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Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

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Pippen
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Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von Pippen » 8. Mär 2017, 18:26

Ganz kurze Frage zu meinem Verständnis: Gilt die Gleichung 2 = 2+ 0i ? Wäre also 2+0i die komplexe Form der natürlichen Zahl 2?

positronium
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von positronium » 8. Mär 2017, 18:35

Ja.

ralfkannenberg
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 18:56

Nein.


Aber wenn man weniger pedantisch ist als ich, dann "ja", auch wenn sich mir die Haare sträuben, wenn ich hierzu "ja" schreibe.

Und wenn man noch pedantischer ist als ich, dann hast Du sogar recht :)

positronium
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von positronium » 8. Mär 2017, 19:03

;?
Würdest Du das bitte erklären?

Skeltek
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von Skeltek » 8. Mär 2017, 19:33

2 ist nicht gleich 2+0i
Die Dinger existieren in zwei völlig unterschiedlichen Räumen.
Der Schnitt durch einen zweidimensionalen Raum ist eindimensional; was letztlich bedeutet:
Entweder man vertritt die Ansicht, dass 2 nicht 2+0i ist, oder man vertritt die Ansicht, dass jedes beliebige 2+xi gleich zwei ist.
2 ist der Realteil von 2+xi, es ist aber etwas völlig anderes und wird arithmetisch auch von völlig verschiedenen Funktionen ausgewertet.
Das '+'-Zeichen ist ohnehin eigentlich völlig fehl am Platze, da es sich nicht um eine Summe sondern einen Verbund an Parametern handelt.
Natürlich kann man sagen ein 'Tupel' ist ein höherdimensionaler Parameter, allerdings ist der Realteil nur eine Komponente von dem Verbund.

Wenn du positroniums Antwort akzeptierst, ist 2+3i auch 2, wenn du die andere Antwort wählst, bist du davon überzeugt, dass hier Äpfel mit Apfelscheiben verglichen werden.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von positronium » 8. Mär 2017, 19:44

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 19:33
Die Dinger existieren in zwei völlig unterschiedlichen Räumen.
Das ist ja klar, nur welche Rolle spielt das hier? Ich denke, keine. Ich sehe nur eine Typumwandlung. Der Rest hängt von der weiteren Rechnung und den Definitionsmengen der Variablen ab.

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 21:49

positronium hat geschrieben:
8. Mär 2017, 19:44
Ich sehe nur eine Typumwandlung.
Hallo positronium,

wie gesagt, man kann diese Frage guten Gewissens mit "ja" und ebenfalls guten Gewissens mit "nein" beantworten. In einer Prüfung hätte ich Dir für Deine Antwort selbstverständlich die volle Punktzahl gegeben.

Trotzdem ...

Der Begriff "Typumwandlung" ist eher etwas aus der C-Welt, wo da herumgecastet wird, dass einem die Haare zu Berge stehen, und falsche Ergebnisse berechnet werden, wenn man das falsch macht, auch wenn der Compiler so etwas erlaubt.

Wir sind hier aber in der Mathematik und da musst Du an sich zuerst definieren, welcher Menge die Zahl 2 entstammt und welcher Menge die Zahl 0*i entstammt.

Und auch wenn sich die Laien meistens nicht darum kümmern und auch die Mathematiker diese Art Betrachtung in der Regel als lästig empfinden, so sind sie eben dennoch wichtig. Man hat da also zwei Mengen und definiert nun eine Abbildung zwischen ihnen. Das können Homomorphismen sein, oder schöne Isomorphismen, das können Tom's Lieblinge aus der Topologie, die Homöomorphismen und die noch schöneren Diffeomorphismen sein u.s.w. Das Studium dieser Abbildungen zeigt dann, wann man 2 Mengen irgendwie "gleichsetzen" darf.

Also: die natürliche Zahl 2 entstammt der Menge der natürlichen Zahlen und die Zahl 0*i holst Du Dir vermutlich aus der Menge der komplexen Zahlen. Du addierst also ein Element eines der kleinsten Zahlenbereiche mit einem Element eines der grössten Zahlenbereiche.

Und so etwas ist hässlich. Sehr hässlich. Es ist sogar noch hässlicher.

Weil man nämlich im Kontinuum der reellen Zahlen zahlreiche Strukturen verliert. Primzahlen ? Gibt es in den reellen Zahlen nicht, da ist bis auf die 0 alles durch alles teilbar. Quadratur des Kreises ? Im Kontinuum kein Problem - man kann es nicht konstruieren, aber man kann es berechnen. Quadratzahlen ? Gibt es nicht, im Kontinuum kein Problem - dort sind alle Zahlen Quadratzahlen. Und Kubikzahlen. Und Logarithmen. Usw.

