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Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Mathematische Fragestellungen
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 15. Dez 2016, 08:43

seeker hat recht
Gruß
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deltaxp
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von deltaxp » 15. Dez 2016, 11:49

das hab sogar mathematik-Pragmatiker verstanden, seeker :)

Pippen
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 16. Dez 2016, 01:58

seeker hat geschrieben:D.h.: Ich muss Objekte gar nicht denken können, es reicht wenn ich die verwendeten Regeln denken kann.
Natürlich muss ich ein Objekt denken können, ein nicht-denkbares Objekt ist gerade dadurch, dass ich es annehme oder einführe oder damit rechne denkbar und wäre damit ein Widerspruch in sich, so dass ich an seiner Stelle die äquivalente Formel "p & ~p" verwenden könnte und dadurch alles beliebig würde. Was du meinst ist: Ich muss mir Objekte nicht (anschaulich, konkret) vorstellen können.

Das Unendlichkeitsaxiom postuliert die Existenz einer aktual unendlichen Menge, die man sich immer nur endlich denken kann, egal wie man es dreht und wendet. Denkt man sich zB die aktual unendliche Menge so, als ob sie aktual unendlich wäre, dann ändert sich nichts daran, dass in dieser als-ob-Welt die Menge immer noch nur endlich denkbar wäre, man bezeichnet sie einfach nur als aktual unendlich, ganz so als würde man auf ein Karton mit 5 Äpfeln einfach ein Etikett mit "10 Äpfel" draufkleben, dadurch bliebe der Karton mit 5 Äpfeln aber unverändert. Damit postuliert man die Existenz von etwas, das undenkbar ist und das ist unmöglich; denkbar ist nur der Name "aktual unendliches Objekt" aber nicht das damit gemeinte Objekt und genau darum geht's dem Mathematiker. Das Unendlichkeitsaxiom wäre damit falsch. Der moderne Mathematiker übersieht vor lauter Abstraktion und Hinwendung zu Regeln statt Objekten, dass die Objekte selbst zumindest gedacht (fantasiert) werden können müssen, nicht nur deren Namen!

Selbst wenn sich der moderne Mathematik aus dieser Schlinge nochmal befreien könnte, in 10.000 Jahren, wenn wir das menschliche Gehirn komplett verstehen, wie heute einen Computer, wird man mit ziemlicher Wahrscheinlichkeit feststellen, dass "unser Computer" nicht fähig ist, sich aktuale Unendlichkeit zu denken, sondern nur fähig ist, sich zu denken, aktuale Unendlichkeit denken zu können und das ist was Anderes!

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 16. Dez 2016, 07:05

Pippen hat geschrieben:
seeker hat geschrieben:D.h.: Ich muss Objekte gar nicht denken können, es reicht wenn ich die verwendeten Regeln denken kann.
Natürlich muss ich ein Objekt denken können, ein nicht-denkbares Objekt ist gerade dadurch, dass ich es annehme oder einführe oder damit rechne denkbar und wäre damit ein Widerspruch in sich ...
Du verstehst Mathematik nicht mal ansatzweise.

Bereits die einfache Struktur der reellen Zahlen ist letztlich nicht konkret denkbar. Trotzdem kann man damit konsistent rechnen.
Gruß
Tom

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 16. Dez 2016, 13:31

Pippen hat geschrieben:Natürlich muss ich ein Objekt denken können, ein nicht-denkbares Objekt ist gerade dadurch, dass ich es annehme oder einführe oder damit rechne denkbar und wäre damit ein Widerspruch in sich
Pippen hat geschrieben:Damit postuliert man die Existenz von etwas, das undenkbar ist und das ist unmöglich
Zunächst einmal ergibt sich kein Widerspruch und keine Unmöglichkeit, höchstens könnte sich ergeben, dass Unendlichkeitsaussagen nicht sinnvoll gemacht werden könnten, also unsinnig wären, weil nicht klar gesagt werden könnte, was eigentlich gemeint sei.
Das liegt daran, dass "das Undenkbare" kein Objekt ist und auch keine Eigenschaft.
Dein Versuch einen Widerspruch zu konstruieren behauptet aber gerade das: "Die aktuale Unendlichkeit hat die Eigenschaft undenkbar zu sein!"

Das ist falsch, über das Undenkbare sind keine Aussagen möglich, auch keine Widerspruchsaussagen, da sie nicht Teil des Denkens sein können.
Aussagen sind immer nur über das Denkbare bzw. das Gedachte, innerhalb des Denkens möglich.
Insofern ist ein Objekt oder eine Eigenschaft "DAS Undenkbare" nicht sinnvoll denkbar (dasselbe gilt für "DAS Nichts", etc.).
D.h.: Du kannst gar nicht wissen, ob aktuale Unendlichkeiten undenkbar sind oder nicht. Alles was du wissen kannst, ist, ob DU, DERZEIT eine aktuale Unendlichkeit denken kannst.

Das bedeutet nicht, dass man das Konzept "aktuale Unendlichkeit" nicht kritisieren könnte, vielleicht auch zu Recht, das wurde ja auch getan: Mindestens kann man zeigen welche Probleme das mit sich bringt und dass es Probleme gibt.
Es bedeutet nur, dass dein Ansatz das zu tun, wie du es tust, in der Form (noch) fehlschlägt.

