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Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Mathematische Fragestellungen
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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mär 2017, 23:02

Skeltek hat geschrieben:
16. Mär 2017, 20:15
Man teilt R in Intervalle von Länge 1 ein, welche die Elemente der obersten Menge bilden.
Diese 'Interval'-Elemente sind wiederum Mengen, welche aus Intervallen bestehen.
Diese teilt man wiederum auf in Teilintervalle.
Man führt das unendlich oft fort und teilt ständig weiter in Intervalle auf.
In der 'untersten' Menge(welche genau genommen wegen der unendlichen Rekursion nicht existiert) stehen dann die einzelnen Elemente drin.
Hallo Skeltek,

danke schön, jetzt verstehe ich, was Du meinst. Letztlich bildest Du eine Cauchy-Folge und vervollständigst mit diesem Prozess die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.

Mit Hilfe des Cantor'schen Diagonalbeweises kann man zeigen, dass es keine Bijektion dieser Menge in die natürlichen Zahlen gibt. Daraus folgt sofort, dass die Menge der transzendenten Zahlen ebenfalls überabzählbar ist. Ohne dass man in der Lage wäre, aus dieser riesig riesig riesig grossen Menge auch nur ein einziges Element konkret benennen zu können.

Das war 1874, doch zum Glück war es im Jahre 1851 dem französischen Mathematiker Liouville gelungen, eine transzendente Zahl konkret anzugeben, und im Jahre 1873, also ein Jahr vor Cantor und seinem Diagonalbeweis, gelang Hermite der Nachweis, dass auch die Euler'sche Zahl transzendent ist. Somit war es bevor man verstanden hat, wie es bei den transzendenten Zahlen um ihre Mächtigkeit bestellt ist, gelungen, wenigstens zwei transzendente Zahlen konkret zu benennen. Eine dritte, nämlich die Kreiszahl pi, war zwar ebenfalls längst als transzendent vermutet worden, hier gelang der Nachweis dem Mathematiker Lindemann im Jahre 1882.


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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 17. Mär 2017, 01:06

tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:48
Wie wäre es, wenn du diese Rechnung zunächst rein formal diskutieren würdest, nicht gleich mit irgendeiner Interpretation überfrachtet?
Rein formal ist die Sache als Frage einfach zu formulieren: Kann ein kolmogorovscher Wahrscheinlichkeitsraum existieren, in dem die W-Funktion "P(x) -> IR" ihrerseits ein Ereignis x ist?

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 17. Mär 2017, 06:56

Pippen hat geschrieben:
17. Mär 2017, 01:06
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:48
Wie wäre es, wenn du diese Rechnung zunächst rein formal diskutieren würdest, nicht gleich mit irgendeiner Interpretation überfrachtet?
Rein formal ist die Sache als Frage einfach zu formulieren: Kann ein kolmogorovscher Wahrscheinlichkeitsraum existieren, in dem die W-Funktion "P(x) -> IR" ihrerseits ein Ereignis x ist?
Das ist möglicherweise deine Fragestellung, jedoch keine Fragestellung aus dem Artikel. Letzteres meinte ich eigentlich.
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 17. Mär 2017, 15:49

@tomS: Genau das ist mein Vorwurf, es müsste eine Fragestellung auch der Autoren sein. Denn die W-Funktion, in ihrem Falle P(Sn|Sn+1) = 1/n+3, ist nunmal selbst eine Bedingung für S0, sie sorgt gewissermaßen für die Pfeile in der Kette: S0 <- S1 <- S2 <- ...(zur Erinnerung: normalerweise symbolisieren die Pfeile logische Folgerungen, aber hier soll es nur um wahrscheinliche Folgerungen gehen, also bedingte Wahrscheinlichkeiten). Sie hätten dann begründen müssen, warum sie diese Bedingung anders als alle anderen behandeln, nämlich nicht als bedingte Wahrscheinlichkeit. Das verstehe ich nicht, vor allem verstehe ich nicht, warum das völlig unerwähnt bleibt.