Wir wollen jetzt bei der obigen Gleichung die Struktur erhalten.

Hierfür definieren wir die Menge der natürlich-komplexen Zahlen. Das ist die Menge aller Zahlen, die man schreiben kann als n + m*i, mit n und m natürliche Zahlen. Wie die natürlichen Zahlen bilden diese eine "Halbgruppe", d.h. man kann addieren und es gilt das Assoziativgesetz.

An sich beschäftigt man sich in der Mathematik nicht mit Halbgruppen; deswegen wollen wir uns die Menge aller Zahlen, die man als z + w*i schreiben kann, anschauen, mit z und w ganzen Zahlen. Das sind nun also die ganz-komplexen Zahlen und diese bilden nicht nur eine Gruppe, sondern sogar einen Ring. Ja, sogar einen Integrationsbereich, das heisst man kann zu ihnen sogar einen Quotientenkörper bilden, den Körper der rational-komplexen Zahlen. Das sind alle Zahlen der Form p + q*i mit p und q rational.


Man kann sogar alle "Wurzeln" hinzunehmen und erhält dann den Körper der algebraisch-komplexen Zahlen, das sind alle Zahlen der Form a + b*i mit a und b algebraisch.

Und wenn wir diesen Körper noch vervollständigen - an sich genügt es, den Körper der rational-komplexen Zahlen zu vervollständigen, d.h. alle Grenzwerte konvergenter Cauchy-Folgen hinzunehmen, dann verlassen wir die Abzählbarkeit und erhalten den Körper der komplexen Zahlen, den bis auf Isomorphie grösstmöglichen Körper überhaupt.

Zurück zur Frage:
Wenn man also die natürliche Zahl stillschweigend in die Menge der komplexen Zahlen einbettet, obgleich man weder Dedekind'sche Schnitte noch Cauchy-Folgen kennt, also mit Atombomben auf arme Spatzen schiesst, ja dann sage ich eben, dass das sehr hässlich ist.

Wenn man aber die Zahl 0*i als Element der Halbgruppe der natürlich-komplexen Zahlen vereinigt mit {0} ansieht, ja dann stimme ich dem Resultat ohne Wenn und Aber zu.

Üblicherweise würde man solche Fragestellungen im Ring der ganz-komplexen Zahlen betrachten, also der Menge aller Zahlen der Form z + w*i mit z und w ganze Zahlen. Wie in den uns bekannten ganzen Zahlen hat man da Teilbarkeitsregeln, da gibt es Primelemente u.s.w., und tatsächlich werden die ganz-komplexen Zahlen in der Algebra studiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:01

Pippen hat geschrieben:
8. Mär 2017, 18:26
Wäre also 2+0i die komplexe Form der natürlichen Zahl 2?
2+0i ist also die natürlich-komplexe Form der natürlichen Zahl 2, wobei ich nun die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen stillschweigend hinzugenommen habe, was aufgrund der Peano-Axiome übrigens zulässig ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von positronium » 8. Mär 2017, 22:21

Du erwähnst zwar etliches, was ich nicht kenne, aber dem Prinzip kann ich folgen.
Vielen Dank für Deine sehr ausführliche Antwort!

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:22

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mär 2017, 21:49
Man kann sogar alle "Wurzeln" hinzunehmen und erhält dann den Körper der algebraisch-komplexen Zahlen, das sind alle Zahlen der Form a + b*i mit a und b algebraisch.
Entschuldigung, das ist natürlich Unsinn: da i als Nullstelle des ganzzahligen Polynoms x² + 1 eine algebraische Zahl ist, ist dieser Körper der "algebraisch-komplexen Zahlen" gleich dem Körper der algebraischen Zahlen !


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:36

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 19:33
2 ist nicht gleich 2+0i
Hallo Skeltek,

wenn man weiss, dass |i| = 1 ist, dann kann i nicht gleich unendlich sein. Somit ist 0*i = 0 und 2 + 0*i = 2 + 0 = 2 .
Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 19:33
Entweder man vertritt die Ansicht, dass 2 nicht 2+0i ist, oder man vertritt die Ansicht, dass jedes beliebige 2+xi gleich zwei ist.ier Äpfel mit Apfelscheiben verglichen werden.
Rechnen wir das doch einmal rasch aus:

2+xi = 2 |+(-2)
<=> xi = 0 |:i, da geht wegen |i|=1 echt grösser als 0
<=> x = 0

Die Gleichung löst sich also nicht für jedes x, sondern nur für x=0.


