Abenteuer-Universum

Woraus ergibt sich eigentlich, dass zwischen zwei nicht-gleichen reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl liegen muss, also: wenn x < y, dann gibt es immer ein z für das gilt: x < z < y?

Meine Idee wäre:

x < y, dann kann man bilden: (x+y)/2 und x < (x+y)/2 < y, nur leider sehe ich nicht ein, dass und warum x < (x+y/2) und y > (x+y)/2? Wie beweist man das wiederum?

Pippen hat geschrieben:x < y, dann kann man bilden: (x+y)/2 und x < (x+y)/2 < y, nur leider sehe ich nicht ein, dass und warum x < (x+y/2) und y > (x+y)/2? Wie beweist man das wiederum?

Abgesehen von dem kleinen Tippfehler ist das doch direkt ersichtlich - Du hast das ja selbst so konstruiert.
Daran zu zweifeln würde bedeuten, dass Du die Gültigkeit der Rechen- und Vergleichszeichen in Frage stellst.

Die Frage ist, ob meine Konstruktion so stimmt. Ich konstruiere aus x < y das arithmetische Mittel x+y/2, aber woher weiß ich, dass dieses Mittel dazwischen liegt, also größer x und kleiner y ist?

Man könnte sagen: Wenn x < y, dann auch x/2 < y/2, dann auch (x/2 + x/2) < (y/2 + x/2), so dass (x/2 + x/2) < (y+x/2), aber ich sehe nicht, warum dann auch x < (y+x/2). Da muss es doch einen Beweis für geben, oder?

Mit x<y definierst Du eine positive Differenz d=y-x. Deshalb gilt natürlich x+d=y. Dann kannst Du schreiben x+2/2*d=y. x+2 d/2=y. x+d/2+d/2=y. x+d/2=y-d/2. Dann kannst Du einfach definieren, dass x+d/2=z=y-d/2. Weil d>0 folgt x<z<y.

positronium hat geschrieben:Mit x<y definierst Du eine positive Differenz d=y-x. Deshalb gilt natürlich x+d=y.

Das verstehe ich.

Dann kannst Du schreiben x+2/2*d=y. x+2 d/2=y. x+d/2+d/2=y. x+d/2=y-d/2. Dann kannst Du einfach definieren, dass x+d/2=z=y-d/2. Weil d>0 folgt x<z<y.

Das verstehe ich nicht mehr.

Folgendes verstehe ich: Wenn x < y, dann d = y - x, dann d + x = y, dann muss sein: d <= y. Dann nehmen wir d/2 und wissen: d/2 < d. Aus d/2 < d und d <= y folgt d/2 < y. Aber wie beweise ich dann, dass d/2 > x? (bzw. das ist nur meine Idee, evtl. ein ganz falscher Ansatz)

Pippen hat geschrieben:

Dann kannst Du schreiben x+2/2*d=y. x+2 d/2=y. x+d/2+d/2=y. x+d/2=y-d/2. Dann kannst Du einfach definieren, dass x+d/2=z=y-d/2. Weil d>0 folgt x<z<y.

Das verstehe ich nicht mehr.

Erst steht da
x+d=y
Dann kann man jeden Term beliebig mit 1 bzw. etwas das 1 entspricht, so z.B. 2/2 multiplizieren:
x+1*d=y
x+2/2*d=y
Wenn man wie oben umformt, erhält man
x+d/2=y-d/2
d ist wie oben zu sehen positiv. D.h. x+d/2>x und y-d/2<y. Ausserdem sind beide Seiten der Gleichung vom Wert her natürlich gleich. Es gibt also eine Zahl, die wir z nennen, welche gleich der linken Seite und gleich der rechten Seite der Gleichung ist.
x+d/2=z und z=y-d/2
Weil bekannt ist, dass d>0 ist, folgt
x<z und z<y

Ok, jetzt habe ich dich verstanden, hier noch meine Lösung zur Kontrolle, die ich (gerade für Anfänger) noch einsichtiger finde

1. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + x/2 < y/2 + x/2, dann x < y+x/2.
2. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + y/2 < y/2 + y/2, dann x+y/2 < y.
3. Ergo: Wenn x < y, dann x < y+x/2 < y.