So wie du vorgehst, müsstest du auch z.B. die Null ablehnen, vielleicht auch negative Zahlen, denn kannst du dir "das Nichts" denken?
Und kannst du dir ein Googol denken (https://de.wikipedia.org/wiki/Googol)? Da wäre ich gespannt! Eine Reihe aus einem Googol von Würfeln könntest du auch nicht überschauen, immer nur Teile davon. Sind also auch große Zahlen abzulehnen, da undenkbar? Und was ist mit dem Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 1? Wie groß ist der genau? Auch ablehnen? Gibt es den dann nicht, wenn man sich die Zahl Pi nicht vorstellen kann? Wie lange ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die beiden Katheden die Länge 1 haben? Hat diese Hypothenuse keine aktuale Länge oder ist diese widersprüchlich, weil du dir die Zahl "Wurzel 2" nicht exakt und direkt denken kannst?
Es ist also alles nicht so einfach...

Aber:
Ja, kann man alles dennoch tun!

Wie gesagt, ist Mathematik im Grunde ein Spiel - und es ist dabei nicht unbedingt EIN Spiel, jeder kann im Grunde sein eigenes Spiel spielen und seine eigenen Regeln machen. Deshalb darf auch keiner daherkommen und den anderen Spielern vorschreiben wollen, wie/nach welchen Regeln diese zu spielen hätten. So geht man nicht miteinander um, das wäre nicht konstruktiv. Stattdessen kann man nur analysieren und den anderen Spielern (Mathematikern) versuchen zu zeigen, welche Implikationen ihre Regeln mit sich bringen und welche Vor- und Nachteile sie haben.

Eine der Regeln des Spiels "Mathematik" kann lauten, dass das Spiel nicht widersprüchlich sein soll, dass die Ergebnisse eindeutig sein sollen, der Pragmatiker, der das Spiel anwenden will, wird wollen, dass die Ergebnisse brauchbar und verlässlich sein sollen, usw.
Deshalb kann es viele Spiele "Mathematik" geben, die wegen ihren Regeln wenig Interesse bei den Menschen finden. Und irgendwann hat man sich auf ein "Hauptspiel" bzw. "Standardspiel" geeinigt, mit Grundregeln, die von den meisten (nicht unbedingt von allen) akzeptiert wurden und auch deren Interesse fanden und nennt das heute "DIE Mathematik", das ist aber auch nur ein Etikett, in Wirklichkeit ist das eben nur "die heute allgemeinhin akzeptierte Art von Mathematik".
Und diese besagt, dass es ausreicht, wenn man sich die Regeln des Spiels klar denken kann.

Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 16. Dez 2016, 15:02

seeker hat geschrieben:Das ist falsch, über das Undenkbare sind keine Aussagen möglich, auch keine Widerspruchsaussagen, da sie nicht Teil des Denkens sein können.
Man kann natürlich über eine Aussage sagen, sie sei undenkbar, d.h. sie sei nur widersprüchlich denkbar. Genau das sage ich über die Existenzaussage aktualer Unendlichkeiten. Man postuliert ihre Existenz, kann sie aber nicht - sondern immer nur endlich - denken. Das ist widersprüchlich. Das ist so als wenn du eckige Kreise einführst, aber eben immer nur entweder ein Eck oder einen Kreis denken kannst. Das geht halt nicht.
So wie du vorgehst, müsstest du auch z.B. die Null ablehnen, vielleicht auch negative Zahlen, denn kannst du dir "das Nichts" denken?
Ja, und zwar als Negation von etwas Nicht-Leerem. Und negative Zahlen kann man sich auch vielfältig vorstellen.
Und kannst du dir ein Googol denken
Nein, und deshalb ist ein Googol auch in sich widersprüchlich. Der Mathematiker glaubt, wenn er das Etikett einer Kiste mit Namen wie "Unendlichkeit" oder "Googol" beschriftet, dann gilt die Beschriftung auch für den Inhalt der Kiste, aber das ist natürlich wirr. Er rechnet & hantiert dann mit den Etiketten als ob sie der Inhalt wären und das geht natürlich nicht, wie ein einfaches Bsp. zeigt: Ich nehme die Formel "p & ~p" und nenne sie "5" und schon kann ich rechnen?!?!?

Die moderne Mathematik braucht einen massiven Umlehrschub, sie irrt und wirrt schlimmer herum als die Theologen im Mittelalter ODER ich habe zu wenig Ahnung von der Materie. Und genau deshalb stelle ich diese Fragen....

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 16. Dez 2016, 15:49

Pippen hat geschrieben:Man kann natürlich über eine Aussage sagen, sie sei undenkbar, d.h. sie sei nur widersprüchlich denkbar.
Das ist ein Unterschied. Widersprüche kann man denken, undenkbares nicht, das ist ein klassicher Fall von "Etikett sagt etwas anderes als der tatsächliche Inhalt ist". Um aber einen Widerspruch nachweisen zu können, reicht es nicht aus zu sagen, dass man sich etwas nicht denken/vorstellen kann: Wenn du dir etwas nicht denken/vorstellen kannst bedeutet das noch lange nicht, dass es widersprüchlich sein muss.
Man kann dann wie gesagt nur darüber reden, ob dieses etwas sinnvoll gedacht werden kann. Das ist etwas anderes.
Es ist daher anders wie bei eckigen Kreisen, es ist höchstens wie bei Kreisen mit dem (unbekannten) Geschmack "Plumba".

Ein Widerspruch ergibt sich nur dann, wenn du eine Zusatzregel aufstellst, die fordert, dass man sich die Dinge, die man per Regeleinführungen definiert, auch vorstellen können muss. Man kann, muss diese Regel aber nicht einführen.