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 18. Mär 2017, 12:07

Warum sollten sie das tun?

Sie treffen Annahmen über bedingte Wahrscheinlichkeiten und nehmen dafür einen gewissen Rahmen an. Sie müssen keineswegs diesen Rahmen ebenfalls selbst in die Wahrscheinlichkeiten hineinnehmen.

Bsp. Zinsenzinsrechnung: der Rahmen wird von den Grundrechenarten, einem Startbetrag und einem Zinssatz gebildet; damit gerechnet ich dann das monatliche Guthaben. Der Rahmen ist nicht selbst Gegenstand der Berechnung.

Du versuchst hier künstlich etwas hineinzuinterpretieren, was nicht dasteht, und was auch nicht dastehen muss.
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Skeltek » 18. Mär 2017, 17:29

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mär 2017, 23:02
Mit Hilfe des Cantor'schen Diagonalbeweises kann man zeigen, dass es keine Bijektion dieser Menge in die natürlichen Zahlen gibt. Daraus folgt sofort, dass die Menge der transzendenten Zahlen ebenfalls überabzählbar ist. Ohne dass man in der Lage wäre, aus dieser riesig riesig riesig grossen Menge auch nur ein einziges Element konkret benennen zu können.
Ja, bildlich gesprochen hat man einen Baum, bei dem sich jeder Ast in zwei weitere Äste teilt.
Das sich jeder aus einer Teilung entstandener Ast neu verzweigt, gibt es unendlich abzählbar viele Verzweigungen.
Die Menge aller Astspitzen wäre überabzählbar. Da sich jeder Ast/Zweig neu teilt und keiner davon eine Spitze hat...

Man kann jedoch wie du es geschrieben hast auch so gestalten, dass man diese überabzählbare Menge auf eine einzelne "Astspitze" komprimiert, welche dann die eine übrige überabzählbare Menge bildet.
Eine Bijektion mit N wäre mit letzterer Methode zwar möglich, wobei sich die Gabelungen bijektiv auf natürliche Zahlen abbilden lassen, die überabzählbaren "Astspitzen" jedoch allesamt (nicht bjektiv) auf "unendlich" abgebildet werden.
Das ganze ist natürlich sehr vereinfacht ausgedrückt, ist aber denke ich das anschaulichste Bild, welches ich mir gerade so vorstellen kann.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mär 2017, 21:03

Skeltek hat geschrieben:
18. Mär 2017, 17:29
Ja, bildlich gesprochen hat man einen Baum, bei dem sich jeder Ast in zwei weitere Äste teilt.
Das sich jeder aus einer Teilung entstandener Ast neu verzweigt, gibt es unendlich abzählbar viele Verzweigungen.
Die Menge aller Astspitzen wäre überabzählbar. Da sich jeder Ast/Zweig neu teilt und keiner davon eine Spitze hat...
Hallo Skeltek,

sehr schön: was Du hier machst ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen in [0,1) im Zweiersystem dargestellt.

Daber benötigt man der Eindeutigkeit zuliebe noch ein Detail, und zwar muss man eine Konvention vereinbaren, ob man Zahlen mit Einerende oder Zahlen mit Nullerende verwenden will, denn 0.01111111... = 0.100000000

Man kann diese "1" und "0" auch als logische "true" und "false" interpretieren, welche angeben, ob eine Menge als Teilmenge in einer Menge enthalten ist oder nicht.


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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Skeltek » 18. Mär 2017, 22:05

Klar, aber man kann ja die Verzweigungen in "0er"- oder "1er"-Zweig durch eine beliebige Verzweigung ersetzen, z.B. anstelle einer Verzweigung in jeweils zwei Elemente gibt es eine Verzweigung in abzählbar viele Elemente.
Die Überabzählbarkeit der Baum-"Spitzen" ist ja in jedem Fall gegeben.
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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 29. Mär 2017, 02:07

tomS hat geschrieben:
18. Mär 2017, 12:07
Warum sollten sie das tun?