Man könnte das übrigens auch geometrisch über die Länge der Absolutbeträge ausrechnen, dann kann man das Rechnen mit komplexen Zahlen vermeiden:

|2| = 2
|2+xi| = Quadratwurzel( (2+xi)*(2-xi)) = Quadratwurzel (4+x²)

Wir beachten, dass x per constructionem eine reelle Zahl ist, folglich ist x² eine positive Zahl

=> die beiden Quadratwurzeln sind wegen der Monotonie der Wurzelfunktion dann und nur dann gleich, wenn x=0 ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:41

5 Minuten Nachspielzeit bei Barcelona gegen Paris - jetzt wird es nochmal so richtig spannend

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:44

6:1 !!!

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mär 2017, 22:49

Das ist ja unglaublich - mit 3 Toren in der 88., 91. und 95. Minute gelingt Barcelona der Einzug ins Viertelfinale in extremis !

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von Skeltek » 8. Mär 2017, 23:13

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mär 2017, 22:36
wenn man weiss, dass |i| = 1 ist, dann kann i nicht gleich unendlich sein. Somit ist 0*i = 0 und 2 + 0*i = 2 + 0 = 2 .
Selbst wenn, dann ist |0*i|=0 und nicht 0*i=0
Verstehe auch nicht, wieso du gerade diese Norm da ins Spiel bringst und was diese mit der Sache zu tun haben soll.

Deiner Argumentation könnte man analog schlussfolgern:
|i|=|1| <=> |i|=1 <=> i=1
Das stimmt so einfach nicht.

0 und 0*i sind nicht dasselbe. Sie haben lediglich denselben Betrag, bezüglich deiner Norm.
Genausowenig wäre i größer als 0.
"Keinen Apfel zu besitzen" ist nicht gleichbedeutend mit "keinen Apfel und keine Birne zu besitzen".
Bei erster Aussage ist über die Anzahl der Birnen keinerlei Information herleitbar und sie spielt dort auch gar keine Rolle.
Zweiter Satz macht in einem Universum in welchem gar keine Birnen existieren auch gar keinen Sinn.

Dass man im Komplexen 2 anstelle von 2+0i scheibt ist nur eine Sache der Bequemlichkeit. Eigentlich müsste man es (2,0i) schreiben; (2,_) gibt es so nicht.
Und wenn man es noch weitere 100 Jahre so praktiziert und es sich eingebürgert hat es Einfachheit-halber so zu schreiben, es die Studenten den Professoren nachmachen und später selbst Professor mit der Schreibweise werden, ändert es nichts an der Tatsache dass man es nur aus Bequemlichkeit weg lässt.

Weitere 20 Jahre und keiner weiss mehr, dass der Limes mancher Terme nicht gleich unendlich ist, sondern nur auf ihn zu strebt. Das "limes = unendlich" ist nur eine Notation.
Viele wissen auch nicht, dass "unendlich" nicht in R enthalten ist, weil man es der Einfachheit halber immer ins z.B. Interval [0,unendlich] mit hinein genommen hat
(Man fängt aber inzwischen wieder damit an, bei Mengenbildung wieder explizit "R vereinigt {-unendlich,+unendlich}" zu schreiben, da es die meisten implizit nicht mehr richtig interpretieren), wie man z.B. auch an den meisten Definitionen des "neuen Grenzwertbegriffs" gerade findet.
Beispiel:
2017-03-08.png
2017-03-08.png (12.25 KiB) 16566 mal betrachtet
Da wird z.B. auch deutlich, dass unendlich als Grenzwert eigentlich gar nicht in Frage kommt, da es nicht einmal in drin R liegt. Man macht es sich nur einfacher wenn man das exakt korrekte weg lässt, da man davon ausgeht, dass ohnehin jeder weiss wie es gemeint ist und es normalerweise für die zu machende Aussage keine wesentliche Rolle spielt, wie man das jetzt eigentlich genau akkurat aufschreibt.
wikipedia hat geschrieben: Limits can also have infinite values. When infinities are not considered legitimate values, which is standard (but see below), a formalist will insist upon various circumlocutions. For example, rather than say that a limit is infinity, the proper thing is to say that the function "diverges" or "grows without bound". In particular, the following informal example of how to pronounce the notation is arguably inappropriate in the classroom (or any other formal setting).
Wie gesagt, auch wenn es tausendfach gemacht und widerholt wird, sich eingebürgert hat, ist es nicht wirklich auch formal korrekt geschrieben.