Ansonsten kann man einfach bei den Regeln bleiben und schauen, ob man die denken kann oder nicht. Ob und was sich aus den Regeln ergibt ist doch eine ganz andere Sache, das kommt erst später.
Pippen hat geschrieben:
So wie du vorgehst, müsstest du auch z.B. die Null ablehnen, vielleicht auch negative Zahlen, denn kannst du dir "das Nichts" denken
Ja, und zwar als Negation von etwas Nicht-Leerem. Und negative Zahlen kann man sich auch vielfältig vorstellen.
Kannst du dir dann die Unendlichkeit nicht auch einfach als Negation der Endlichkeit vorstellen? Oder einfach als das Fehlen einer Grenze bzw. das Weglassen einer Grenz-Regel? Wo ist der Unterschied?

Es ist letztlich egal, ob und was in der Kiste ist, die Aufschriften (die Definitionen/Regeln) reichen, um damit erfolgreich arbeiten zu können.
Die Aufschriften SIND der Inhalt. Was sonst noch sollten denn mathematische Strukturen, Objekte sein, die außerhalb ihrer Eigenschaften lägen? Die Objekte sind vollständig durch ihre Eigenschaften gegeben und diese wiederum sind vollständig durch die Regeln/Definitionen gegeben, durch die sie gebildet werden. Ganz pragmatisch...


Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 16. Dez 2016, 16:06

Pippen hat geschrieben:Und kannst du dir ein Googol denken
Nein, und deshalb ist ein Googol auch in sich widersprüchlich.
Pippen hat geschrieben:Die moderne Mathematik braucht einen massiven Umlehrschub, sie irrt und wirrt schlimmer herum als die Theologen im Mittelalter ODER ich habe zu wenig Ahnung von der Materie. Und genau deshalb stelle ich diese Fragen....
Letzteres - leider!

Du behauptest, ein Googol ware widersprüchlich, weil DU dir das nicht vorstellen kannst. Du verallgemeinerst demnach von deinem Nichtwissen auf eine grundsätzliche Eigenschaft der Mathematik.

Was, wenn jemand anders wesentlich größere Zahlen und wesentlich abstraktere Konzepte denken kann als du? Das beweist, dass du hier über deine private Sichtweise und deine Limitierungen redest, nicht von der Mathematik an sich.

Wir respektieren deine Limitierung (nicht jeder ist ein Mathematiker, und ich selbst bin weit davon entfernt, die reine Mathematik vollständig zu verstehen). Aber dann respektiere doch bitte auch, dass deine Sichtweise hier nicht das Maß aller Dinge sein kann.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Skeltek » 17. Dez 2016, 04:36

Unendlich ist weder Größe, Wert noch Anzahl.
Hier wird die Umgangssprache viel zu unzulänglich verwendet um etwas zu beschreiben, was man eigentlich falsch gelernt hat.
Egal ob man nun "nicht endlich", "non-finit" oder "not-finish" oder wasauch immer sagt, sind die Leute widerstrebt, die selbst vom Wort bereits völlig eindeutige und gegebene buchstabengetreue Bedeutung sich klar zu machen.
Problem ist, dass man als Kleinkind das Wort falsch erklärt bekommt und praktisch jeder später die damit assoziierte Bedeutung mit dem Wort verbindet, obwohl man es zu dem Zeitpunkt eigentlich dann besser wissen müsste.
Die Leute sind nunmal nicht willens, die als Kind erlernte so praktische Bedeutung im Kopf aufzugeben zugunsten der richtigen Wortbedeutung.
Es existieren weder unendlich große Gebilde im Universum, noch unendich weit entfernte Objekte.
Alles was existiert ist endlich weit weg und hat eine endliche Ausdehnung(weder Null noch Unendlich).

So ähnlich ist es imho auch in der Mathematik.
Mengen können nicht unendlich viele Elemente haben, sonst wären es keine Mengen. Was man meint ist, dass das einbettende Konstrukt nicht endlich ist.
Man hat hier jedoch im Laufe der Jahrhunderte die Trennung zwischen der tatsächlichen Bedeutung und dem was man sich von der Vorstellung wünscht aufgegeben.
"Unendlich" hat für mich dieselbe Bedeutung wie "am Ende des Regenbogens". Natürlich kann man sich vorstellen, wie das Ende des Regenbogens die Erde berührt, allerdings existiert es nicht, da es sich bei der Farbauffächerung nur um eine Winkel-abhängige Richtung handelt und nicht um einen Ort.

Selbst das Universum denkt nur in Relationen, in einer "multiplikativen Art". Addieren und Subtrahieren ist eigentlich etwas völlig abstraktes unnatürliches, das man sich im Laufe der Evolution angelernt hat.

Die Konstruktivisten machen es eigentlich am ehesten richtig, allerdings sind diese massiv in der Unterzahl, so wie damals Galileo gegen die Mönche, Relativitätstheorie gegen das kepplersche Weltbild oder Ökos gegen Raubbau- und Konsum-Ideologen.
Die Analysis mit ihren Beweisen und Methoden hätte es niemals so weit geschafft, wenn sie die ganzen Denkmuster während dem Mathematikstudium erst hätte völlig neu erlernen müssen. Aktuale Unendlichkeiten machen vieles möglich und einfacher, da man nicht erst den Umweg gehen muss, jedes für uns völlig unintuitiv gewordene Ding und Detail zu beweisen.

Dafür wäre auch unsere angelernte Sprache unzureichend, wenn man nun z.B. zwischen dem reelen Zahlenraum und seinem Inhalt unterscheiden würde... insofern würde ich Pippen recht geben, wenn es nur nach mit gehen würde.