An diesem Beweis sieht man, wie wichtig Transitivität ist, der würde sonst nicht funktionieren; ohne T. ist Mathematik ziemlich am Ende. Interessant finde ich auch noch, dass zwischen 2 reellen Zahlen nicht nur eine weitere reelle Zahl, sondern sogar immer eine rationale Zahl liegen soll.

Jedenfalls kann ich jetzt sicher beweisen, dass 0,999.. = 1 sein muss, weil sonst 0,9999... < 1 und dann müsste es eine (andere) Zahl dazwischen geben, doch 1 + 0,999.../2 ist eben wieder nur 0,999... und damit nicht zwischen 0,999... und 1, was der Annahme widerspricht.

Pippen hat geschrieben:1. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + x/2 < y/2 + x/2, dann x < y+x/2.
2. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + y/2 < y/2 + y/2, dann x+y/2 < y.
3. Ergo: Wenn x < y, dann x < y+x/2 < y.

Da sind leider Fehler enthalten.
Bei 1. muss es am Ende der Zeile korrekterweise lauten: x < y/2+x/2. Obwohl in diesem Fall auch x < y + x/2 richtig ist.
Bei 2. ist die letzte Ungleichung aber je nach Wert von x und y falsch. Richtig wäre x/2+y/2 < y. Sei beispielsweise x=3 und y=4, dann würde die Ungleichung x+y/2 < y ergeben: 3+4/2<4 -> 5<4.
3. ist also auch falsch 3<4+3/2<4 -> 3<5.5<4

Muss ich mir nochmal in Ruhe anschauen, ich dachte y/2 + x/2 = y+x/2.
Verstehe ich nicht, wie wie von 3+4/2 < 4 auf 5 < 4 kommst.

Hm...also mE stimmt mein Beweis:

1. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + x/2 < y/2 + x/2, dann x < y+x/2.
2. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + y/2 < y/2 + y/2, dann x+y/2 < y.
3. Ergo: Wenn x < y, dann x < y+x/2 < y.

Insbesondere verstehe ich nicht:

Sei beispielsweise x=3 und y=4, dann würde die Ungleichung x+y/2 < y ergeben: 3+4/2<4 -> 5<4.

Das würde doch genau passen, wo kommt da die 5 her?

Pippen hat geschrieben:

Sei beispielsweise x=3 und y=4, dann würde die Ungleichung x+y/2 < y ergeben: 3+4/2<4 -> 5<4.

Das würde doch genau passen, wo kommt da die 5 her?

Du hast die beiden letzten Gleichungen bei Punkt 1 und 2 falsch geschrieben (ich dachte, Du willst die wirklich so, wie sie da stehen), und mit der bei Punkt 2 ergibt sich eben 5<4. - Es gilt immer die Regel "Punkt vor Strich". Du hättest bei 1. x < (y+x)/2 und bei 2. (x+y)/2 < y schreiben müssen.
Mit dieser falschen Schreibweise bist Du zu Punkt 3 übergegangen. Dort muss es lauten: x < (y+x)/2 < y. Du hast aber geschrieben x < y+x/2 < y, was man als x < y+(x/2) < y berechnet.

Du hast also das richtige gedacht, nur falsch aufgeschrieben! - Und ich hab's nicht gemerkt...

Pippen hat geschrieben:Jedenfalls kann ich jetzt sicher beweisen, dass 0,999.. = 1 sein muss, weil sonst 0,9999... < 1 und dann müsste es eine (andere) Zahl dazwischen geben, doch 1 + 0,999.../2 ist eben wieder nur 0,999... und damit nicht zwischen 0,999... und 1, was der Annahme widerspricht.