Das "2+0i = 2" ist so ähnlich wie das "Limes Blabla=unendlich" was so ja eigentlich auch nicht korrekt wäre, da nicht unendlich der Grenzwert ist, sondern der Grenzwert in dem Falle gar nicht existiert. Mein Bildschirm wäre auch ziemlich sauer, wenn ich ihm die x-Koordinate eines Punktes gebe und ihn dann automtisch annehmen lasse, dass die Nicht-Existenz einer y-Koordinate y=0 bedeuten soll. Kein y bedeutet kein y, und nicht y=0. Und selbst ein PC-Monitor interessiert sich praktisch überhaupt nicht dafür, welchen Betrag die Diagonale von (0,0) zu (x,y) hat.
Klar kann man auf den komplexen Zahlen Normen definieren (was ja auch schon geschehen ist), diese ändern aber nichts daran, dass es sich bei einer komplexen Zahl um eine Konkatenation zweier völlig unterschiedlicher Dinge handelt.
Vieles ist von der Notation her in Ordnung zu machen, solange klar bleibt, dass es lediglich die schriftliche Notation der Formulierung eines bestimmten Zusammenhanges ist und keiner Verwechslungsgefahr unterliegt.

Wenn du sagst
2+0i=2,
dann sage ich
0+2i=2.
Real- und Imaginärteil sind gleichberechtigt! Re(2+0i) und 2 sind gleich; 2+0i und 2 sind nicht gleich.
Ohne das "+0i" bekommt der Ausdruck einen völlig anderen Kontext ;)
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 07:47

Sei x in einem Vektorraum und 0 Element des Vielfachenkörpers. Dann gilt 0*x = 0 und nicht gleich 0 => meine obige Argumentation ist in dieser Form falsch. Auch die Betragsbildung bringt das nicht weiter, denn man kann auch auf einem Vektorraum über die Bilinearform oder idealerweise das Skalarprodukt eine Betragsbildung definieren.


Ich hatte stillschweigend verwendet, dass i eine Zahl ist.


Ich muss jetzt zur Arbeit, ich führe das später genauer aus.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 08:55

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
Deiner Argumentation könnte man analog schlussfolgern:
|i|=|1| <=> |i|=1 <=> i=1
Das stimmt so einfach nicht.
Hallo Skeltek,

was man "analog" zeigen kann, ist etwas dünn, weil nicht definiert ist, was "analog" bedeutet.

Was also konkret ist in meiner "<=>"-Kette falsch: welcher Argumentationsschritt ist Deiner Meinung nach unzutreffend ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 08:58

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
0 und 0*i sind nicht dasselbe. Sie haben lediglich denselben Betrag, bezüglich deiner Norm.
Genausowenig wäre i größer als 0.
Hallo Skeltek,

vielleicht liegt hier die Ursache für die Missverständnisse: wie definierst Du i ?

In der Algebra ist die Definition sehr einfach: i ist eine der beiden Nullstellen eines Polynoms mit rational-zahligen Koeffizienten, nämlich des Polynoms x²+1.

Verwendest Du möglicherweise eine andere Definition ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 09:00

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
Real- und Imaginärteil sind gleichberechtigt! Re(2+0i) und 2 sind gleich; 2+0i und 2 sind nicht gleich.
Ohne das "+0i" bekommt der Ausdruck einen völlig anderen Kontext ;)
Hallo Skeltek,

auch das kann nicht stimmen, denn die rein-reellen Zahlen bilden einen Ring und die rein-imaginären Zahlen bilden keinen Ring, weil das Produkt zweier rein-imaginärer Zahlen keine rein-imaginäre Zahl ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 09:40

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
Weitere 20 Jahre und keiner weiss mehr, dass der Limes mancher Terme nicht gleich unendlich ist, sondern nur auf ihn zu strebt. Das "limes = unendlich" ist nur eine Notation.
Viele wissen auch nicht, dass "unendlich" nicht in R enthalten ist, weil man es der Einfachheit halber immer ins z.B. Interval [0,unendlich] mit hinein genommen hat
(Man fängt aber inzwischen wieder damit an, bei Mengenbildung wieder explizit "R vereinigt {-unendlich,+unendlich}" zu schreiben, da es die meisten implizit nicht mehr richtig interpretieren), wie man z.B. auch an den meisten Definitionen des "neuen Grenzwertbegriffs" gerade findet.
Beispiel: 2017-03-08.png
Da wird z.B. auch deutlich, dass unendlich als Grenzwert eigentlich gar nicht in Frage kommt, da es nicht einmal in drin R liegt. Man macht es sich nur einfacher wenn man das exakt korrekte weg lässt, da man davon ausgeht, dass ohnehin jeder weiss wie es gemeint ist und es normalerweise für die zu machende Aussage keine wesentliche Rolle spielt, wie man das jetzt eigentlich genau akkurat aufschreibt.
wikipedia hat geschrieben: Limits can also have infinite values. When infinities are not considered legitimate values, which is standard (but see below), a formalist will insist upon various circumlocutions. For example, rather than say that a limit is infinity, the proper thing is to say that the function "diverges" or "grows without bound". In particular, the following informal example of how to pronounce the notation is arguably inappropriate in the classroom (or any other formal setting).
Wie gesagt, auch wenn es tausendfach gemacht und widerholt wird, sich eingebürgert hat, ist es nicht wirklich auch formal korrekt geschrieben.
Hallo Skeltek,

darf ich an dieser Stelle fragen, an welcher Hochschule Du eine Mathematik-Vorlesung besucht hast, an der so etwas behauptet worden wäre ?