Sie treffen Annahmen über bedingte Wahrscheinlichkeiten und nehmen dafür einen gewissen Rahmen an. Sie müssen keineswegs diesen Rahmen ebenfalls selbst in die Wahrscheinlichkeiten hineinnehmen.
Könnte sie es denn? Dazu hast du dich noch nicht geäußert, d.h. könnte ich meine W-Funktion P(x) = IR selbst wieder zu einem Ereignis machen, dem Wahrscheinlichkeiten zugeschrieben werden, so dass gilt: P(P(x) = IR) = IR? Ist das möglich oder würde das gg. Kolmogorv verstoßen?

I.Ü. gehe ich davon aus, dass wenn man schreibt, S0 hänge von unendlich vielen S1 bis Sn ab, man dann auch verpflichtet ist, die W-Funktion irgendwo in Sn zu verorten, denn ohne sie käme man gar nicht zu S0, d.h. S0 hängt natürlich auch und gerade von der W-Funktion ab. Es ist mir ein Rätsel, wie du und die Autoren nicht glaubt, dass eine W-Funktion, welche die Wahrscheinlichkeiten zwischen den einzelnen Sn regelt, nicht für S0 (mit-)ursächlich ist (und damit in der Kette von Sn's sein müsste, was zum Widerspruch führt).

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 29. Mär 2017, 06:56

Betrachten wir ein einfaches Beispiel, eine Münze mit P(K) = P(Z) = 1/2. Mit bedingten Wahrschinlichkeiten wäre das P(x|y) = 1/2, wobei x,y für beliebiges K, Z stehen können.

Damit kannst du prima rechnen.

Wo steht da P[P(K) = 1/2] = 1? Warum fehlt dir da nichts? Warum kritisierst du das nicht?
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von ralfkannenberg » 29. Mär 2017, 10:02

Skeltek hat geschrieben:
18. Mär 2017, 22:05
Klar, aber man kann ja die Verzweigungen in "0er"- oder "1er"-Zweig durch eine beliebige Verzweigung ersetzen, z.B. anstelle einer Verzweigung in jeweils zwei Elemente gibt es eine Verzweigung in abzählbar viele Elemente.
Die Überabzählbarkeit der Baum-"Spitzen" ist ja in jedem Fall gegeben.
Hallo Skeltek,

ja, das ist das Kontinuum. Lange Zeit in der Mathematik-Geschichte hat man versucht, dieses nur naiv-definierte Kontinuum ("alle Punkte einer Gerade") formal korrekt zu definieren, was dann meines Wissens erst mit den Dedekind'schen Schnitten in strengem Formalismus gelungen ist. Möglicherweise war der Prozess der Vervollständigung schon vorher formal korrekt beschrieben, aber hierfür benötigt man den formal korrekten Formalismus, mit dem man Konvergenzen beschreiben kann.


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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 30. Mär 2017, 00:19

tomS hat geschrieben:
29. Mär 2017, 06:56
Betrachten wir ein einfaches Beispiel, eine Münze mit P(K) = P(Z) = 1/2. Mit bedingten Wahrschinlichkeiten wäre das P(x|y) = 1/2, wobei x,y für beliebiges K, Z stehen können.

Damit kannst du prima rechnen.

Wo steht da P[P(K) = 1/2] = 1? Warum fehlt dir da nichts? Warum kritisierst du das nicht?
Da fehlt nichts. Wir betrachten einfach ein Wahrscheinlichkeitssystem mit Omega = {K, Z} und E = {{}, {K}, {Z}, {K,Z}} und der W-Funktion P(K xor Z) = 1/2. Darüberhinaus interessiert uns einfach nichts!