Hallo Pippen,

Du dividierst eine Summe mit unendlich vielen echt positiven Summanden einfach so durch 2 ... - mit so etwas wäre ich vorsichtig.

Was Du aber machen kannst: betrachte die Folge (1-0.9, 1-0.99, 1-0.999, ...) und zeige, dass Du für alle epsilon > 0 ein Folgenglied n findest, so dass für alle folgenden Folgenglieder der Wert kleiner als epsilon wird. Das bedeutet, dass die Folge gegen 0 konvergiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

@positronium: Ja, sorry, ist es so korrekt, d.h. passt dann auch der Beweis deines Erachtens?

1. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + x/2 < y/2 + x/2, dann x < (y+x)/2.
2. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + y/2 < y/2 + y/2, dann (x+y)/2 < y.
3. Ergo: Wenn x < y, dann x < (y+x)/2 < y.

@ralf: Der Beweis über Konvergenz & Grenzwert überzeugt mich überhaupt nicht, denn zwar konvergiert 0,999... gegen 1, aber es gibt keinen Punkt P, wo gilt: 0,999...[P] = 1, d.h. da wird zum Unendlichen hin ein Grenzwert fingiert, der dann mit der Reihe, die 0,999... symbolisiert, gleichgesetzt wird. Da kann man leicht einwenden: Der Grenzwert von 0,999... ist nicht wofür 0,999... genaugenommen steht, es ist eine Rundungsregel, um mit 0,999... besser rechnen zu können. Doch wenn ich 0,001 zu 0 runde, dann heißt das nicht, dass 0,001 = 0 ist. So in etwa.

Logischer erscheint mir folgende Argumentation und daher auch mein o.g. Beweis: Wir wissen, dass zwei reelle Zahlen nur dann unterschiedlich sind, wenn es eine dritte dazwischen geben kann. Dann zeigt man, dass es keine solche Zahl dazwischen geben kann, weil diese Zahl 0,000... lauten und erst im Unendlichen - also nie - eine 1 am Ende bekäme. Und dann bleibt nur noch übrig, dass eben 0,999.. und 1 gleich sein müssen, so kontraintuitiv es auch scheint.

Pippen hat geschrieben:@positronium: Ja, sorry, ist es so korrekt, d.h. passt dann auch der Beweis deines Erachtens?

1. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + x/2 < y/2 + x/2, dann x < (y+x)/2.
2. Wenn x < y, dann x/2 < y/2, dann x/2 + y/2 < y/2 + y/2, dann (x+y)/2 < y.
3. Ergo: Wenn x < y, dann x < (y+x)/2 < y.

Ja!

Pippen hat geschrieben:@ralf: Der Beweis über Konvergenz & Grenzwert überzeugt mich überhaupt nicht, denn zwar konvergiert 0,999... gegen 1, aber es gibt keinen Punkt P, wo gilt: 0,999...[P] = 1, d.h. da wird zum Unendlichen hin ein Grenzwert fingiert, der dann mit der Reihe, die 0,999... symbolisiert, gleichgesetzt wird. Da kann man leicht einwenden: Der Grenzwert von 0,999... ist nicht wofür 0,999... genaugenommen steht, es ist eine Rundungsregel, um mit 0,999... besser rechnen zu können. Doch wenn ich 0,001 zu 0 runde, dann heißt das nicht, dass 0,001 = 0 ist. So in etwa.

Hallo Pippen,

bitte verstehe mich nicht falsch, aber ich finde es wenig überzeugend, die Regeln der Infinitesimalrechnung pauschal abzulehnen.

Wobei man in diesem Fall alternativ eine geometrische Reihe mit konstantem Glied = 9 und einer Potenz über 1/10 verwenden kann, da kannst Du die Infinitesimalrechnung umgehen und dennoch einen eleganten Beweis führen.