Die korrekte Schreibweise für den "limn->oo" lautet immer noch "limn in IN" und diese n sind alle über die Peano-Axiome widerspruchsfrei definiert.

Und eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie das Cauchy-Kritierium erfüllt, und im Cauchy-Kriterium wird der Grenzwert mit keiner Silbe erwähnt !


Wenn Du Dich ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt hast, so ist Dir sicherlich aufgefallen, dass das Wort "unendlich" dort niemals verwendet wird. Alternativ hast Du vielleicht eine Vorlesung über Non-Standard-Analysis gehört: da macht man das zwar anders, aber das Wort "unendlich" kommt da auch nicht vor; da arbeitet man mit 2 Postulaten und mit Äquivalenzklassen !


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 10:30

Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
Dass man im Komplexen 2 anstelle von 2+0i scheibt ist nur eine Sache der Bequemlichkeit. Eigentlich müsste man es (2,0i) schreiben; (2,_) gibt es so nicht.
Skeltek hat geschrieben:
8. Mär 2017, 23:13
Real- und Imaginärteil sind gleichberechtigt! Re(2+0i) und 2 sind gleich; 2+0i und 2 sind nicht gleich.
Hallo Skeltek,

es ist ja nicht so schwer zu erraten, wie Du das machst, und dann zu sehen, an welcher Stelle Du Dich irrst.

Du gehst schlussendlich von der Gauss'schen Zahlenebene und der Euler'schen Formel aus, definierst also die komplexen Zahlen als Summe zweier Basisvektoren (1,0) und (0,1) im Vektorraum IR², wobei Du (1,0) mit der Zahl "1" identifizierst und (0,1) mit der imaginären Einheit "i" identifizierst.

Aus algebraischer Sicht befindest Du Dich also im Vektorraum IR² und keineswegs im Körper IC.


Aber dank der Identifikation f(x) = f(xRealteil+xImaginärteil*i) = xRealteil*(1,0) + xImaginärteil*(0,1) hast Du eine Abbildung f: IC -> IR² definiert, die auch viele sehr schöne Eigenschaften hat. Wobei Du genau genommen ja die Umkehrabbildung betrachtest, d.h. Du gehst vom Vektorraum IR² aus und bildest dessen Elemente in den Körper IC der komplexen Zahlen ab.


Wie wird nun die Produktbildung im Körper und im Vektorraum definiert ?

Im Vektorraum hast Du eine Vielfachenbildung, doch stammen diese Vielfachen aus IR, d.h. sie eignen sich nur, um reelle Zahlen zu multiplizieren. Du definierst also folgende Produkte in IR² und weist diese dann Produkten in IC zu:

x * (1,0) -> x * 1
x * (0,1) -> x * i

Aber das sind ja erst Vielfache, jedoch benötigt man auch eine Definition für eine Multiplikation der Vektoren des IR² untereinander, die ich mit * notiere.

Und diese geschieht wie folgt:
(1,0) * (1,0):= (1,0)
(0,1) * (0,1):= (-1,0)

Und an dieser Stelle sind (1,0) und (0,1) eben nicht mehr gleichberechtigt !!!


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von Skeltek » 9. Mär 2017, 21:58

Hallo Ralf
Man sollte unterscheiden zwischen Körper und Menge der reelen Zahlen.
(2) ist Element der Menge der Reelen Zahlen.
(2,0) ist Element einer anderen Menge / aus der Struktur des R² entnommenen Elemente.
Um die Körper welche darüber definiert werden können mit Hilfe von jeweils zwei Verknüpfungen geht es hier gar nicht; du verwendest dies aber für deinen Beweis.
Das mag vielleicht bei komplexen Zahlen so funktionieren, allerdings merkt man spätestens bei Vektorrechnung, dass man ein Element nicht einfach aus dem Kontext reißen kann, in welchen es eingebettet ist.

