Abenteuer-Universum

Aus einem meiner Kommentare zu einem YT Video, wo es um o.g. Thema ging:

Es ist mE unmöglich (streng) zu beweisen, ob irrationale Zahlen normal sind oder ob alle endlichen Zahlenfolgen darin vorkommen, gerade weil irrationale Zahlen nicht-periodisch unendlich lang sind und es damit nie einen Punkt gibt, wo man die ganze Zahl "zur Untersuchung vor sich liegen hätte". Man wird immer nur Wahrscheinlichkeitsaussagen aufgrund einer endlichen Anzahl an Nachkommastellen treffen können und bei einer unendlichen nicht-periodischen Anzahl von Nachkommastellen ist das recht dürftig.

Sehr ihr das ähnlich oder anders?

Ich sehe das etwas anders.

Zunächst ist existieren abzählbar viele irrationale Zahlen, die man explizit berechnen kann. Z.B. kann für pi jede einzelne Stelle berechnet werden. Warum soll man also nicht mehr wissen können?

Man weiß, dass "fast alle" reellen Zahlen normal sind. Die Menge der nicht-normalen reellen Zahlen ist eine Nullmenge, jedoch überabzählbar.

Es gibt explizit konstruierbare = bekannte normale Zahlen.

Es gibt beweisbar nicht-berechenbare = prinzipiell unbekannte, normale Zahlen (z.B. die Chaitinsche Konstante).

Für viele Zahlen (pi, e, ...) ist nicht bekannt, ob sie bzgl. bestimmter Basen normal sind.

Pippen hat geschrieben:Es ist mE unmöglich (streng) zu beweisen, ob irrationale Zahlen normal sind ...

Für einige Beispiele ist das explizit widerlegt. Es gibt Konstruktionsvorschriften für Mengen von normalen Zahlen.

Pippen hat geschrieben:... gerade weil irrationale Zahlen nicht-periodisch unendlich lang sind und es damit nie einen Punkt gibt, wo man die ganze Zahl "zur Untersuchung vor sich liegen hätte".

Das ist nicht notwendig. Mathematiker sind durchaus in der Lage, Strukturen in Objekten zu finden, ohne jedes Detail zu kennen. Wir wissen ja auch, dass es unendlich viele Orimzahlen gibt, ohne sie alle einzeln zu kennen.

Pippen hat geschrieben:Man wird immer nur Wahrscheinlichkeitsaussagen aufgrund einer endlichen Anzahl an Nachkommastellen treffen können und bei einer unendlichen nicht-periodischen Anzahl von Nachkommastellen ist das recht dürftig.

Wenn es so wäre, wäre es recht dürftig. Es ist aber bewiesenermaßen nicht so.

Ich versuche mal Folgendes:

Sei k eine beliebige endliche Folge, wie zB 123 oder 666 oder 2787545467. Eine irrationale Zahl wie Pi beinhalte n * k Zahlenfolgen (n,k € IN, aber fest). Doch wg. Peano 2 (Nachfolgeraxiom) bei natürlichen Zahlen folgt, dass es immer n+1 * k Zahlenfolgen gäbe, d.h. die in der vorherigen Aussage aufgestellten n * k Zahlenfolgen können nie alle Zahlenfolgen sein, so dass Pi nie alle Zahlenfolgen beinhalten kann. Das wäre wohl ein konstruktiver Beweis.

Nichtkonstruktiv würde man einwenden, dass wenn man annähme, dass Pi alle (aktual unendlich viele) n * k Zahlenfolgen beinhalte, kein Widerspruch folgt, weil dann n+1 bereits in n erfasst wäre. Doch man könnte dann die n * k Zahlenfolgen in Pi nur beweisen, wenn Pi irgendeine Struktur inne hätten, die den Schluß auf alle Zahlenfolgen zuließe. Pi müsste also eine Struktur haben wie 0,123123123, wo man sicher sagen kann, dass die Zahlenfolge 123 auftaucht, nur eben im Falle Pi, dass man auf alle Zahlenfolgen darin schließen könnte. Doch wäre dann Pi nicht rational?

Es scheint nur der unsichere statistische Beweis übrig zu bleiben.

tomS hat geschrieben: Man weiß, dass "fast alle" reellen Zahlen normal sind. Die Menge der nicht-normalen reellen Zahlen ist eine Nullmenge, jedoch überabzählbar.

Nehme an, du hast dich hier vertippt.
Du weisst schon, was "fast alle" bedeutet?

Pippen hat geschrieben:Sei k eine beliebige endliche Folge, wie zB 123 oder 666 oder 2787545467. Eine irrationale Zahl wie Pi beinhalte n * k Zahlenfolgen (n,k € IN, aber fest). Doch wg. Peano 2 (Nachfolgeraxiom) bei natürlichen Zahlen folgt, dass es immer n+1 * k Zahlenfolgen gäbe, d.h. die in der vorherigen Aussage aufgestellten n * k Zahlenfolgen können nie alle Zahlenfolgen sein, so dass Pi nie alle Zahlenfolgen beinhalten kann. Das wäre wohl ein konstruktiver Beweis.

Das ist an einigen Stellen nicht richtig.

1) pi ist ein unendlicher Dezimalbruch, also können abzählbar unendlich viele endliche Folgen problemlos enthalten sein (Hilberts Hotel).
2) Dein Beweis würde nicht speziell für pi sondern für alle irrationalen Zahlen gelten (da er keine besonderen Eigenschaften von pi verwendet). Wir wissen aber, dass fasst alle irrationalen Zahlen normal sind!
3) Dein Beweis ignoriert, dass wir einige normale Zahlen explizit kennen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stoneham_number
https://de.wikipedia.org/wiki/Champernowne-Zahl
https://de.wikipedia.org/wiki/Chaitinsche_Konstante
https://de.wikipedia.org/wiki/Copeland-Erdős-Zahl

Letztere hat eine besonders einfache Konstruktion, nämlich die Aneinanderreihung der Primzahlen zur Basis 10.

C₁₀ = 0.235711131719232931374143475359616771737983899710110310710911312...