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Beweis des Gesetzes der großen Zahlen?

Mathematische Fragestellungen
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Pippen
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Beweis des Gesetzes der großen Zahlen?

Beitrag von Pippen » 7. Okt 2016, 01:50

Wie kann man bitteschön das Gesetz der großen Zahlen seriös und affensicher beweisen? Sei B der Beweis. Dann kann ich wiederum beweisen, dass es eine mögliche Zufallsreihe gibt, die B widerspricht. So sagt das Gesetz der großen Zahlen, dass auf ganz viele Würfe die relative Häufigkeit von K und Z bei jeweils 0,5 liegen wird. Doch dem widerspricht die Zufallsreihe K,K,K,... ad. inf., wo das nicht der Fall ist, so dass das ein Wahrscheinlichkeitsbeweis wäre, egal wie man es dreht und wendet.

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tomS
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Re: Beweis des Gesetzes der großen Zahlen?

Beitrag von tomS » 7. Okt 2016, 08:52

Wichtig ist, exakt zu spezifizieren, was genau du beweisen willst.

Das mathematische Gesetz der großen Zahlen besagt grob gesprochen, dass wenn eine Folge von N Zufallszahlen (Xn), n = 1..N, mit bestimmten Voraussetzungen existiert, dass dann im Grenzfall N gegen unendlich der mit 1/N gewichtete Mittelwert <X>N dieser Folge gegen den Erwartungswert E der Zufallszahlen konvergiert.

Zunächst hört sich das etwas tautologisch an: gegeben sei eine Zufallszahl X mit Erwartungswert E; nun sei gegeben eine Folge dieser Zufallszahlen, d.h. (Xn), n = 1..N, wobei jede dieser Zufallszahlen diesen Erwartungswert E habe. Dann konvergiert das mit 1/N gewichtete arithmetischen Mittel <X>N "in Wahrscheinlichkeit" gegen E.

Wichtig ist, dass das gewichtete Mittel <X>N der Folge (Xn) und der Erwartungswert E der einzelnen Zufallszahlen nicht automatisch gleichgesetzt werden darf; dass diese Identifizierung im Grenzfall großer N erlaubt ist, ist gerade die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen!

Beispiel

Voraussetzungen:
1) Ein idealisiertes = gedachtes, rein mathematisches Zufallsexperiment habe die möglichen Ergebnisse {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Zufallszahlen seien gleichverteilt, d.h. p(1) = p(2) = ... = p(6) = 1/6. Der Erwartungswert dieser Zufallszahlen ist E = (1 + 2 + ...6) * 1/6 = 21/6 = 3.5.
2) Nun betrachte man eine Folge (Xn)) dieser Zufallszahlen. Für jede einzelne dieser Zufallszahlen gilt E(Xn) = 3.5.
Schlussfolgerung: Unter diesen Voraussetzungen gilt das schwache Gesetz der großen Zahlen:
3) Man betrachte zu dieser Folge (Xn)) der Länge N den gewichtete Mittelwert DN = ∑n (Xn - E)
4) nun kann man beweisen, dass der Grenzwert D für N → ∞ existiert, und dass D = 0 gilt
Dies ist das schwache Gesetz der großen Zahlen. Dies interpretiert man dahingehend, dass sich <X> und E entsprechen.

Wichtig: hier liegt ein andere Konvergenzbegriff vor. Zum einen wird bei der Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit" nicht <X> sondern D betrachtet. Zum zweiten schließt dies nicht die Existenz einer Folge (6, 6, 6, ...) aus; für diese spezielle Folge wäre <X> = 6. Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit" bedeutet lediglich, dass gemäß dem starken Gesetz der großen Zahlen die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Folge für wachsende N gegen Null konvergiert.

Die beiden wesentliche Unterschied zu normalen Konvergenzbegriffen ist zum einen, dass wir hier nicht über eine Folge mit fest vorgegeben Zahlen sprechen, sondern über Zufallszahlen, deren Werte nicht vorgegeben sind, die jedoch bestimmte Voraussetzungen erfüllen; und zum anderen, dass nicht die Konvergenz genau einer Folge betrachtet wird, sondern die Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit".

Dieses Gesetz geht also von einer idealisierten Folge von Zufallszahlen mit bestimmten Eigenschaften aus, nicht von einer konkreten Folge mit konkreten Werten! Es sagt nichts darüber aus, wie diese Zufallszahlen für eine konkrete Folge praktisch entstehen, auch wenn der Begriff "Zufallsexperiment" dies suggeriert; dabei handelt es sich nicht um die praktische Durchführung eines physikalischen Experimentes. Das Gesetz besagt also nicht, "dass wenn ich diesen konkreten Würfel werfe, dass dann ...". Denn dies ist eine physikalische Aussage über den Würfel, nicht über eine Folge von Zufallszahlen.

Zu Formulierungen, Varianten und Beweisskizzen siehe hier: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Law_of_ ... s#Weak_law
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
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Pippen
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Re: Beweis des Gesetzes der großen Zahlen?

Beitrag von Pippen » 7. Okt 2016, 22:14

Aha, es handelt sich also um einen lupenreinen Beweis, wie der zu Euklid's Primzahlen, ja? Es wird quasi eine Folge betrachtet und dann bewiesen, dass die Folge gegen einen Grenzwert geht, mit der Besonderheit, dass die Folgeglieder keine Zahlen, sondern nur wahrscheinliche Zahlen sind, was kein Problem ist, solange irgendeine Wahrscheinlichkeitsverteilung sicherstellt, dass die Folge wahrscheinlicher Zahlen - genau wie bei Zahlen - eindeutig determinierbar ist. Kann man sich das so vorstellen?

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tomS
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Re: Beweis des Gesetzes der großen Zahlen?

Beitrag von tomS » 7. Okt 2016, 23:26

Pippen hat geschrieben:Aha, es handelt sich also um einen lupenreinen Beweis ...
Verschiedene Beweise unter verschiedenen Voraussetzungen
Pippen hat geschrieben:... wie der zu Euklid's Primzahlen, ja?
Wen'ger kurz und prägnant.
Pippen hat geschrieben:Es wird quasi eine Folge betrachtet und dann bewiesen, dass die Folge gegen einen Grenzwert geht, mit der Besonderheit, dass die Folgeglieder keine Zahlen sind
In etwa, ja.
Pippen hat geschrieben:... solange irgendeine Wahrscheinlichkeitsverteilung sicherstellt, dass die Folge wahrscheinlicher Zahlen eindeutig determinierbar ist.
Die Objekte sind Zufallszahlen. Sie haben keinen Wert, sondern lediglich Wahrscheinlichkeiten für Werte. Determiniert sind also nicht die Werte, sondern die Wahrscheinlichkeiten der Werte.
Gruß
Tom

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