ralfkannenberg hat geschrieben: Wenn Du Dich ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt hast, so ist Dir sicherlich aufgefallen, dass das Wort "unendlich" dort niemals verwendet wird.
Wenn du genau liest, ging es mir mehr darum, dass gewisse Umstände vielen nicht bewusst sind und sie sich auch weigern sich vom Gegenteil überzeugen zu lassen. Du wirst hier nicht leugnen können, dass die meisten sich nicht ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt haben, welche an der Uni/Hochschule Mathematik oder Analysis gelernt haben.
Es ging hier eher im das "=unendlich" welches viele Menschen verwenden, und nicht um das "x->unendlich" was auch sehr verbreitet ist.
Wie zum Henker kommst du darauf, dass ich die Meinungen der Menschen vertrete, welche ich in meinem Beispiel erwähne?
Und nur weil du gefragt hast: Analysis hatte ich vor ca 20 Jahren im Mathe-Studium an der Uni Stuttgart-Vaihingen gehabt, aber ich glaube nicht, dass das für die Diskussion eine Rolle spielen sollte. Nach so langer Zeit vergisst man ohnehin das meiste und nur das wesentliche bleibt hängen.

Um aber zum eigentlichen Thema zurückzukommen:
Dass 2 und (2,0) nicht dasselbe sind, wird man denke spätestens dann merken, wenn man sich mit anderen Themen beschäftigst, wie zum Beispiel Vektorrechnung. Ein skalarer Wert kann einen Vektor nicht ersetzen.
Auch ist i keine imaginäe Zahl, sondern nur imaginäre Einheit. 0i wird beim Schreiben in der Regel aber durch i abgekürzt - wichtig ist nur, dass Notation und Bedeutung ein-eindeutig sind.
Man kann aber sicherlich 2+0i mit der reelen Zahl 2 identifizieren. <-Ich denke darauf könnte man sich gerne einigen.

ps: Ich mache einen Unterschied zwischen gleichberechtigt und gleichbehandelt.
Wenn du willst, können wir in Zukunft auch gerne 2r+3i schreiben statt 2+3i. Das i ist wirklich nur eine Einheitenmarkierung.
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  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

ralfkannenberg
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 22:15

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Mär 2017, 10:30
Aber dank der Identifikation f(x) = f(xRealteil+xImaginärteil*i) = xRealteil*(1,0) + xImaginärteil*(0,1) hast Du eine Abbildung f: IC -> IR² definiert
Korrigenda:

es muss f(x) statt f(x) heissen

ralfkannenberg
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2017, 23:09

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Man sollte unterscheiden zwischen Körper und Menge der reelen Zahlen.
Hallo Skeltek,

das will ich gerne präzisieren: die Menge der reellen Zahlen bildet mit den beiden Verknüpfungen + und * einen Körper. Falls Du einen Beweis hierzu sehen möchtest, so kann ich einen solchen in einem eigenen Thread gerne führen.

Somit dürfen wir von nun an vom Körper der reellen Zahlen schreiben.
Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
(2) ist Element der Menge der Reelen Zahlen.
2 ist nach obigem auch Element vom Körper der reellen Zahlen. Allerdings erschliesst sich mir nicht, warum Du 2 in runden Klammern schreibst, da der eindimensionale Vektorraum über die reellen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen trivialerweise isomorph sind, dabei spielt es keine Rolle, ob man die Vielfachen-Bildung oder das Standard-Skalarprodukt für die Multiplikation verwendet.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
(2,0) ist Element einer anderen Menge / aus der Struktur des R² entnommenen Elemente.
Korrekt, aber diese andere Menge benötigen wir gar nicht.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Um die Körper welche darüber definiert werden können mit Hilfe von jeweils zwei Verknüpfungen geht es hier gar nicht; du verwendest dies aber für deinen Beweis.
Selbstverständlich benötigen wir diesen Körper, allein schon deswegen, weil wir die imaginäre Einheit ja definieren müssen. Man braucht nicht das schwere Geschütz der Infinitesimalrechnung aufzufahren, um diese imaginäre Einheit über die Gauss'sche Zahlenebene und die Euler'sche Formel zu definieren, ein banales quadratisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist hierfür völlig genügend.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Das mag vielleicht bei komplexen Zahlen so funktionieren, allerdings merkt man spätestens bei Vektorrechnung, dass man ein Element nicht einfach aus dem Kontext reißen kann, in welchen es eingebettet ist.
Wie gesagt: es erschliesst sich mir nicht, wie Du den komplexen Zahlen mit Vektorrechnung beikommen willst; additiv mag das ja komponentenweise noch einfach gehen, doch bei der Multiplikation brauchst Du dann Zusatzregeln, die sich nicht aus der Vektorrechnung ergeben. Beim algebraischen Ansatz indes stellt sich dieses Problem nicht: da wird auch komponentenweise addiert, doch die Multiplikation folgt direkt aus der Definition und ist äusserst einfach.