Ich selbst fand als ich im Kindergarten war die deutsche Satzstellung, Syntax usw völlig falsch und widersprüchlich. Allerdings ist es sinnfrei die komplette Welt umzuerziehen. Manche Dinge kann man einfach nicht ändern, und ein 10 Jahre Erziehung und mehrere Milliarden Evolution gefestigtest Weltbild gehört da nunmal auch dazu.

Man könnte sich jetzt voll und ganz auf den Konstruktivismus beschränken, wird aber feststellen, dass dann die anderen Mathematikinder dann nicht mehr mit einem mitspielen werden und auch ihre Baupläne nicht aufgeben werden um ein Spielzeughaus mit dir zu bauen.
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 17. Dez 2016, 10:56

Skeltek hat geschrieben:Es existieren weder unendlich große Gebilde im Universum, noch unendich weit entfernte Objekte.
Alles was existiert ist endlich weit weg und hat eine endliche Ausdehnung(weder Null noch Unendlich).
Warum sollte das so sein? Und warum wäre etwas anderes ein Problem?
Skeltek hat geschrieben:Mengen können nicht unendlich viele Elemente haben, sonst wären es keine Mengen.
Warum schreibst du soetwas? Was ist mit ganzen Zahlen? Primzahlen? Brüchen?
Skeltek hat geschrieben:Die Konstruktivisten machen es eigentlich am ehesten richtig, allerdings sind diese massiv in der Unterzahl ...
Sie machen es anders, aber nicht richtiger. Wenn man Mathematik rein formal / funktionalistisch auffasst, ist man frei davon, sich an Vorstellungen oder Konstruktion orientieren zu müssen.
Skeltek hat geschrieben:Man könnte sich jetzt voll und ganz auf den Konstruktivismus beschränken, wird aber feststellen, dass dann die anderen Mathematikinder dann nicht mehr mit einem mitspielen werden ...
Die Mathematiker akzeptieren, dass es verschiedene Ausprägungen und Sichtweisen gibt. Aber man sollte keine Dogmen einführen.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Skeltek » 18. Dez 2016, 19:39

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Es existieren weder unendlich große Gebilde im Universum, noch unendich weit entfernte Objekte.
Alles was existiert ist endlich weit weg und hat eine endliche Ausdehnung(weder Null noch Unendlich).
Warum sollte das so sein? Und warum wäre etwas anderes ein Problem?
Weil der Inhalt nicht genauso groß sein kann wie die Hülle.
Wäre "Unendlich"(wasauchimmer das jetzt genau sein soll) als Element in IR enthalten, wäre die Menge gegenüber irgendeiner Operation nicht abgeschlossen. Man kann z.B. nicht durch Null dividieren oder Inverse auf Unendlich anwenden.
Unendlich sagt für mich nunmal lediglich aus, dass eine Metrik in irgendeiner Richtung offen ist.
Das "Unendlich" welches als einziges mathematisch, logisch und axiomatisch tatsächlich ernsthaft begründet ist, ist nicht das gleiche Unendlich was die meisten Leute unter "aktual unendlich" verstehen.

Man kann Unendlich entweder als algebraische Offenheit einer mathematischen Struktur sehen, oder als in dieser nicht enthaltener Rand einer Menge - aber bitte(!) keine Mischung aus den beiden oder was völlig anderes.
-> Der Rand ist nicht in der Menge selbst enthalten. Den Rand gibt es, er ist aber in der Menge nicht existent. Dieser Rand ist am ehesten das, was man mit aktual unendlich auffassen könnte.
-> Fasst man Unendlich als Offenheit der Menge bezüglich einer über dieser definierten zweistelligen Rechenoperation auf, dann ist das am ehesten was man als potentiel unendlich auffassen könnte.
Aber um Himmels Willen, nicht Unendlich als Rand auffassen und dann als Element in die Menge ziehen (und ihm so eine Existenz zuordnen).

Etwas ähnlich gelagert wäre folgendes(ziemlich umgangssprachlich):
Der Unvollständigkeitssatz kann keine Aussagen über seine Systemgrenze hinaus machen. Das schließt auch seine Systemgrenze selbst ein!
Hier wird bewiesen, dass das System nicht aus seinem eigenen Inneren heraus beurteilt werden kann, da die Systemgrenze nicht darin enthalten ist.


Anders gefragt:
Wieso schließt du darauf, dass es so sein sollte?
Natürlich gibt es negative Zahlen... aber nicht in IN !
Natürlich gibt es komplexe Zahlen... aber nicht in Z !
Es gibt die Null, aber nicht im multiplikativen Raum
Genauso gibt es unendlich, aber es existiert nicht in IR !

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Mengen können nicht unendlich viele Elemente haben, sonst wären es keine Mengen.
Warum schreibst du soetwas? Was ist mit ganzen Zahlen? Primzahlen? Brüchen?
Hier werden wir sicherlich nicht auf eine gemeinsame Ansicht kommen. Hier sind die Begriffe "Anzahl", "Größe", "Wert" usw viel zu schwammig formuliert, als dass sich eine eindeutige Bedeutung daraus für diese ableiten könnte.
Alleine schon, wieviele verschiedene Bedeutungen das Wort "Zahl" hat, ist völliger Irrsinn.
Was nun "Existenz" usw bedeuten soll, darüber kann man sich nun ehh lange streiten.