Wenn jetzt aber jmd. käme und sagte, ja also die ganze Münzwerferei könnte ja auch ein genialer Trick eines Neurowissenschaftlers sein, der zusätzlich unser Gehirn manipuliert, so dass wir die o.g. W-Funktion falsch erinnern, dann würden wir das bisherige Wahrscheinlichkeitssystem nicht als strukturreich genug ansehen. Wir würden eines wollen mit Omega = {K, Z, P(K xor Z) = 1/2)}, um damit die Unsicherheit hinsichtlich der W-Funktion zu simulieren. Nehmen wir an, wir benutzen weiterhin die gleichverteilte W-Funktion, dann gilt P(K xor Z xor P(K xor Z) = 1/2) = 1/3 und daraus folgt: P(P(K xor Z) = 1/2) = 1/3. Das scheint ein Widerspruch, weil P(K xor Z) = 1/2 per Festlegung im Omega und P(K xor Z) < 1/2, weil sich aus P(P(K xor Z) = 1/2) = 1/3 ergibt, dass P(K xor Z) nur zu einem Drittel 1/2 sein soll. Dann würde ich schlußfolgern, dass so ein Wahrscheinlichkeitssystem deshalb unmöglich ist.

Deine Meinung? Womit hättest du Probleme?

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 30. Mär 2017, 13:02

Ich bin nach wie vor der Meinung, dass der von dir konstruierte Fall im Kontext des Artikels sowie im generell irrelevant ist.

Ich kann dir nicht die Frage beantworten, ob es zumindest formal auf Ebene der sigma-Algebra konsistent möglich ist, Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten für Wahrscheinlichkeiten einzuführen. Ich habe den Eindruck, dass es innerhalb der selben sigma-Algebra nicht möglich und nicht sinnvoll ist.

Die Fälle, die ich kenne, sind z.B. Irrtumswahrscheinlichkeiten: ich habe unbekannte Wahrscheinlichkeiten, z.B. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers an einem Werkstück in einer Charge, sowie die Wahrscheinlichkeit der Korrektheit der Hypothese "in dieser Chage von 1000 Werkstück sind aufgrund einer Stichrobe der Größe 5 mehr als 20 Teile fehlerhaft". Das wären "Wahrscheinlichkeiten über Wahrscheinlichkeiten", aber in einer neuen sigma-Algebra.
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Skeltek » 30. Mär 2017, 14:15

Meiner Meinung nach ist die Wahrscheinlichkeit des Kontextes in welchen ein Wahrscheinlichkeitsproblem eingebettet ist wichtiger, als die Problemstellung selbst.
Es soll ja auch Leute geben, die sich beim IQ-Test dümmer stellen als sie sind, weil sie die Intention der Testmacher wahrscheinlichkeitsbedingt ausgewertet hatten.
Die "ganz schlauen" in dem Test wurden letzten Endes aussortiert und hatten aufgrund ihres "tollen Ergebnisses" dann den Nachteil nicht genommen oder in anderer Form bestraft zu werden.
Nur so ein Gleichnis...
Selbst in der Quantenphysik scheint die Wahrscheinlichkeit eher mehr von der Umgebung abhängig zu sein als von dem eigentlich betrachteten System.

Ist in eurem Beispiel eigentlich wichtig, welche Wahrscheinlichkeit die W-Funktion als Wert hat, oder ist nur relevant, dass überhaupt eine existiert?
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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 4. Apr 2017, 16:49

@tomS: ME kann man beweisen, dass die W-Funktion nicht als Ereignis angenommen werden kann. Ich versuch's mal informell:

1. Omega = {A, B} mit der W- Funktion P(x) = p, dann ist P(x) + P(x) = p + p = 1.
2. Jetzt tun wir die W-Funktion aus 1. zusätzlich in Omega, dann ist Omega = {A, B, P(x) = p} mit der W-Funktion P(x) = p, woraus folgt P(x) + P(x) + P(x) = p + p + p = 1.
3. Es müsste P(x) = p und P(x) = p gleich sein, was unmöglich ist, denn 2P(x) = 1 und 3P(x) = 1, Widerspruch.

Würdest du so einen Beweis (pi-mal-Daumen) anerkennen oder liegt für dich das Problem ganz woanders?

