte für seine Sina alles" und auf dem anderen "Himbeeren-oase früh geöffnet". Die ersten drei Buchstaben ergeben das Wort "Hof" und die Frage ist, ob das ein vereinbartes Zeichen ist oder schlicht Zufall sein könnte. Mein Ergebnis lautet: P(Zufall) = 3/(26x26)³. Auf was kommt ihr so? So oder so dürfte die Wahrscheinlichkeit seeeeeeehr klein sein. Würde ein Statistiker in so einem Falle noch einen Hypothesentest oder sowas machen oder gleich drauf schließen, dass das Gegenereignis "Nicht-Zufall" gelten muss (die Zettel also tatsächlich was chiffrieren), weil's fast die Wahrscheinlichkeit 1 hat?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 28. Sep 2017, 19:19

Wenn man unterstellt, dass alle 26 Buchstaben des Alphabets mit gleicher Wahrscheinlichkeit am Anfang eines Wortes stehen können und man keinen Wert auf eine bestimmte Grammatik legt, dann gibt es bei drei Wörtern 26^3 Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ohne Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung für ein bestimmtes Wort 1/(26^3) oder etwa 0,0000569, wozu eben auch Hof ohne Berücksichtigung, ob die einzelnen Buchstaben groß oder klein geschrieben werden, zählt. Bei zwei Zetteln sind es für Hof 1/(26^6), weil dann die Einzelwahrscheinlichkeit mit sich selbst multipliziert wird, bei drei Zetteln dann 1/(26^9). Zweimal ein beliebiges Wort ohne zwingenden Sinn aus Anfangsbuchstaben von anderen Wörtern zu bilden würde der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Wort entsprechen.

Ein Statistiker braucht Vergleichsdaten. Es kommt auch auf die Zusammenhänge an. Je mehr Daten er hat, umso bessere Schlüsse kann er ziehen.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 29. Sep 2017, 08:56

Meine Herangehensweise wäre wie folgt:

Wir haben die beiden Sätze "Harald opferte für seine Sina alles" und auf dem anderen "Himbeeren-oase früh geöffnet". Markiert sind die Stellen, wo uns intererssiert, wie wahrscheinlich eine zufällige Gleichheit von H,o und f ist. Wir modellieren mal nur die entsprechenden Stellen und es ergibt sich: 1. _ _, 2. _ _ und 3. _ _. Die Frage lautet nun, wie wahrscheinlich es ist, dass bei 1. HH, bei 2. OO und bei 3. FF stünde (Groß-, Kleinschreibung spielt keine Rolle). Bei 1. gäbe es mE 26x26 Möglichkeiten von Buchstabenkombis und nur eine, die passt: HH, also 1/26x26. Gleiches (nur statt HH mit OO und FF) bei den anderen, so dass gilt: P(Zufälliges Wort "Hof" bei den drei ersten Anfangsbuchstaben von zwei Sätzen) = (1/26x26)³. Was würdest du daran kritisieren, denn mein Ergebnis wäre anders als deines?

Noch viel interessanter ist die Folgefrage: Kann man hier aus der so oder so winzigen Wahrscheinlichkeit schließen, dass das kein Zufall sein kann? Und wie würde man das begründen? Kann man da ganz naiv von "sehr unwahrscheinlich" auf "wahrscheinlich nicht zufällig, also geplant" schließen?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Sep 2017, 14:21

Pippen hat geschrieben:
29. Sep 2017, 08:56
Meine Herangehensweise wäre wie folgt:

Wir haben die beiden Sätze "Harald opferte für seine Sina alles" und auf dem anderen "Himbeeren-oase früh geöffnet". Markiert sind die Stellen, wo uns intererssiert, wie wahrscheinlich eine zufällige Gleichheit von H,o und f ist. Wir modellieren mal nur die entsprechenden Stellen und es ergibt sich: 1. _ _, 2. _ _ und 3. _ _. Die Frage lautet nun, wie wahrscheinlich es ist, dass bei 1. HH, bei 2. OO und bei 3. FF stünde (Groß-, Kleinschreibung spielt keine Rolle). Bei 1. gäbe es mE 26x26 Möglichkeiten von Buchstabenkombis und nur eine, die passt: HH, also 1/26x26. Gleiches (nur statt HH mit OO und FF) bei den anderen, so dass gilt: P(Zufälliges Wort "Hof" bei den drei ersten Anfangsbuchstaben von zwei Sätzen) = (1/26x26)³. Was würdest du daran kritisieren, denn mein Ergebnis wäre anders als deines?

Noch viel interessanter ist die Folgefrage: Kann man hier aus der so oder so winzigen Wahrscheinlichkeit schließen, dass das kein Zufall sein kann? Und wie würde man das begründen? Kann man da ganz naiv von "sehr unwahrscheinlich" auf "wahrscheinlich nicht zufällig, also geplant" schließen?


Wenn Du bei Dir noch Klammern im Nenner setzt, dann stimmen wir überein.