Glaube es geht hier nicht darum zu ergründen, was es alles gibt und den verschiedenen Dingen unterschiedliche Namen zuzuordnen, sondern nur um ein Streitgespräch, welche Bedeutung sich die meisten hier für das Wort "Unendlich" wünschen.
Wenn Leute sich eine neue Bedeutung für eine von ihnen falsch verstandene Wortkonstruktion wünschen, dann sollen sie sich denke ich lieber ein neues Wort ausdenken, statt die Bedeutung des Wortes wie es ursprünglich gemeint war gewaltsam zu ändern...
...und das abstrakte Konstrukt, welches die ursprüngliche Bedeutung wäre wird dadurch immer mehr aus den Köpfen verdrängt und kaum einer kennt mittlerweile diese eigentliche Bedeutung noch.

Wisst ihr eigentlich, wie schwer es inwzischen geworden ist Leuten Infinitesimalrechnung oder Limes zu erklären?
Ein Frosch kann vielleicht unendlich oft hüpfen, aber nicht unendlich oft gehüpt haben.

Skeltek hat geschrieben:Man könnte sich jetzt voll und ganz auf den Konstruktivismus beschränken, wird aber feststellen, dass dann die anderen Mathematikinder dann nicht mehr mit einem mitspielen werden ...
Die Mathematiker akzeptieren, dass es verschiedene Ausprägungen und Sichtweisen gibt. Aber man sollte keine Dogmen einführen.[/quote]
Aber genau so ein Dogma wird hier durch die willkürliche Definition von "aktual unendlich" vorgegeben?
Ausserdem pauschalisierst du, wenn du "die Mathematiker" sagst.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathe

Beitrag von tomS » 19. Dez 2016, 07:59

Die Mathematik hat zu all' dem sehr präzise Definitionen und Theoreme entwickelt. Leider sind deine Aussagen hier jedoch sehr 'wolkig'.
Skeltek hat geschrieben:Weil der Inhalt nicht genauso groß sein kann wie die Hülle.
Was soll diese Hülle denn sein?
Skeltek hat geschrieben:Unendlich sagt für mich nunmal lediglich aus, dass eine Metrik in irgendeiner Richtung offen ist.
Ja, für dich.
Skeltek hat geschrieben:Das "Unendlich" welches als einziges mathematisch, logisch und axiomatisch tatsächlich ernsthaft begründet ist, ist nicht das gleiche Unendlich was die meisten Leute unter "aktual unendlich" verstehen.
Was verstehen denn die meisten Leute unter aktual unendlich?
Skeltek hat geschrieben:Man kann Unendlich entweder als algebraische Offenheit einer mathematischen Struktur sehen, oder als in dieser nicht enthaltener Rand einer Menge - aber bitte(!) keine Mischung aus den beiden oder was völlig anderes.
Warum verwendest du exakte Begriffe der Mathematik in dieser wolkigen Form?
Skeltek hat geschrieben:Der Rand ist nicht in der Menge selbst enthalten. Den Rand gibt es, er ist aber in der Menge nicht existent. Dieser Rand ist am ehesten das, was man mit aktual unendlich auffassen könnte.
Was soll das Gerede von einem "Rand"?
Skeltek hat geschrieben:Fasst man Unendlich als Offenheit der Menge bezüglich einer über dieser definierten zweistelligen Rechenoperation auf, dann ist das am ehesten was man als potentiel unendlich auffassen könnte.
So macht man das aber nicht. Man verwendet und man benötigt keine Rechenoperation.
Skeltek hat geschrieben:Genauso gibt es unendlich, aber es existiert nicht in IR
Es existiert im Abschluss. Und bereits en kompaktes Intervall [a,b] enthält unendlich viele Brüche; wir müssen also gar nicht mal die reellen Zahlen bemühen.
Skeltek hat geschrieben:Hier werden wir sicherlich nicht auf eine gemeinsame Ansicht kommen. Hier sind die Begriffe "Anzahl", "Größe", "Wert" usw viel zu schwammig formuliert, als dass sich eine eindeutige Bedeutung daraus für diese ableiten könnte.
Das ist Quatsch; natürlich ist das präzise definiert.
Skeltek hat geschrieben:Alleine schon, wieviele verschiedene Bedeutungen das Wort "Zahl" hat, ist völliger Irrsinn.
Es gibt präzise Definitionen und Beziehungen verschiedener Zahlbegriffe untereinander.

Das, was du als verwirrend empfindest ist ein gewisses Nichtwissen deinerseits.

Was nun "Existenz" usw bedeuten soll, darüber kann man sich nun ehh lange streiten.
Skeltek hat geschrieben:Wenn Leute sich eine neue Bedeutung für eine von ihnen falsch verstandene Wortkonstruktion wünschen, dann sollen sie sich denke ich lieber ein neues Wort ausdenken, statt die Bedeutung des Wortes wie es ursprünglich gemeint war gewaltsam zu ändern.
Dann tu das doch :mrgreen:
Skeltek hat geschrieben:Aber genau so ein Dogma wird hier durch die willkürliche Definition von "aktual unendlich" vorgegeben?
Nein, keine Dogmen, Axiome Die Mathematiker kennen verschiedene Axiomensysteme und untersuchen diese. Jeder kann tun, was er möchte.
Skeltek hat geschrieben:Ausserdem pauschalisierst du, wenn du "die Mathematiker" sagst.
Wieso? Welche Mathematiker akzeptieren das nicht? (was nicht bedeutet, dass sie nicht inhaltlich anderer Meinung sein könnten)

Mir scheint, du hast irgendein Problem mit irgendwas, kannst das aber nicht präzise formulieren. Sorry.
Gruß
Tom

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Skeltek » 20. Dez 2016, 02:22

Es wird dir nicht gelingen unsere Rollen umzukehren.
Man kann nicht axiomatisch A herleiten und dann B behaupten.
Fast jedes deiner plausiblen Argumente wollte ich ursprünglich euch an den Kopf werfen... also ziehe ich mich am besten ganz diplomatisch aus der Diskussion zunächst ein wenig zurück, bevor ich jemandem versehentlich auf den Schlips trete ;j
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 20. Dez 2016, 08:47

Skeltek hat geschrieben:Man kann nicht axiomatisch A herleiten und dann B behaupten.
Könntest du bitte Ross und reiter nennen?