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Struktron » 4. Apr 2017, 18:04

Pippen hat geschrieben:
4. Apr 2017, 16:49

1. Omega = {A, B} mit der W- Funktion P(x) = p, dann ist P(x) + P(x) = p + p = 1.
Kann das denn stimmen?
Müsste es nicht heißen:
Omega = {A, B} mit der W- Funktion P(x) = p, dann ist P(x) + P(¬x) = p + (1-p) = 1 ?

MfG
Lothar W.
http://struktron.de/DSM.pdf
Erklären kleine diskrete Objekte die Grundlagen der Standardphysik?

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 9. Apr 2017, 16:39

Das ist beides das Gleiche, nur anders geschrieben. Mein Beweis funzt mit meiner Schreibweise besser. Ist denn meine Beweisidee korrekt, was meinst du? Klar, man müßte es noch allgemeiner formulieren, aber ich denke man sieht an meinem konkreten Beweisbeispiel, was ich meine und kann leicht sehen, dass das für alle möglichen Fälle von Omega und W-Funktionen gilt.

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 16. Apr 2017, 08:48

Pippen hat geschrieben:
4. Apr 2017, 16:49
1. Omega = {A, B} mit der W- Funktion P(x) = p, dann ist P(x) + P(x) = p + p = 1.
Was ist x?
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Job » 16. Apr 2017, 12:29

Hallo Pippen,

In dem Artikel wird ein sehr interessantes Thema angesprochen, auf das ich keine endgültige Antwort weiss. Dein Gefühl, dass da an dem Beweis etwas nicht stimmen könnte, trügt Dich aber meiner Meinung nach nicht. Die Autoren begehen hier aus meiner Sicht einen Lapsus, der allen, die sich mit Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigen, auch den besten, hin und wieder unbewusst unterlaufen kann.

Die Autoren behaupten implizit, dass es einen Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignismengen Sn und einem Wahrscheinlichkeitsmaß P gibt, für die gilt:

P(Sn|Sn+1) = 1 - 1/(n+3)

P(Sn|¬Sn+1) = 1/(n+3)



Die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit diesen Bedingungen ist aber keineswegs sicher, auch wenn uns unser Gefühl (das ist das Problem) sagt, „warum denn nicht". Das muss aber erst einmal bewiesen werden. Erst dann ist der Beweis der Autoren vollständig und ihre Folgerungen daraus wären valide.

Es gibt nun drei Möglichkeiten:

1. Man kann die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit diesen Eigenschaften beweisen.
2. Man kann beweisen, dass es keinen Wahrscheinlichkeitsraumes mit diesen Eigenschaften geben kann
3. Man kann weder das eine noch das andere beweisen.


Nur im ersten Fall hätten die Autoren recht. Ich weiss nicht, was davon zutrifft. Ich habe nur eine Vermutung. Die Autoren werden sich die Zähne daran ausbeissen.

Viele Grüße
Job

PS zu Deinem konkreten Problem hat Tom schon alles gesagt. da würde ich ihn nur wiederholen.
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 16. Apr 2017, 14:33

tomS hat geschrieben:
16. Apr 2017, 08:48
Pippen hat geschrieben:
4. Apr 2017, 16:49
1. Omega = {A, B} mit der W- Funktion P(x) = p, dann ist P(x) + P(x) = p + p = 1.
Was ist x?
x ist entweder A oder B, mehr Möglichkeit gibt's in meinem Beispiel nicht,deshalb ja auch P(x) + P(x) = 1.

Hier vllt. nochmal eine konkretere Version anhand des Münzwurfs:

1. Sei Omega = {K, Z} mit der W- Funktion P(x) = 1/2.
2. Jetzt tun wir die W-Funktion aus 1. zusätzlich in Omega, dann ist Omega = {K, Z, P(x) = 1/2} mit der W-Funktion P(x) = 1/2.
3. Damit gilt aber: P(Omega) = P(K) + P(Z) + P(P(x) = 1/2) = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1.5, Widerspruch zu Kolm. Axiomen.

