Abenteuer-Universum

Nehmen wir an, es gab zwischen 1900 und 2000 insgesamt 10.000 Gewaltmorde, davon 5 durch Täter unter 18 Jahren. Nehmen wir weiter an, in einem Mordfall in o.g. Zeitraum wird für einen 16j. durch Profiler eine Täterwahrscheinlichkeit von 90% ermittelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der betreffende 16j. den Mord begangen hat? Was rechnet man hier wie? Mein Ergebnis wäre 0,00045 bzw. 0,045%, aber ich weiß nicht so recht....

Hi Pippen,

das Wissen, dass nur 5 von 10000 Mördern minderjährig sind, stellt eine Art Vorwissen dar. Jedenfalls hast Du damit eine Schätzung für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(Der Verdächtige ist minderjährig | Der Verdächtige ist der Mörder) = 0.0005

Weiterhin hast Du die Schätzung der Profiler

P(Der Verdächtige ist der Mörder) = 0.9

und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch überhaupt minderjährig ist, sollte so bei 0.2 liegen, d.h.

P(Der Verdächtige ist minderjährig) = 0.2

Daraus folgt mit dem Satz von Bayes

P(Der Verdächtige ist der Mörder | Der Verdächtige ist minderjährig) = (0.0005*0.9)/0.2 = 0.00225

Das Ergebnis bringt die Tatsache zum Ausdruck, dass Minderjährige deiner Statistik zufolge nur extrem selten Morde verüben. Im Übrigen ist die Schätzung mit nur 5 Realisierungen schlecht und mit großer Unsicherheit belastet.

Grüße
Steffen

@skn: Danke erstmal. Hm...P(Verdächtiger ist minderjährig) = 1, denn es steht ja fest, dass es ein 16j. Tatverdächtiger ist, oder? Und mich interessiert das Ergebnis, wenn man die Information, wie wahrscheinlich ein Mensch minderjährig ist, nicht hat, d.h. man weiß wirklich nur: der 16j ist zu 90% der Mörder und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Minderjähriger ein Mörder ist beträgt 5/10.000. Wie hoch wäre - nur aus diesen Infos - die Wahrscheinlichkeit, dass der 16j. tatsächlich ein Mörder ist.

Hi Pippen,

P(Verdächtiger ist minderjährig) ist die Wahrscheinlichkeit, dass man irgendeinen Verdächtigen hat und das dessen Alter dann kleiner oder gleich 18 Jahre ist. Also kann die Wahrscheinlichkeit nicht Eins sein, sondern entspricht der Anzahl aller Minderjährigen geteilt durch die Anzahl aller Personen einer Bevölkerung.

P(Der Verdächtige ist der Mörder | Der Verdächtige ist minderjährig) hingegen ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, d.h. man hat es definitiv mit einem Minderjährigen zu tun und möchte nun wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass dieser tatsächlich ein Mörder ist. Dass da so ein kleiner Wert herauskommt, erstaunt vielleicht, liegt aber daran, dass die Schätzung P(Der Verdächtige ist minderjährig | Der Verdächtige ist der Mörder) so klein ist. Dieses "Vorwissen" macht es eben extrem unplausibel, dass ein Minderjähriger überhaupt ein Mörder sein kann.

Das ist sogar deshalb besonders paradox, weil für P(Der Verdächtige ist der Mörder) = 1.0 trotzdem noch ein kleiner Wert herauskommt. Eine Wahrscheinlichkeit von 1.0 bedeutet aber absolute Gewissheit, bzw. es wurde bewiesen, dass er der Mörder ist. P(Der Verdächtige ist der Mörder | Der Verdächtige ist minderjährig) drückt dann unsere "Überraschung" aus, dass dieser Minderjährige ein Mörder sein soll. Vor Gericht ist es egal, dass wir überrascht sind.

Grüße
Steffen

Zunächst eine kleine Legende:

A = Der Verdächtige ist minderjährig.
B = Der Verdächtige ist der Mörder.
C = Der konkret verdächtige 16j Junge ist der Mörder.

Wir haben folgende Infos:

P(A | B) = 0.0005
P(C) = 0.9

Welchen Wert hat P(C und (A|B)), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der 16j Junge der Mörder ist und zwar ein minderjähriger Mörder?

Es gilt: P(C und (A|B)) = P(C|(A|B) * P(A|B) = 0,9 * 0,0005 = 0,00045 = 0,045%. Daher ist der 16j Junge mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,045% der tatsächliche (minderjährige) Mörder. Der Wert für P(C|(A|B)) ergibt sich daraus, dass P(C) offensichtlich von P(A|B) abhängt, denn der 16j Junge kann nur dann Mörder sein, wenn er auch ein minderjähriger Mörder sein kann. Wo genau mache ich da einen Fehler? Es spielt dann intererssanterweise keine Rolle, wie hoch P(A) ist, so dass einer von uns auf jeden Fall mit seiner Lösung daneben liegt.