Bisher war das recht schwammig.
Skeltek hat geschrieben:... bevor ich jemandem versehentlich auf den Schlips trete
Du trittst hier niemandem auf den Schlips. Es gibt durchaus unterschiedliche Auffassungen zur Meta-Mathematik, die man vertreten kann. Es sollten aber schon exakte mathematische Argumente sein.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 20. Dez 2016, 10:52

Also, ich habe mit all dem meinen Frieden geschlossen.

Wenn man einmal begriffen hat, dass Mathematik auf jeden Fall ein geistiges Spiel des Menschen ist (gleich, ob sie darüber hinaus noch etwas anderes ist), fällt es leichter jeden so spielen zu lassen, wie er es für richtig hält. Auf der Ebene geht es nämlich auch gar nicht darum, ob etwas 'wahr' ist, im Sinne von "unsere Mathematik bildet von uns unabhängig existierende Objekte in der Platon-Ideen-Welt richtig ab" (*), ob z.B. aktuale Unendlichkeiten in irgendeiner objektiven Form 'wirklich existieren'. Auf dieser Ebene geht es noch ausschließlich darum, ob "man es so machen kann", ob die selbst gestellten a priori-Anforderungen (z.B. Konsistenz, Eindeutigkeit, Beweisbarkeit, ...) an das Geschaffene durch die Konstruktion erfüllt werden oder nicht - und falls ja: wie und inwieweit und ob dieses "wie" für uns akzeptabel ist. Es geht hier um Nützlichkeit und um Vertrauen, Sicherheit, Bewährtheit. Wir sind hier noch auf der Ebene des Menschen, bei uns selbst. Auf dieser Ebene kann man miteinander diskutieren und wird auch zu Ergebnissen kommen können, durch Konsens, durch Überzeugung, durch Akzeptanz.

Beim Platonismus scheint mir das etwas anders zu sein. Hier scheint mir die Grundhaltung des Spiels zu sein: "1. Regel: Das ist kein Spiel!",
"2. Regel: Die Konstruktion soll wahr sein!" (siehe: *)
Ich halte das für unnötig, inzwischen arwöhne ich sogar, dass der Platonismus hier eine unnötige Zusatzannahme einbringt (siehe: *), die per Ockham wegzulassen wäre und die, soweit ich das sehe, noch nicht einmal einen zusätzlichen Nutzen einbringt.
Hier kann man durch Diskussion auch nicht wirklich zu Ergebnissen kommen, da die Frage, ob Platons Ideenwelt existiert oder nicht, prinzipiell nicht entscheidbar ist.
Somit wäre das in Wittgensteins Sinne gar keine sinnvolle Frage und damit unzulässig.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 20. Dez 2016, 13:20

Der Platonismus ist eine Haltung im Rahmen der Metaphysik; es gibt natürlich auch Alternativen.

Man kann eine derartige Haltung bzgl. der Mathematik einnehmen, man muss aber natürlich nicht. Die Frage ist, ob man überhaupt eine Haltung einnehmen muss, oder ob man gewissermaßen agnostisch vorgeht, so wie du das oben beschreibst. Ja, das kann man tun, aber dennoch ist deine Anmerkung, "dass der Platonismus hier eine unnötige Zusatzannahme einbringt" nicht die ganze Wahrheit.

Ja, der Platonismus ist unnötig, um Mathematik zu betreiben. Man kann dieselbe Mathematik betreiben und eine andere metaphysische Haltung einnehmen - oder auch gar keine. Aber man kann nicht negieren, dass es derartige Fragestellungen gint, oder dass es derartige Haltungen geben kann; und man kann nicht behaupten, durch das nicht-Einnehmen einer Haltung eine Antwort auf diese Frage zu haben. Man wendet sich sozusagen von diesen Fragestellunegn ab und negiert ihre Praxisrelevanz für das Betreiben von Mathematik und für die eigene Tätigkeit. Aber damit ist die Fragestellunge, die sich andere Leute stellen nicht gelöst - sie wird lediglich ignoriert.
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Skeltek » 21. Dez 2016, 14:40

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Man kann nicht axiomatisch A herleiten und dann B behaupten.
Könntest du bitte Ross und reiter nennen?
Ich denke es muss irgendeinen irgendwie gearteten Zusammenhang oder Relationen geben zwischen den Axiomen eines Systems und dessen Schlussfolgerungen.
Hier ist eher nicht mir, sondern den anderen eine sehr schwammige Forderung gegeben, die sie zumindest ungefähr erfüllen sollten.
Man kann ja durchaus als Axiom einführen, dass das aktual unendliche existiert... aber was bringt es, wenn auf die in dem Konstrukt angewendeten Verfahren und Operationen ausschließlich das potentiel unendliche wie z.B. bei Limesbetrachtungen verwenden?
Natürlich stört es nicht, das aktual unendliche als Axiom einzuführen, zumal anscheinend keinerlei Konflikt mit dem Rest zu entstehen scheint, da es keinerlei kausalen Zusammenhang mit dem Rest der Menge gibt.