Damit klappt das nicht. Die Frage ist, ob man mein Bsp. verallgemeinern und damit zeigen kann, dass W-Funktionen nicht selbst Ereignismengen sein können, oder ob es Bsp. gäbe, wo das möglich wäre. Oder denke ich da ganz falsch und die Lösung wäre ganz anders?

@Job: So sehe ich das auch. Vor allem ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P(Sn|Sn+1) selbst Bedingung für P(Sn), müsste also, wenn wir wirklich alle Bedingungen für Sn aufführen wollen, in sich selbst stecken und das geht wohl nicht, s.o. Genauso wäre zB P(x) = 1/2 eine Bedingung für P(Kopf). Würden wir also wirklich alle Bedingungen für P(Kopf) als bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einbeziehen wollen, dann müsste das Maß selbst in Omega sein.

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 17. Apr 2017, 09:08

Zunächst mal sind wir uns doch einig, dass der gewöhnliche Fall

Ω = {A,B}

mit Σ-Algebra

Σ = {∅, {A}, {B}, {A,B}=Ω}

und

P(A) = p
P(A) + P(B) = 1

funktioniert, oder?


Dein Problem entsteht - angeblich - dadurch, dass du "P(A) = p" ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchtest und dies als "Ergebnis" in Ω aufnehmen möchtest

Wenn du "P(A) = p" in Ω betrachten möchtest - was ich für widersinnig halte - dann musst du gemäß der Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine neue Ergebnismenge

Ω* = {A,B,C}

mit C = "P(A) = p" für ein festes p

sowie ein neues Σ* betrachten.

Damit ist die in Ω gültige Schlussfolgerung P(A) + P(B) = 1 in Ω* sicher falsch; es sei denn, du setzt

P(C) = 0

d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendeine Wahrscheinlichkeit p vorliegt, ist Null für beliebige p. Das ist offensichtlich sinnlos.

Wenn A und B in einem diskreten Ω* gemäß der Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung

P(A ∨ B) = P(A) + P(B)

erfüllen, dann ist immer

P(C) = 1 - P(A) - P(B)

Wenn P(C) = 0, dann kannst du für die Konstruktion von Σ* das C aus Ω* einfach weglassen und landest bei Ω = Ω* \ C sowie bei Σ. Offensichtlich resultiert dieser bekannte Fall dann, wenn P(C) = 0, d.h. gerade für den sinnlosen Fall.

Wenn du den Standardfall für Ω und Σ und für ein gegebenes, festes p betrachten möchtest, dann wäre dieses p natürlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gegeben, d.h. P(C) = 1. Damit ist jedoch zwingend

P(A) = P(B) = 0.

Damit folgt die bekannte Konstruktion für Ω, Σ und p aus deiner gedachten Konstruktion gerade dann, wenn

P(A) = P(B) = p = 0
P[P(A) = 0] = 1

gilt.

Das ist offensichtlich widersinnig; du kannst mittels deines Ansatzes den bekannten Ansatz nicht vernünftig reproduzieren.

Schlussfolgerung? Deine Idee funktioniert nicht! Wenn du Wahrscheinlichkeiten von Wahrscheinlichkeiten betrachten möchtest, dann darfst du diese nicht in das selbe Ω hineinbasteln und dieses zu Ω* erweitern. Der Artikel selbst ist an dieser Stelle völlig in Ordnung; du konstruierst ein Problem, das schlichtweg nicht existiert.
Gruß
Tom

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Skeltek » 17. Apr 2017, 13:04

@Pippen:
Sn und Sn+1 sind ganz bestimmte Zustände, P(Sn|Sn+1) ist direkt von diesen abhängig und eindeutig.
Das Problem ist wohl eher folgendes was du meinen solltest:
P(Sn) lässt sich ohne einen Ursprungszustand unter dessen Vorraussetzungen das "Würfeln" durchgeführt wird nicht bestimmen.
Es gibt keine "allgemeine" Wahrscheinlichkeit P(Sn) welche ohne irgendwelche bereits in mindestens der Aufgabenstellung verwobenen Voraussetzungen bestimmt werden könnten.
In der Regel meint man mit P(Sn) immer ein P(Sn|S*), wobei S* eine gewichtet zu wertende Menge aller möglichen Ausgangszustände ist, unter denen der "Wurf" P(Sn) durchgeführt werden kann; das Sn+1 soll nur einen dieser Zustände herausgreifen und die Menge der Möglichen Ausgangssituationen auf eine oder eine Teilmenge einschränken.

