Abenteuer-Universum

Ich versuche mal, ein konkretes Beispiel für die Anwendung des Auswahlaxioms in einem Beweis zu geben. Ein recht bekanntes Beispiel ist das Banach-Tarski-Paradoxon. Hier die Konstruktion einer Vektorraumbasis.

In einem endlich-dimensionalen Vektorraum V lässt sich jedes Elemenet (= jeder Vektor) als endliche Linearkombination von Basisvektoren darstellen. Z.B. kann ich einen Vektor v im 3-dim. Raum schreiben als

v = x e_x + y e_y + z e_z

wobei ich die Basis {e_x, e_y, e_z} sowie die Koordinaten x,y,z verwende.

Die Dimension eines Vektorraumes ist die Mächtigkeit dieser Basis, d.h. die "Anzahl" der Basisvektoren, hier also

dim V = |{e_x, e_y, e_z}| = 3

Man beachte, dass auch eine abweichende Definition möglich wäre, nämlich die maximale Anzahl der Terme in der Linearkombination - im o.g. Beispiel natürlich ebenfalls drei.

Interessanterweise stimmen diese beiden Definitionen im Fall unendlich-dimensionaler Vektorräume nicht zwingend überein. Dazu benötigen wir zunächst mal ein Beispiel. Ich führe die Basis {e^inx} mit ganzen Zahlen n und der reellen Variablen x ein. Eine periodische Funktion f(x) auf dem Kreis kann ich darstellen als Linearkombination

f(x) = ... + a_-1 e^-ix + a₀ + a₁ e^ix + a₂ e^2ix + a₃ e^3ix...

Das ist letztlich eine Fourierreihe. Die Menge der so definierten Funktionen erfüllt alle formalen Anforderungen an einen unendlich-dimensionalen Vektorraum.

Die o.g. Basis ist eine sogenannte Schauder-Basis. Sie besteht aus abzählbar vielen Elementen (Basisvektoren), und sie erfordert abzählbar viele Terme in der Linearkombination. Man möchte nun jedoch auch wieder eine Basis haben, die mit einer endlichen Anzahl von Termen in der Linearkombination auskommt. Dafür muss man jedoch in Kauf nehmen, dass die Basis selbst überabzählbar viele Elemente enthält. Eine solche Basis heißt Hamel-Basis. D.h. man wählt überabzählbar viele Funktionen als Basisvektoren, um anschließend jede der o.g. Funktionen als endliche Linearkombination darzustellen (OK, das ist nicht unbedingt ein anschauliches Vorgehen, aber so ticken Mathematiker nun mal).

Wo ist der Witz?

Hier: man kann mittels des Auswahlaxioms bzw. mittels des gleichmächtigen Zornschen Lemmas beweisen (Details evtl. später), dass für eine bestimmte Klasse von unendlich-dimensionalen Vektorräumen immer eine derartige Hamel-Basis existiert. Aber man kann sie nicht explizit konstruieren, d.h. man kennt sie nicht bzw. kann sie i.A. prinzipiell nicht kennen.

Schade eigentlich ... und Wasser auf die Mühlen der Gegner und Zweifler an der modernen Mathematik

Ja, habe das wohl zu spät gelesen, nachdem ich drüben schon Antwort verfasst hatte.
Nein, ich finde es sogar sehr anschaulich und stimme dem voll und ganz zu.
Verstehe mich nicht falsch, ich denke man kann schon Mathematik damit betreiben.
Diese überabzählbare Basis bildet den Abschluss bezüglich der abzählbar unendlichen Basen, so wie die reelen Zahlen den Abschluss bezüglich der konstruierbaren (abzählbar unendlichen) Zahlenmenge bilden.

Danke dass du dir so viel Mühe machst, aber solange ich nicht klar formulieren kann, welches Detail mich an der Standardinterpretation von "Existenz" stört, würde ich mich eher etwas zurückziehen und das später aufgreifen. Denke ein anderes Vorgehen würde uns beide nur mehr Zeit kosten als es Nutzen bringt.

Unterm Strich stimme ich dir zu, aber der Bereich ist intuitiv nicht so klar formulierbar und benötigt mehr Zeit, als ich momentan zu entbehren habe (wie du siehst schreibe ich hier um 3:30Uhr nachdem ich meine eigentlichen Arbeiten für heute erledigt habe und hab wirklich nur ein knapes Zeitfenster um mich damit auseinander zu setzen).

Hoffe du hattest trotzdem schöne Weihnachtszeit und wünsch schonmal einen guten Rutsch!

Hallo Tom, Skeltek,

Ihr sprecht hier einen Themenkomplex an, der mich ebenfalls sehr interessiert. Im Laufe einiger Diskussionen in diesem Forum ist mir der Gedanke gekommen, dass das Auswahlaxiom bzw. die Wahl einer Alternative dazu nicht nur eine rein mathematische Fragestellung sein könnte, sondern dass die Antwort auf das „richtige“ Zusatzaxiom zu ZF nur die Natur selbst geben kann. Oder anders ausgedrückt: Da die Mathematik aus sich heraus bereits festgestellt hat, dass sie diese Frage selbst nicht beantworten kann, sind wir auf Hinweise von anderer Stelle angewiesen, die uns hier evtl. einen Anhaltspunkt geben können. Und dies ist aus meiner Sicht die Physik und ihre Beschreibung der Natur. Ich bin mir inzwischen auch ziemlich sicher, dass die Antwort auf die Frage, „Was ist Raum?“ direkt etwas hiermit zu tun hat.