Klar kann man z.B. sagen, eine Ziffernfolge ist unendlich lang, trotzdem existiert die Folge nicht als Ganzes.
Was man letztlich meint ist trotzdem, dass die Folge der Ziffern kein Ende hat und nicht, dass die Anzahl aktual unendlch ist.

Egal ob es Ziffernfolgen, ein Zukunftslichtkegel oder das Universum sind:
Sie haben kein Ende. Daher ist es auch unsinnig z.B. die Gesamtstrecke von einem selbst bis zum Rand des Universums als existent zu betrachten.
So ist es auch auch mit Zahlenkolonnen: Es gibt keine "Gesamtheit" von der ersten bis zur letzten Ziffer , sondern nur die Offenheit nach hinten weg.

Ihr dürft das jetzt nicht falsch verstehen. Das aktual unendliche als existent zu betrachten ist nicht schlecht, ich kann nur leider keinen tieferen Sinn dahinter erkennen.
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 21. Dez 2016, 16:34

tomS hat geschrieben:Aber man kann nicht negieren, dass es derartige Fragestellungen gint, oder dass es derartige Haltungen geben kann; und man kann nicht behaupten, durch das nicht-Einnehmen einer Haltung eine Antwort auf diese Frage zu haben. Man wendet sich sozusagen von diesen Fragestellunegn ab und negiert ihre Praxisrelevanz für das Betreiben von Mathematik und für die eigene Tätigkeit. Aber damit ist die Fragestellunge, die sich andere Leute stellen nicht gelöst - sie wird lediglich ignoriert.
Man kann aber fragen, ob diese Frage überhaupt eine sinnvoll stellbare Frage ist.
Wenn man das verneint (und das ist gut begründbar, weil wir wissen, dass die Frage prinzipiell nicht beantwortbar ist), dann wendet man sich keineswegs von der Frage ab, im Sinne von ignorieren, stattdessen akzeptiert man die Sinnlosigkeit der Frage: Wo keine sinnvolle Frage gestellt werden kann, gibt es auch keine Antwort und auch kein Problem, das zu lösen wäre. Und diese Haltung geht über die Praxisrelevanz hinaus.
Ja, ich würde das auch als agnostisch bezeichen, ja, ich neige allgemein dazu: erkenne deine Grenzen, Mensch!

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 22. Dez 2016, 00:32

Skeltek hat geschrieben:Man kann ja durchaus als Axiom einführen, dass das aktual unendliche existiert... aber was bringt es, wenn auf die in dem Konstrukt angewendeten Verfahren und Operationen ausschließlich das potentiel unendliche wie z.B. bei Limesbetrachtungen verwenden?
Man kommt tatsächlich in weiten Bereichen mit dem potentiell Unendlichen zurecht.
Skeltek hat geschrieben:Klar kann man z.B. sagen, eine Ziffernfolge ist unendlich lang, trotzdem existiert die Folge nicht als Ganzes.
Warum nicht?

Betrachten wir eine endliche, zwei-dimensionale Fläche. Würdest du behaupten, dass sie nicht existiert? Oder dass sie als Grenzprozess endlich vieler, null-dimensionaler Punkte aufgefasst werden sollte? Das funktioniert prinzipiell nicht.
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 22. Dez 2016, 00:37

seeker hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Aber man kann nicht negieren, dass es derartige Fragestellungen gibt, oder dass es derartige Haltungen geben kann; und man kann nicht behaupten, durch das nicht-Einnehmen einer Haltung eine Antwort auf diese Frage zu haben. Man wendet sich sozusagen von diesen Fragestellunegn ab und negiert ihre Praxisrelevanz für das Betreiben von Mathematik und für die eigene Tätigkeit. Aber damit ist die Fragestellunge, die sich andere Leute stellen nicht gelöst - sie wird lediglich ignoriert.
Man kann aber fragen, ob diese Frage überhaupt eine sinnvoll stellbare Frage ist ... Wo keine sinnvolle Frage gestellt werden kann, gibt es auch keine Antwort und auch kein Problem, das zu lösen wäre.
Die Sinnfrage stellst du aber immer in einem bestimmten Kontext. Sobald du einen bestimmten Kontext gewählt hast, verschwindet der Sinn der Frage. Die Wahl des Kontextes ist aber m.E. nicht zwingend.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 22. Dez 2016, 23:37

Offensichtlich rechnet die Mathematik nur noch mit Symbolen ("Etiketten") und interessiert sich gar nicht mehr für das, auf was die Symbole/Etiketten referieren bzw. die Symbole/Etiketten referieren nur noch auf sich selbst. Man sagt zB: Es existiere ein Zeichen "M" mit der Eigenschaft, dass wir für das Zeichen "M" auch schreiben können, dass alle Zeichen "x" und "x u {x}" vorliegen (Unendlichkeitsaxiom). Ok, das klappt als Zeichenspiel...und dann legt man zB in der Physik hinter die Zeichen irgendwelche Bedeutungen wie physikalische Räume etc. und betet zu Gott, dass diese Referenz passt...und stellt (in Form von korrekten Vorhersagen) fest, dass sie oft zu passen scheint.

Kann man das so salopp zusammenfassen?