Aber ich verstehe indirekt auch was du meinst:
Die Gültigkeit von P(Sn|Sn+1) ist von der Erfahrung abhängig und in der Realität abhängig davon, dass wir glauben die "Regeln" würden gelten (z.B. fällt ein Würfel wirklich auch nach unten? - erfahrungsgemäß ja, mit von uns zumindest geglaubter 100%iger Wahrscheinlichkeit).
Trotzdem ist es rein mathematisch richtig, auch wenn wir uns nie sicher sein können, dass Sn+1 gerade die Ausgangssituation ist und die von uns aufgestellten Regeln nach denen P(X|Sn+1) berechnet wird universel in jeder beliebigen Situation gültig sind.
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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 18. Apr 2017, 01:07

tomS hat geschrieben:
17. Apr 2017, 09:08
Schlussfolgerung? Deine Idee funktioniert nicht!
Sehe ich auch so. Halten wir fest: Es ist nicht möglich, ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(x) = p als Wahrscheinlichkeitsmaß und gleichzeitig als Ereignismenge in Omega zu haben, weil sich dadurch Omega und wegen P(Omega) = 1 damit auch das Wahrscheinlichkeitsmaß P(x) = p ändern müsste, was der Annahme widerspräche. Wir können das also richtig beweisen, es ist nicht nur "widersinnig" oder so.

Was hat das mit dem Artikel zu tun? In dem Artikel werden angeblich alle der unendlich vielen Bedingungen für S0 untersucht. In dem Omega dazu befinden sich also die Gründe S1, S2,...S24,...S212.300,...und irgendwo muss sich auch P(Sn|Sn+1) = p befinden, denn nur dadurch kommt man schließlich und letztlich auf P(S0). Und damit haben wir unseren Fall: ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches gleichzeitig in Omega ist und das geht nicht und damit wäre deren Rechnung falsch.

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tomS
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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von tomS » 18. Apr 2017, 07:22

Pippen hat geschrieben:
18. Apr 2017, 01:07
tomS hat geschrieben:
17. Apr 2017, 09:08
Schlussfolgerung? Deine Idee funktioniert nicht!
Sehe ich auch so ... Wir können das also richtig beweisen, es ist nicht nur "widersinnig" oder so.
Es wäre wichtig, dass du erkennst, dass es auch ohne Beweis widersinnig ist, denn ...
Pippen hat geschrieben:
18. Apr 2017, 01:07
In dem Artikel werden angeblich alle der unendlich vielen Bedingungen für S0 untersucht. In dem Omega ... [muss sich] irgendwo auch P(Sn|Sn+1) = p befinden, denn nur dadurch kommt man schließlich und letztlich auf P(S0). Und damit haben wir unseren Fall: ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches gleichzeitig in Omega ist und das geht nicht und damit wäre deren Rechnung falsch.
... ist nicht richtig.

Das ist dein Denkfehler. Und diese - deine - Idee ist widersinnig, so dass deine Schlussfolgerung, die Rechnung im Artikel wäre falsch, selbst falsch ist, weil die Autoren diesen Denkfehler nicht begehen.

Bei dem in dem Artikel untersuchten Bedingungen, die sich in der Kette befinden - befinden müssen - handelt es sich um die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Sn|Sn+1), um nichts anderes. Die Autoren zeigen, dass unbedingte Wahrscheinlichkeiten explizit herausfallen, also nicht enthalten sind. Auch anderweitige Bedingungen sind nicht in "alle" enthalten; der gegebene Kontext sagt implizit, was "alle" umfasst, und was nicht.

