Natürliche Zahl als komplexe Zahl?
Verfasst: 8. Mär 2017, 18:26
Ganz kurze Frage zu meinem Verständnis: Gilt die Gleichung 2 = 2+ 0i ? Wäre also 2+0i die komplexe Form der natürlichen Zahl 2?
Der Treffpunkt für Astro- Begeisterte
https://abenteuer-universum.de/bb/
Hallo positronium,
2+0i ist also die natürlich-komplexe Form der natürlichen Zahl 2, wobei ich nun die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen stillschweigend hinzugenommen habe, was aufgrund der Peano-Axiome übrigens zulässig ist.
Entschuldigung, das ist natürlich Unsinn: da i als Nullstelle des ganzzahligen Polynoms x² + 1 eine algebraische Zahl ist, ist dieser Körper der "algebraisch-komplexen Zahlen" gleich dem Körper der algebraischen Zahlen !ralfkannenberg hat geschrieben: ↑8. Mär 2017, 21:49Man kann sogar alle "Wurzeln" hinzunehmen und erhält dann den Körper der algebraisch-komplexen Zahlen, das sind alle Zahlen der Form a + b*i mit a und b algebraisch.
Hallo Skeltek,
Rechnen wir das doch einmal rasch aus:
Selbst wenn, dann ist |0*i|=0 und nicht 0*i=0ralfkannenberg hat geschrieben: ↑8. Mär 2017, 22:36wenn man weiss, dass |i| = 1 ist, dann kann i nicht gleich unendlich sein. Somit ist 0*i = 0 und 2 + 0*i = 2 + 0 = 2 .
Wie gesagt, auch wenn es tausendfach gemacht und widerholt wird, sich eingebürgert hat, ist es nicht wirklich auch formal korrekt geschrieben.wikipedia hat geschrieben: Limits can also have infinite values. When infinities are not considered legitimate values, which is standard (but see below), a formalist will insist upon various circumlocutions. For example, rather than say that a limit is infinity, the proper thing is to say that the function "diverges" or "grows without bound". In particular, the following informal example of how to pronounce the notation is arguably inappropriate in the classroom (or any other formal setting).
Hallo Skeltek,
Hallo Skeltek,
Hallo Skeltek,
Hallo Skeltek,Skeltek hat geschrieben: ↑8. Mär 2017, 23:13Weitere 20 Jahre und keiner weiss mehr, dass der Limes mancher Terme nicht gleich unendlich ist, sondern nur auf ihn zu strebt. Das "limes = unendlich" ist nur eine Notation.
Viele wissen auch nicht, dass "unendlich" nicht in R enthalten ist, weil man es der Einfachheit halber immer ins z.B. Interval [0,unendlich] mit hinein genommen hat
(Man fängt aber inzwischen wieder damit an, bei Mengenbildung wieder explizit "R vereinigt {-unendlich,+unendlich}" zu schreiben, da es die meisten implizit nicht mehr richtig interpretieren), wie man z.B. auch an den meisten Definitionen des "neuen Grenzwertbegriffs" gerade findet.
Beispiel: 2017-03-08.png
Da wird z.B. auch deutlich, dass unendlich als Grenzwert eigentlich gar nicht in Frage kommt, da es nicht einmal in drin R liegt. Man macht es sich nur einfacher wenn man das exakt korrekte weg lässt, da man davon ausgeht, dass ohnehin jeder weiss wie es gemeint ist und es normalerweise für die zu machende Aussage keine wesentliche Rolle spielt, wie man das jetzt eigentlich genau akkurat aufschreibt.Wie gesagt, auch wenn es tausendfach gemacht und widerholt wird, sich eingebürgert hat, ist es nicht wirklich auch formal korrekt geschrieben.wikipedia hat geschrieben: Limits can also have infinite values. When infinities are not considered legitimate values, which is standard (but see below), a formalist will insist upon various circumlocutions. For example, rather than say that a limit is infinity, the proper thing is to say that the function "diverges" or "grows without bound". In particular, the following informal example of how to pronounce the notation is arguably inappropriate in the classroom (or any other formal setting).
Hallo Skeltek,
Wenn du genau liest, ging es mir mehr darum, dass gewisse Umstände vielen nicht bewusst sind und sie sich auch weigern sich vom Gegenteil überzeugen zu lassen. Du wirst hier nicht leugnen können, dass die meisten sich nicht ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt haben, welche an der Uni/Hochschule Mathematik oder Analysis gelernt haben.ralfkannenberg hat geschrieben: Wenn Du Dich ernsthaft mit Epsilontik beschäftigt hast, so ist Dir sicherlich aufgefallen, dass das Wort "unendlich" dort niemals verwendet wird.