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 23. Dez 2016, 07:21

Pippen hat geschrieben:Offensichtlich rechnet die Mathematik nur noch mit Symbolen ("Etiketten") und interessiert sich gar nicht mehr für das, auf was die Symbole/Etiketten [tatsächlich] referieren.
Die Formalisten im engeren Sinn sehen das so.
[Hilbert] stellte Axiome auf, die in jeder Geometrie gelten müssen – zum Beispiel: »Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade.« Die Axiome beschreiben Beziehungen der Objekte untereinander: Struktur statt konkreter Anschauung. Statt »Punkte, Geraden, Ebenen« müsse man jederzeit auch »Liebe, Gesetz, Schornsteinfeger« oder »Tische, Stühle, Bierseidel« sagen können, so sein Credo.
Aber es gibt ja nicht nur die reinen Formalisten.
Pippen hat geschrieben:...und dann legt man zB in der Physik hinter die Zeichen irgendwelche Bedeutungen wie physikalische Räume etc. und betet zu Gott, dass diese Referenz passt...und stellt (in Form von korrekten Vorhersagen) fest, dass sie oft zu passen scheint.
Nun, man verwendet ein konsistentes formales System, um die Realität zu beschreiben. Wenn das funktioniert, hat man eine konsistente und experimentell überprüfbare physikalische Theorie.

Wenn dich bestimmte Dinge wie überabzählbare aktuale Unendlichkeiten nerven, dann kannst du immer noch im positivistischen Sinne Physik betreiben und dabei die Meta-Mathematik vollständig ignorieren. Das ist das Schöne am Formalismus: wenn er funktioniert, dann funktioniert er unabhängig davon, welche Bedeutung du ihm zuschreibst. Und wenn du ihn im Rahmen der Physik lediglich als "Maschine zur Vorhersage von Messergebnissen" benutzen möchtest, dann darfst du das tun.

[Und die Physiker gehen in ihrer alltäglichen Arbeit eigtl. zu 99% so vor, schlichtweg weil es schon schwer genug ist, die Gleichungen zu lösen; sie denken nicht ständig über Unendlichkeiten und sowas nach. M.E. sind es aber gerade diese Grundsatzfragen, die zu den bedeutenden Fortschritten und Paradigmenwechseln wie der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik beitragen.]

Ein konkretes Beispiel ist die im Rahmen von ZFC nicht entscheidbare Kontinuumshypothese. Zur Erinnerung: es geht um die Frage, ob Mengen X existieren, für deren Mächtigkeit |X| gilt: |N| < |X| < |R|. Weder die Existenz noch die Nicht-Existenz von X kann im Rahmen von ZFC bewiesen oder widerlegt werden. Es ist eine spannende Frage, wie ZFC abzuwandeln oder zu erweitern wäre, um einen Beweis der Existenz von X zu ermöglichen. Und es ist eine weitere spannende Frage, ob dann für X eine Art Konstruktionsvorschrift angegeben werden kann, wie z.B. die dedekindschen Schnitte für R. Damit nähert man sich der Existenz von X sowie den konkreten Eigenschaften von X.
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 23. Dez 2016, 11:05

tomS hat geschrieben:Die Sinnfrage stellst du aber immer in einem bestimmten Kontext. Sobald du einen bestimmten Kontext gewählt hast, verschwindet der Sinn der Frage. Die Wahl des Kontextes ist aber m.E. nicht zwingend.
Kontextabhängigkeit? Sicherlich!
Nur: Wenn du auch den Kontext als etwas außerhalb von dir Existierendes begreifst, dann bist du schon nicht mehr bei dir selber und landest in einem Zirkel: "Objektiven Sinn" (gerade der eines Satzes), außerhalb/unabhängig von dir kann es nicht geben.
Daher musst du zwingend bei dir bleiben, auch beim Kontext und dann musst du fragen, was du überhaupt sinnvoll und klar sagen kannst und dazu musst du deine Grenzen kennen. Das ist nicht beliebig und damit auch die sinnvollen Kontexte nicht, die du verwenden kannst.

Was ich hierzu im Kopf habe, ist auch das hier:


4.003 Die meisten Sätze und Fragen, welche über philosophische Dinge geschrieben worden sind, sind nicht falsch, sondern unsinnig. Wir können daher Fragen dieser Art überhaupt nicht beantworten, sondern nur ihre Unsinnigkeit feststellen. Die meisten Fragen und Sätze der Philosophen beruhen darauf, dass wir unsere Sprachlogik nicht verstehen. (Sie sind von der Art der Frage, ob das Gute mehr oder weniger identisch sei als das Schöne.)
Und es ist nicht verwunderlich, dass die tiefsten Probleme eigentlich keine Probleme sind.

4.116 Alles was überhaupt gedacht werden kann, kann klar gedacht werden. Alles, was sich aussprechen lässt, lässt sich klar aussprechen.

6.5 Zu einer Antwort, die man nicht aussprechen kann, kann man auch die Frage nicht aussprechen.
Das Rätsel gibt es nicht.
Wenn sich eine Frage überhaupt stellen läßt, so kann sie auch beantwortet werden.

6.51 Skeptizismus ist nicht unwiderleglich, sondern offenbar unsinnig, wenn er bezweifeln will, wo nicht gefragt werden kann.
Denn Zweifel kann nur bestehen, wo eine Frage besteht; eine Frage nur, wo eine Antwort besteht, und diese nur, wo etwas gesagt werden kann.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus

Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 23. Dez 2016, 16:08

Auch wenn unter jedem meiner Beiträge ein Zitat von Wittgenstein steht, muss ich doch nicht alle seiner Auffassungen teilen, oder?
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 23. Dez 2016, 17:56

Nö, musst du natürlich nicht! :)
Ich finde es nur nachdenkenswert, anregend und da wirst du mir bestimmt zustimmen.

Gruß
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