Wie gesagt: man sollte dieses Pferd doch von vorne aufzäumen und nicht von hinten !

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Du wirst hier nicht leugnen können, dass die meisten sich nicht ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt haben, welche an der Uni/Hochschule Mathematik oder Analysis gelernt haben.
Das hat mit "leugnen" nichts zu tun, das kann (und will) ich nicht beurteilen. Zumindest ich habe das noch von der Pike auf lernen müssen und das war ziemlich deftig und anfangs auch ziemlich frustrierend.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Es ging hier eher im das "=unendlich" welches viele Menschen verwenden, und nicht um das "x->unendlich" was auch sehr verbreitet ist.
Wer mich kennt, weiss, dass ich "unendlich" wenn möglich vermeide. Und das ist fast immer möglich. Kommt hinzu, dass auch Pippen's Frage nichts mit "unendlich" zu tun hatte.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Wie zum Henker kommst du darauf, dass ich die Meinungen der Menschen vertrete, welche ich in meinem Beispiel erwähne?
Na, weil Du Dich für diese eingesetzt hast. ;)

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Und nur weil du gefragt hast: Analysis hatte ich vor ca 20 Jahren im Mathe-Studium an der Uni Stuttgart-Vaihingen gehabt, aber ich glaube nicht, dass das für die Diskussion eine Rolle spielen sollte. Nach so langer Zeit vergisst man ohnehin das meiste und nur das wesentliche bleibt hängen.
Bei mir ist das nun schon 36 Jahre her, aber dass man in der Analysis das Wort "unendlich" nicht braucht, ist mir bis heute geblieben, obgleich ich seit 28 Jahren berufstätig bin und selten mehr als Additionen und Multiplikationen benötigt habe.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Um aber zum eigentlichen Thema zurückzukommen:
Dass 2 und (2,0) nicht dasselbe sind, wird man denke spätestens dann merken, wenn man sich mit anderen Themen beschäftigst, wie zum Beispiel Vektorrechnung. Ein skalarer Wert kann einen Vektor nicht ersetzen.
Meines Wissens hat auch niemand behauptet, dass 2 und (2,0) dasselbe seien. Die Frage war nur, ob man die natürliche Zahl 2 als komplexe Zahl 2 + 0*i auffassen kann und ja, das kann man tun. Reiner wäre es, wenn man die natürliche Zahl 2 als natürlich-komplexe Zahl 2 + 0*i auffassen würde, das ist eigentlich alles, was ich vermitteln möchte. Vektorräume benötigt man hierfür gar nicht.

Dass die komplexe Zahlenebene eine Ebene ist und als solche Gegenstand von Vektorrechnung sein kann ist zwar richtig, aber dennoch wenig zweckmässig, weil die Addition trivialerweise komponentenweise wie in der Vektorrechnung erfolgt, aber die Produktbildung völlig anders geht und weder der Vielfachenbildung, noch dem Skalarprodukt und auch nicht dem Vektorprodukt entspricht.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Auch ist i keine imaginäre Zahl, sondern nur imaginäre Einheit.
Das möchtest Du sichrlich noch etwas näher erläutern, wie man das so verstehen kann, dass es richtig ist. In der vorliegenden Form jedenfalls ist es unzutreffend - selbstverständlich ist i eine imaginäre Zahl.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
0i wird beim Schreiben in der Regel aber durch i abgekürzt - wichtig ist nur, dass Notation und Bedeutung ein-eindeutig sind.
Das ist vermutlich nur ein Schreibfehler: 1*i wird durch i abgekürzt, nicht 0*i. 0*i ist einfach nur 0.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
Man kann aber sicherlich 2+0i mit der reelen Zahl 2 identifizieren. <-Ich denke darauf könnte man sich gerne einigen.
Bei der Frage ging es um die natürliche Zahl 2, nicht um die reelle Zahl 2.0 . Wenn man hier identifizieren will, dann sollte man die natürlichen Zahlen "irgendwie" in IR einbetten und dann die natürliche Zahl 2 mit der reellen Zahl 2.0 identifizieren.

Und ehe wir das tun, würde ich zuerst noch die natürliche Zahl 2 mit der ganzen Zahl +2 identifizieren, dann mit der rationalen Zahl 2/1 und schliesslich mit der algebraischen Zahl, die Nullstelle des linearen Polynoms x-2 ist. Bei algebraischen Zahlen mindestens vom Grade 2 muss man noch per Konvention festlegen, welche der Nullstellen ihres Minimalpolynoms zu verwenden ist. - Erst dann kann man diese Zahl mit der reellen Zahl 2.0 und nachfolgend noch mit der komplexen Zahl 2.0 + 0.0*i identifizieren.