Korrigenda:ralfkannenberg hat geschrieben: ↑9. Mär 2017, 10:30Aber dank der Identifikation f(x) = f(xRealteil+xImaginärteil*i) = xRealteil*(1,0) + xImaginärteil*(0,1) hast Du eine Abbildung f: IC -> IR² definiert
Hallo Skeltek,
2 ist nach obigem auch Element vom Körper der reellen Zahlen. Allerdings erschliesst sich mir nicht, warum Du 2 in runden Klammern schreibst, da der eindimensionale Vektorraum über die reellen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen trivialerweise isomorph sind, dabei spielt es keine Rolle, ob man die Vielfachen-Bildung oder das Standard-Skalarprodukt für die Multiplikation verwendet.
Korrekt, aber diese andere Menge benötigen wir gar nicht.
Selbstverständlich benötigen wir diesen Körper, allein schon deswegen, weil wir die imaginäre Einheit ja definieren müssen. Man braucht nicht das schwere Geschütz der Infinitesimalrechnung aufzufahren, um diese imaginäre Einheit über die Gauss'sche Zahlenebene und die Euler'sche Formel zu definieren, ein banales quadratisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist hierfür völlig genügend.
Wie gesagt: es erschliesst sich mir nicht, wie Du den komplexen Zahlen mit Vektorrechnung beikommen willst; additiv mag das ja komponentenweise noch einfach gehen, doch bei der Multiplikation brauchst Du dann Zusatzregeln, die sich nicht aus der Vektorrechnung ergeben. Beim algebraischen Ansatz indes stellt sich dieses Problem nicht: da wird auch komponentenweise addiert, doch die Multiplikation folgt direkt aus der Definition und ist äusserst einfach.
Das hat mit "leugnen" nichts zu tun, das kann (und will) ich nicht beurteilen. Zumindest ich habe das noch von der Pike auf lernen müssen und das war ziemlich deftig und anfangs auch ziemlich frustrierend.
Wer mich kennt, weiss, dass ich "unendlich" wenn möglich vermeide. Und das ist fast immer möglich. Kommt hinzu, dass auch Pippen's Frage nichts mit "unendlich" zu tun hatte.
Na, weil Du Dich für diese eingesetzt hast.
Bei mir ist das nun schon 36 Jahre her, aber dass man in der Analysis das Wort "unendlich" nicht braucht, ist mir bis heute geblieben, obgleich ich seit 28 Jahren berufstätig bin und selten mehr als Additionen und Multiplikationen benötigt habe.Skeltek hat geschrieben: ↑9. Mär 2017, 21:58Und nur weil du gefragt hast: Analysis hatte ich vor ca 20 Jahren im Mathe-Studium an der Uni Stuttgart-Vaihingen gehabt, aber ich glaube nicht, dass das für die Diskussion eine Rolle spielen sollte. Nach so langer Zeit vergisst man ohnehin das meiste und nur das wesentliche bleibt hängen.
Meines Wissens hat auch niemand behauptet, dass 2 und (2,0) dasselbe seien. Die Frage war nur, ob man die natürliche Zahl 2 als komplexe Zahl 2 + 0*i auffassen kann und ja, das kann man tun. Reiner wäre es, wenn man die natürliche Zahl 2 als natürlich-komplexe Zahl 2 + 0*i auffassen würde, das ist eigentlich alles, was ich vermitteln möchte. Vektorräume benötigt man hierfür gar nicht.
Das möchtest Du sichrlich noch etwas näher erläutern, wie man das so verstehen kann, dass es richtig ist. In der vorliegenden Form jedenfalls ist es unzutreffend - selbstverständlich ist i eine imaginäre Zahl.
Das ist vermutlich nur ein Schreibfehler: 1*i wird durch i abgekürzt, nicht 0*i. 0*i ist einfach nur 0.
Bei der Frage ging es um die natürliche Zahl 2, nicht um die reelle Zahl 2.0 . Wenn man hier identifizieren will, dann sollte man die natürlichen Zahlen "irgendwie" in IR einbetten und dann die natürliche Zahl 2 mit der reellen Zahl 2.0 identifizieren.
Das ist doch Unsinn: man hat den Körper der rationalen Zahlen und adjungiert da nun irgendeine Quadratwurzel dazu und studiert die neue Struktur. Üblicherweise ist das die Quadratwurzel aus 2, die man hinzuadjungiert, d.h. man betrachtet alle Zahlen der Form p + q*Quadratwurzel(2) und zeigt, dass diese Menge einen Körper bildet. Das ist weitestgehend trivial, lediglich beim multiplikativ Inversen muss man mit dem "konjugierten", also mit p - q*Quadratwurzel(2) erweitern.
Hallo zusammen,