Pippen hat geschrieben:Logischer erscheint mir folgende Argumentation und daher auch mein o.g. Beweis: Wir wissen, dass zwei reelle Zahlen nur dann unterschiedlich sind, wenn es eine dritte dazwischen geben kann. Dann zeigt man, dass es keine solche Zahl dazwischen geben kann, weil diese Zahl 0,000... lauten und erst im Unendlichen - also nie - eine 1 am Ende bekäme. Und dann bleibt nur noch übrig, dass eben 0,999.. und 1 gleich sein müssen, so kontraintuitiv es auch scheint.

Ja natürlich, man kann das Pferd auch von hinten aufzuzäumen versuchen. Der Vorteil der Infinitesimalrechnung ist einfach der, dass man sich keine Gedanken zu machen braucht, was im "Unendlichen", was ohnehin nicht definiert ist, passiert, weil man ausschliesslich mit endlichen Grössen operiert. Die Unendlichkeit kommt also über den "für alle Operator" hinein.

Wobei Du das mit dem "weil diese Zahl 0,000... lauten und erst im Unendlichen - also nie - eine 1 am Ende bekäme" erst noch beweisen musst; das ist zwar anschaulich irgendwie klar, aber ich bin nicht überzeugt, dass Dir das hieb- und stichfest gelingen wird, ohne die zuvor von mir genannten Überlegungen durchzuführen.

Das mit der Zahl dazwischen gilt übrigens schon für Mengen, die "dicht" in einer anderen Mengen liegen, also beispielsweise die rationalen Zahlen. Und es gilt da auch: zwischen 2 reellen Zahlen findet man stets eine rationale Zahl !


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo zusammen,

wie wäre es denn damit: wir multiplizieren diese 0.9999999... mit 10 und subtrahieren sie dann einmal.

Also: sei k=0.99999999....

Dann ist 10*k = 9.999999999..... und einmal k davon subtrahiert ergibt 9 .

Auf der linken Seite steht: 10*k 0 k = 9*k
Auf der rechten Seite steht 9

=> 9*k = 9
=> k = 1


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben:wie wäre es denn damit: wir multiplizieren diese 0.9999999... mit 10 und subtrahieren sie dann einmal.

Also: sei k=0.99999999....

Dann ist 10*k = 9.999999999..... und einmal k davon subtrahiert ergibt 9 .

Auf der linken Seite steht: 10*k 0 k = 9*k
Auf der rechten Seite steht 9

=> 9*k = 9
=> k = 1

Hallo zusammen,

dieser Beweis mag zwar elegant aussehen, aber er verwendet doch stillschweigend ein Resultat der Infinitesimalrechnung, nämlich den Umstand, dass eine streng monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist, konvergiert.

Im Allgemeinen darf man nämlich nicht einfach mal so mit 10 multiplizieren und vom Produkt eine andere "unendlich" lange Zahl wieder subtrahieren.

Für die Anschauung ist dieser vorgenannte Beweis zwar nützlich, aber um es ohne den Apparat der Infinitesimalrechnung hieb- und stichfest zu beweisen würde ich entweder zeigen, dass die Differenzenfolge eine Nullfolge ist oder eben den Beweis über die genannte geometrische Reihe führen.


Freundliche Grüsse, Ralf

@ralf: Mein Problem mit der Infinitisemalrechung habe ich schon geschildert und will es nochmal auf den Punkt bringen, auch um zu prüfen, ob ich es richtig verstehe:

Der Grenzwert einer Folge wie 1, 1, 1,... ist die Folge, aber der Grenzwert einer konvergierenden Folge wie 0,9, 0,09, 0,009,... ist eben nichts weiter als eine Rundungsregel und zwar per definitionem, in dem man epsilon > 0 setzt. Damit sagt man implizit, dass für solche konvergierenden Folgen der Grenzwert nie nie nie !!! von der Folge erreicht wird, so dass er genaugenommen auch nicht die Folge repräsentieren kann...und 0,999.. (wie alle reellen Zahlen) sind schlicht Folgen. Daher kann mE ein Beweis über Grenzwerte nicht bringen, weil Grenzwerte bei konvergierenden Folgen zu unscharf sind.