Von Zufall spricht man, wenn es für ein Ereignis oder das Zusammentreffen von Ereignissen keine kausale Erklärung gibt oder man zwar die Einflussfaktoren kennt, sie aber nicht messen und steuern kann.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 29. Sep 2017, 15:18

Analytiker hat geschrieben:
29. Sep 2017, 14:21

Was würdest du bei dieser Wahrhscheinlichkeit für das zufällige Aufeinandertreffen der Buchtaben H, O und F in zwei Sätzen an der gleichen Stelle folgern? Kann man da überhaupt was folgern? Mich interessiert dein Gedankengang. Ich persönlich würde ganz naiv folgern: Das ist kein Zufall, weil so ein Zufall hier extrem - und damit zu - unwahrscheinlich wäre. Wäre diese Argumentation stochastisch/statistisch OK oder widerspricht das einem seriösen stat. Urteil?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Sep 2017, 17:31

Extrem seltene Ereignisse können zufällig sein, auch extrem häufige Ereignisse. Der Zufall ist nicht an ein bestimmtes Intervall an Wahrscheinlichkeiten gebunden. Zufall liegt vor, wenn in dem Zusammenhang keine Kausalität vorhanden ist oder ein Mangel an Information vorliegt, der es nicht gestattet, verlässliche Berechnungen durchzuführen. Mit dem Zufall lässt sich schon rechnen, siehe Stochastik. Je mehr Daten vorliegen, umso besser lässt sich der Zufall berechnen.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 30. Sep 2017, 14:47

D.h. in unserem Bsp. mit den zwei Sätzen mit dem korrespondierenden "Hof"-Anfang würdest du keine Schlußfolgerung ziehen, das sei nicht-zufällig? Was bräuchtest du deines Erachtens zusätzlich, um das zu tun? Mehr Sätze von den Protagonisten?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 30. Sep 2017, 15:30

Ich würde mich über mehr Daten und Informationen freuen.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 30. Sep 2017, 22:11

Und wenn es nur diese beiden Sätze gäbe und die Hypothese, dass die drei Anfangsworte nicht-zufällig das Wort "Hof" chiffrieren sollen? Ich würde so vorgehen: Hypothesentest, es gäbe ja eine Binomialverteilung für die Wahrscheinlichkeiten, dass bei 2 Sätzen die ersten drei Wortanfänge jeweils "Hof" bilden, nämlich P("Hof") = 1/(26x26)³ und P(~"Hof") = 1 - P("Hof"). Dann die gegenteilige Hypothese formulieren, d.h. dass das alles zufällig wäre bei einem Alpha-Fehler von 1%. Da läge P("Hof") deutlich drunter, also würden wir diese gegenteilige Hypothese ablehnen und die eigentliche - dass alles kein Zufall ist - akzeptieren. Wäre das nicht schulbuchmäßig?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 1. Okt 2017, 11:22

Das Problem ist, dass nur ein Versuch zur Bildung eines Wortes mit drei Buchstaben durchgeführt wird. Bei statistischen Tests werden in der Regel mehrere Versuche durchgeführt. Bei einem Versuch ist die Aussagekraft nicht sehr hoch.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 1. Okt 2017, 15:57

Die Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten für die Anfangsbuchstaben der ersten drei Worte von 6 Sätzen läßt sich aufstellen. Darin ist P ("H O F H O F") = 1/(26x26)³. Die Hypothese lautet: "HOFHOF" ist nicht zufällig, die zunächst angenommene Nullhypothese: "HOFHOF" ist zufällig, Alpha sei 1%. Da P("HOFHOF") < Alpha, wird sie verworfen und somit die Hypothese bestätigt. ME wäre das ein ganz seriöser Hypothesentest, der auch in Ordnung ginge, wenn man keine weiteren Infos hat bzw. ich wüßte nicht, mit welchem formalen Argument man ihn hier ablehnen sollte. (Ich stelle die Frage, weil ich damit mein Verständnis von der Materie prüfen will, weil ich mir da ziemlich unsicher bin, nin halt kein Mathematiker.)

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 1. Okt 2017, 17:53

Bei nur einem Versuch ist die statistische Aussagekraft nicht groß. Genauso gut kann man mit Lottozahlen argumentieren, wenn erst eine Ziehung stattgefunden hat. Bei 6 aus 49 gibt es rund 14 Millionen Möglichkeiten, entsprechend gering ist die Gewinnwahrscheinlichkeit. Es fällt eine bestimmte Zahlenfolge und dann anzunehmen, es wäre kein Zufall, ist schon eine verwegene Argumentation.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 1. Okt 2017, 18:31

Stimmt, gutes Beispiel zur Widerlegung. Ich würde damit sogar folgendes Dogma ausgeben: Jeder Hypothesentest mit nur einem Fallbeispiel ist entweder nicht aussagekräftig oder trivial (wenn zB die W-Verteilung immer 1 ist).

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