Wichtig ist, exakt zu spezifizieren, was genau du beweisen willst.
Das mathematische Gesetz der großen Zahlen besagt grob gesprochen, dass
wenn eine Folge von N Zufallszahlen (X
n), n = 1..N, mit bestimmten Voraussetzungen existiert, dass
dann im Grenzfall N gegen unendlich der mit 1/N gewichtete
Mittelwert <X>
N dieser Folge gegen den
Erwartungswert E der Zufallszahlen konvergiert.
Zunächst hört sich das etwas tautologisch an: gegeben sei eine Zufallszahl X mit Erwartungswert E; nun sei gegeben eine Folge dieser Zufallszahlen, d.h. (X
n), n = 1..N, wobei jede dieser Zufallszahlen diesen Erwartungswert E habe. Dann konvergiert das mit 1/N gewichtete arithmetischen Mittel <X>
N "
in Wahrscheinlichkeit" gegen E.
Wichtig ist, dass das gewichtete Mittel <X>
N der Folge (X
n) und der Erwartungswert E der einzelnen Zufallszahlen nicht automatisch gleichgesetzt werden darf; dass diese Identifizierung im Grenzfall großer N erlaubt ist, ist gerade die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen!
Beispiel
Voraussetzungen:
1) Ein idealisiertes = gedachtes, rein mathematisches Zufallsexperiment habe die möglichen Ergebnisse {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Zufallszahlen seien gleichverteilt, d.h. p(1) = p(2) = ... = p(6) = 1/6. Der Erwartungswert dieser Zufallszahlen ist E = (1 + 2 + ...6) * 1/6 = 21/6 = 3.5.
2) Nun betrachte man eine Folge (X
n)) dieser Zufallszahlen. Für jede einzelne dieser Zufallszahlen gilt E(X
n) = 3.5.
Schlussfolgerung: Unter diesen Voraussetzungen gilt das
schwache Gesetz der großen Zahlen:
3) Man betrachte zu dieser Folge (X
n)) der Länge N den gewichtete Mittelwert D
N = ∑
n (X
n - E)
4) nun kann man beweisen, dass der Grenzwert D
∞ für N → ∞ existiert, und dass D
∞ = 0 gilt
Dies ist das schwache Gesetz der großen Zahlen. Dies interpretiert man dahingehend, dass sich <X> und E entsprechen.
Wichtig: hier liegt ein andere Konvergenzbegriff vor. Zum einen wird bei der Konvergenz "
in Wahrscheinlichkeit" nicht <X> sondern D betrachtet. Zum zweiten schließt dies nicht die Existenz einer Folge (6, 6, 6, ...) aus; für diese spezielle Folge wäre <X> = 6. Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit" bedeutet lediglich, dass gemäß dem starken Gesetz der großen Zahlen die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Folge für wachsende N gegen Null konvergiert.
Die beiden wesentliche Unterschied zu normalen Konvergenzbegriffen ist zum einen, dass wir hier nicht über
eine Folge mit
fest vorgegeben Zahlen sprechen, sondern über Zufallszahlen, deren Werte nicht vorgegeben sind, die jedoch bestimmte Voraussetzungen erfüllen; und zum anderen, dass nicht die Konvergenz genau einer Folge betrachtet wird, sondern die Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit".
Dieses Gesetz geht also von einer idealisierten Folge von Zufallszahlen mit bestimmten Eigenschaften aus,
nicht von einer konkreten Folge mit konkreten Werten! Es sagt
nichts darüber aus, wie diese Zufallszahlen für eine konkrete Folge
praktisch entstehen, auch wenn der Begriff "Zufallsexperiment" dies suggeriert; dabei handelt es sich nicht um die praktische Durchführung eines physikalischen Experimentes. Das Gesetz besagt also nicht, "dass wenn ich diesen konkreten Würfel werfe, dass dann ...". Denn dies ist eine physikalische Aussage über den Würfel, nicht über eine Folge von Zufallszahlen.
Zu Formulierungen, Varianten und Beweisskizzen siehe hier:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Law_of_ ... s#Weak_law