Pippen hat geschrieben:Daher kann mE ein Beweis über Grenzwerte nicht bringen, weil Grenzwerte bei konvergierenden Folgen zu unscharf sind.

Es bringt nichts, wenn du diese irrige Meinung immer wiederholst; Grenzwerte sind gerade für konvergente Folgen keineswegs "unscharf" sondern präzise definiert.

Pippen hat geschrieben:Der Grenzwert einer Folge wie 1, 1, 1,... ist die Folge, aber der Grenzwert einer konvergierenden Folge wie 0,9, 0,09, 0,009,...

Hallo Pippen,

damit wir über dasselbe sprechen:

diese Folge (0,9, 0,09, 0,009,... ) ist konvergent und konvergiert gegen die Zahl 0.

Du meinst aber vermutlich die Reihe, bei der diese Folgenglieder alle aufsummiert warden, und das ist dann die Folge (0,9, 0,99, 0,999,... ), die gegen 1 konvergiert.

Beide Betrachtungsweisen sind zulässig, aber man darf sie nicht vermischen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Pippen hat geschrieben:ist eben nichts weiter als eine Rundungsregel

Hallo Pippen,

eine "Rundungsregel" ist etwas anderes.

Pippen hat geschrieben:und zwar per definitionem, in dem man epsilon > 0 setzt.

Mit einem epsilon > 0 kommst Du nirgendwo hin.

Nein: für alle epsilon > 0 findet man - anschaulich gesprochen - irgendetwas anderes, z.B. ein N, d.h. "es existiert mindestens ein" N, so dass für alle n>N eine Grösse echt kleiner als epsilon wird.

Es ist also letztlich ein "dreistufiger Prozess".

Pippen hat geschrieben:Damit sagt man implizit, dass für solche konvergierenden Folgen der Grenzwert nie nie nie !!! von der Folge erreicht wird

Das ist korrekt; schliesslich dient das ganze dazu, auch solche Folgen zu beschreiben, die erst "im Unendlichen" konvergieren.

Für Folgen, die schon im endlichen konvergieren, benötigt man keine Infinitesimalrechnung.

Pippen hat geschrieben:, so dass er genaugenommen auch nicht die Folge repräsentieren kann...

Jein: jedes Folgenglied hat eine endliche Nummer, aber es gibt unendlich viele davon.

Hier kommt also die Unendlichkeit nicht über den "für alle"-Operator des Kontinuums hinein, sondern über das Induktionsprinzip der Peano-Axiome.

Das sind übrigens grundverschiedene Dinge, denn das Induktionsprinzip der Peano-Axiome liefert abzählbar unendliche Mengen, während der "für alle"-Operator des Kontinuums überabzählbar unendliche Mengen liefert.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben:

Pippen hat geschrieben:Damit sagt man implizit, dass für solche konvergierenden Folgen der Grenzwert nie nie nie !!! von der Folge erreicht wird

Das ist korrekt; schliesslich dient das ganze dazu, auch solche Folgen zu beschreiben, die erst "im Unendlichen" konvergieren.

Das ist mein Punkt, das meine ich mit der Unschärfe des Grenzwertes, der eben nie die ganz genaue Summe der Folge angeben kann, denn das ginge nur, wenn man epsilon = 0 setzte. Im Gegenteil: Mit der Grenzwertbetrachung kann man nur beweisen, dass es für jede 0,999...-Reihensumme a_n zu 1 einen Unterschied von einer reellen Zahl gibt, die kleiner als epsilon ist. Das führt aber zu 0,999...<1, weil dann ja festünde, dass es immer eine reelle Zahl gäbe, die zwischen 0,999... und 1 läge.