Wenn man das Auswahlaxiom in seiner allgemeinsten Form, d.h. für beliebige Mengensysteme als gültig annimmt, kann man zum Teil sehr merkwürdige Dinge beweisen, die unserer Intuition zuwider laufen bzw. nicht nachvollziehbar sind. Ein Beispiel hat Tom mit dem Banach-Tarski Theorem bereits angeführt. Müssten bei der Aussage dieses Theorems die Physiker nicht ein ungutes Gefühl bekommen? Es rüttelt doch an den Grundfesten dessen, was Physik eigentlich zumindest aus meiner Sicht als unabdingbar voraussetzen müsste, um überhaupt konsistente Maße benutzen zu können.

Ich selbst glaube nicht, dass das Auswahlaxiom in seiner allgemeinen Form gültig (im Sinne von in der Natur realisiert) ist. Daher ist die Frage, ob es hierzu Alternativen gibt, die eher geeignet sind, als Grundlage für das mathematische Fundament der Physik zu dienen und ob diese dann auch einen Rückschluss auf die Grundstrukturen der Natur zulassen.

Etwas flapsig ausgedrückt, besagt das Auswahlaxiom in etwa „Fast alles ist möglich“ und mit so einem Axiom kann man dann natürlich auch alles mögliche beweisen. Es ist sicher aus mathematischen Aspekten heraus durchaus interessant, was dann alles möglich ist und ich habe daher auch kein Problem damit, wenn man das dann auch tut. Wenn aber der Anspruch besteht, dass die Mathematik sozusagen ein Abbild der Natur sein soll, in dem Sinne, dass ihre Grundannahmen der Natur zumindest nicht widersprechen, habe ich wie gesagt große Bedenken, dass das mit dem Auswahlaxiom in der heutigen Form der Fall ist. Es geht also meiner Meinung nach darum, das „Fast alles ist möglich“ so einzuschränken, dass es der Realisierung in der Natur möglichst nahekommt. Dies bedeutet aus meiner Sicht nicht, dass es in der Natur keine Unendlichkeiten gibt, es bedeutet aber, dass die Unendlichkeiten auch nicht beliebig sind, sondern einen Mechanismus haben, den wir mathematisch auch konkret fassen können.

Schauen wir uns dazu mal zwei Alternativen zum Auswahlaxiom an, um ein Gefühl zu bekommen, worum es gehen könnte.

1. Das Konstruierbarkeitsaxiom
Dies geht auf Gödel zurück, der über eine Anzahl von 8 Mengenoperationen Mengen aus der leeren Menge konstruieren konnte, die er konstruierbare Mengen nannte. Das Axiom lautet dann, dass alle Mengen konstruierbare Mengen sind. Dies schränkt die Anzahl der potentiellen Mengen ein.
Aus dem Konstruierbarkeitsaxiom kann man das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese beweisen. Dieses Axiom ist zwar sehr interessant aus grundsätzlichen Überlegungen, führt aber auch auf die Gültigkeit des Auswahlaxioms mit all seiner Merkwürdigkeiten und ist daher meiner Meinung nach als Ersatz nicht geeignet.

2. Das Axiom der Determiniertheit
Es besagt, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen determiniert ist.
Die Definition hierzu ist etwas länglich und ich möchte daher nur auf einige sehr interessante Konsequenzen daraus eingehen:

Aus dem Axiom folgt die Kontinuumshypothese
Aus dem Axiom folgt, dass das Auswahlaxiom in seiner Allgemeinheit falsch wäre und damit auch das Lemma von Zorn
Man kann aber ein schwächeres Auswahlaxiom beweisen, in dem Sinne, dass man aus jeder abzählbaren Anzahl von nicht-leeren Teilmengen der reellen Zahlen je eine reelle Zahl auswählen kann (Countable Axiom of Choice).
Jede Borelmenge ist determiniert
Aus dem Axiom folgt, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist
Aus dem Axiom folgt, dass die reellen Zahlen nicht wohlgeordnet werden können

Dieses Axiom ist meiner Meinung nach aufgrund seiner Konsequenzen für physikalische Fragestellungen wie geschaffen und es würde sich lohnen, sich einmal näher damit zu beschäftigen.

Früher habe ich diese Fragestellungen eher als eine rein mathematische Angelegenheit betrachtet. Einige Diskussionen hier im Forum haben mich aber ins Grübeln gebracht. Sie sind aus meiner Sicht nun tatsächlich essentiell auch für grundlegenden Fragen der Physik, wie zum Beispiel „Was ist Raum?“, die einhergeht mit der Frage „Was ist das Vakuum?“ Ich würde gerne später dazu noch einiges schreiben. Im Moment komme ich aber leider nicht dazu.