Stell' dir einen beliebigen Induktionsbeweis für Wahrscheinlichkeiten vor, z.B. einen, in dem p(n) = 1/2n für n = 1,2,... betrachtet wird. Dann ist nirgendwo von P[p(1) = 1/2] die Rede. Und das ist jedem, der sich damit befasst explizit klar.

Deine Idee ist also nicht widersinnig, weil sie beweisbar widersprüchlich ist, sondern einfach weil sie widersinnig ist.
Gruß
Tom

Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.

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Re: Unendliche Kette aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beitrag von Pippen » 20. Apr 2017, 21:58

Deine Idee ist also nicht widersinnig, weil sie beweisbar widersprüchlich ist, sondern einfach weil sie widersinnig ist.
Sinnlosigkeit ist für mich schlicht ein anderes Wort für Widersprüchlichkeit, d.h. wenn es nicht widersprüchlich ist, dann ist es auch nicht sinnlos. So liegt zB der Widerspruch bei der Aussage "wergherhfwrgwreg" darin, dass die Aussage per definitionem etwas aussagen und daher für andere verständlich sein soll, während diese Aussage unverständlich ist, also verständlich und nicht verständlich, Widerspruch. Es gibt mE nichts Sinnloses oder Widersinniges ohne Widerspruch oder hast du ein Beispiel?
Bei dem in dem Artikel untersuchten Bedingungen, die sich in der Kette befinden - befinden müssen - handelt es sich um die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Sn|Sn+1), um nichts anderes. Die Autoren zeigen, dass unbedingte Wahrscheinlichkeiten explizit herausfallen, also nicht enthalten sind. Auch anderweitige Bedingungen sind nicht in "alle" enthalten; der gegebene Kontext sagt implizit, was "alle" umfasst, und was nicht.
Die Autoren listen alle Bedingungen für S0 auf: S1, S2, S3,.... Das sind alles Teilmengen von Omega und weil Sn jeweils aus Sn+1 mit einer Wahrscheinlichkeit folgen soll, kann man sich das richtig schön geschachtelt vorstellen (siehe meine Skizze). Grundannahme ist, dass in dieser Liste alles drin sein soll, woraus sich S0 - direkt (wie bei S1) oder indirekt (über die Vorgängerkette Sn|Sn+1) - ergeben soll. Dann muss sich dort (also in der Liste, also in Omega) auch das Wahrscheinlichkeitsmaß P(Sn|Sn+1) = p befinden, denn erst dadurch wird festgelegt, mit welcher "Stärke" Sn aus Sn+1 folgt und das ist natürlich wichtig für alle Kettenglieder und auch für das Endglied S0. Ohne das Wahrscheinlichkeitsmaß hätten wir gar keine Verbindung von Sn+1 nach Sn und "kämen" gewissermaßen sie zu S0, weil man ja ausdrücklich das übliche Maß der logischen Folgerung suspendiert hat.

In normalen Wahrscheinlichkeitsmodellen spielt das schlicht keine Rolle, weil wir da viel früher abbrechen und es gut sein lassen. Mir ist klar, dass die Autoren das Wahrscheinlichkeitsmaß wie üblich außerhalb von Omega verorten wollen, aber ich hoffe ich konnte klarmachen, warum ihnen das bei ihrem Anspruch mE nicht gelingt. Die Autoren fragen quasi im Münzwurfjargon sowas wie: Wir wollen alle Bedingungen im Omega auflisten, die für einen Münzwurf (Kopf/Zahl) eine Rolle spielen, egal wie winzig oder entfernt die Bedingung sei. Wer sowas macht, der muss auch das Wahrscheinlichkeitsmaß für einen Münzwurf mit in Omega reinnehmen und das geht halt nicht. Damit scheitert das Programm des sog. Infinitismus, weil du eben nie alle Bedingungen für ein S0 angeben kannst, ohne dass mind. eine davon unbedingt ist.
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