Nicht dass ich auf solche Pedanterie übertriebenen Wert legen würde, aber wenn Du schon identifizieren möchtest - wofür es selbstverständlich gute Gründe geben mag, dann möge man das bitte richtig tun.

Skeltek hat geschrieben:
9. Mär 2017, 21:58
ps: Ich mache einen Unterschied zwischen gleichberechtigt und gleichbehandelt.
Wenn du willst, können wir in Zukunft auch gerne 2r+3i schreiben statt 2+3i. Das i ist wirklich nur eine Einheitenmarkierung.
Das ist doch Unsinn: man hat den Körper der rationalen Zahlen und adjungiert da nun irgendeine Quadratwurzel dazu und studiert die neue Struktur. Üblicherweise ist das die Quadratwurzel aus 2, die man hinzuadjungiert, d.h. man betrachtet alle Zahlen der Form p + q*Quadratwurzel(2) und zeigt, dass diese Menge einen Körper bildet. Das ist weitestgehend trivial, lediglich beim multiplikativ Inversen muss man mit dem "konjugierten", also mit p - q*Quadratwurzel(2) erweitern.

Dann betrachtet man den Körper der rationalen Zahlen und adjungiert dazu die Quadratwurzel(3) und beweist, dass diese einen Körper bildet, und dann betrachtet man auch noch den Körper der rationalen Zahlen und adjungiert beide Quadratwurzeln dazu. Wenn man das tut muss man aber auch noch die Quadratwurzel(6) dazunehmen.

Und es ist dann sehr naheliegend, auch die Quadratwurzel(-1) zum Körper der rationalen Zahlen hinzu zu adjungieren und hier den Nachweis, dass das einen Körper bildet, zu erbringen. Da läuft alles gleich und da ist auch nichts "Geheimnisvolles" dabei - alle resultierenden Gesetze gelten auch schon im Körper der rationalen Zahlen adjungiert der Quadratwurzel(2). Und dieser Körper enthält nur reelle Zahlen, d.h. diese Gesetze haben gar nichts mit den komplexen Zahlen zu tun, sondern nur damit, dass diese adjungierten Quadratwurzeln keine rationalen Zahlen sind.


Und wenn Du die komplexen Zahlen "genauer" anschreiben möchtest - auch dafür mag es Gründe geben, dann bitte nicht mit 2*r + 0*i, sondern mit 2*1 + 0*i. Der Realteil dieser Zahl ist dann gleich 2 und der Imaginärteil dieser Zahl ist gleich 0. - Im vorgenannten Körper der rationalen Zahlen adjungiert mit der Quadratwurzel(2) hat die Zahl 2 übrigens die Darstellung 2 + 0*Quadratwurzel(2). Wobei das sehr streng-genommen die Darstellung dieser Zahl im Ring der ganzen Zahlen adjungiert mit der Quadratwurzel(2) ist, d.h. im zugehörigen Körper müsste ich genau genommen schreiben: 2/1 + (0/1)*Quadratwurzel(2) .


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 10.03.2017, 09:50 Uhr: Korrigenda in blau
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 10. Mär 2017, 09:50, insgesamt 1-mal geändert.

ralfkannenberg
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Re: Natürliche Zahl als komplexe Zahl?

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mär 2017, 08:53

Pippen hat geschrieben:
8. Mär 2017, 18:26
Ganz kurze Frage zu meinem Verständnis: Gilt die Gleichung 2 = 2+ 0i ? Wäre also 2+0i die komplexe Form der natürlichen Zahl 2?
Hallo zusammen,

nach der bisherigen Diskussion würde ich diese Frage mittlerweile ebenfalls mit einem bedingungslosen "ja" beantworten, denn man kann durchaus "stillschweigend" annehmen, dass die Wortwahl "komplexe Form einer natürlichen Zahl" eine natürlich-komplexe Zahl meint.

Ich war in dieser Angelegenheit zu pedantisch.

Zudem gilt ja auch die Teilmengen-Relation und aus dieser Sichtweise ist diese Frage ohnehin mit "ja" zu beantworten. Trotzdem finde ich persönlich es sehr wichtig, dass man sich immer bewusst ist, in welcher Struktur man sich gerade befindet. - Aber es ist etwas sehr weltfremd und auch nicht zweckmässig, zwischen einer rationalen Zahl und einer rational-reellen Zahl unterscheiden zu wollen und auf einem Isomorphismus, der ohnehin trivial ist, zwischen diesen beiden Körpern bestehen zu wollen.

Vielen Dank für den bisherigen Diskussionsverlauf, dank dem ich meine Meinung ändern durfte.


Freundliche Grüsse, Ralf

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