Vielmehr muss man mE beweisen, dass keine reelle Zahl zwischen 0,999... und 1 liegen kann und das vermag der Beweis via Grenzwert nicht.

(Gerade wenn das falsch sein sollte, bitte antworten, weil ich hieran gerade mal prüfe, ob ich Grenzwerte halbwegs richtig verstehe)

Pippen hat geschrieben:Das ist mein Punkt, das meine ich mit der Unschärfe des Grenzwertes, der eben nie die ganz genaue Summe der Folge angeben kann, denn das ginge nur, wenn man epsilon = 0 setzte.

Hallo Pippen,

dadurch, dass es für alle epsilon > 0 gelten muss, muss es auch für die ganz kleinen gelten. Und zwar für alle ganz kleinen.

Und wenn es auch für alle ganz kleinen epsilon gilt, dann konvergiert Deine "Unschärfe" gegen 0.

Pippen hat geschrieben:Im Gegenteil: Mit der Grenzwertbetrachung kann man nur beweisen, dass es für jede 0,999...-Reihensumme a_n zu 1 einen Unterschied von einer reellen Zahl gibt, die kleiner als epsilon ist.

Ja, und zwar für alle epsilon > 0. Das Zauberwort ist "für alle".

Pippen hat geschrieben:Das führt aber zu 0,999...<1

Die echte Inklusion ist falsch; wenn man es mit unendlichen Folgen zu tun hat und für jedes Folgenglied gilt eine echte Inklusion, so gilt für den Grenzwert nur noch die unechte Inklusion.

Also: Das führt aber zu 0,999...<=1

Pippen hat geschrieben:, weil dann ja festünde, dass es immer eine reelle Zahl gäbe, die zwischen 0,999... und 1 läge.

Das ist richtig: für jedes Folgenglied findest Du dann eine Zahl, die echt dazwischen liegt, z.B. den Mittelwert der beiden. Für den Grenzübergang kann man das aber nicht mehr aussagen, sondern ist im Allgemeinen falsch.

Pippen hat geschrieben:Vielmehr muss man mE beweisen, dass keine reelle Zahl zwischen 0,999... und 1 liegen kann und das vermag der Beweis via Grenzwert nicht.

Und warum bist Du dieser Meinung: kannst Du mir axiomatisch herleiten, dass man das nur so beweisen kann ? Ich denke, die beiden Aussagen sind äquivalent.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben:Die echte Inklusion ist falsch; wenn man es mit unendlichen Folgen zu tun hat und für jedes Folgenglied gilt eine echte Inklusion, so gilt für den Grenzwert nur noch die unechte Inklusion.

Also: Das führt aber zu 0,999...<=1

Ja, zum Unendlichen hin ist der Grenzwert gleich der Reihe, weil man dann nicht mehr die einzelnen Reihenglieder anschaut, sondern die Reihe als (unendliches) Ganzes und per Defintiion des Grenzwertes keine Zahl finden bzw. benennen kann, die zwischen 0,999... und dem Grenzwert 1 liegt bzw. sobald man es täte, könnte man mit der Epsiontik kommen und zeigen, dass diese Zahl unterboten werden könnte (und es damit nicht sein kann). Wenn das aber für alle Zahlen gilt, dann bleibt nur der Schluß, dass keine reelle Zahl zwischen 0,999... und 1 liegen kann.

Kann man es so sagen?

Pippen hat geschrieben:Kann man es so sagen?

Hallo Pippen,

sagen wir es einmal so: ich würde es so nicht machen und ich finde Deinen Lösungsweg eher umständlich, aber momentan sehe ich in Deiner Argumentation keinen Fehler.

Aber was stört Dich so sehr an den - in diesem Falle sehr einfachen - Argumenten via Infinitesimalrechnung, also dass die Differenzen-Folge eine Nukkfolge ist, oder alternativ an der geometrischen Reihe ?


Freundliche Grüsse, Ralf