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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

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Pippen
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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 17. Sep 2016, 20:52

Ok, ich verstehe, dass die Division durch Null undefiniert ist und sein muss. Was ich nicht verstehe ist, dass sie auch bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit undefiniert sein muss. Wir erinnern uns: P(A|B) = P(A & B) / P(B) es sei denn P(B) = 0. Wenn aber P(B) = 0, wenn also B nie eintreten kann, dann kann logischerweise auch P(A|B), also A unter der Bedinung B nie eintreten. Man könnte also festlegen: Wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 0. Die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit wäre dann ausnahmslos definiert anstatt - wie heute - nur außerhalb der Division durch Null.

Warum tut man das nicht?

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 20. Sep 2016, 13:06

aaarghhh, alles gelöscht, aber da war auch was falsch.

p(A & B) ist auch 0, weil die Schnittmenge 0, wenn B die leere Menge ist.

Laut Kettenrgel gilt

p(A&B)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).

p(B|A) muss auch 0 sein, da aus deiner aussage ja immer gelten soll, dass P(B)=0 egal was A macht, also ist B= unabhängig von A und es gilt p(B|A)=p(B)=0

p(A&B)=p(A)*p(B)=p(B)*p(A|B).

daher kann man p(A|B)=p(A) definieren. also p(A) auch unabhängig von B.

aber richtig, p(A&B)=0 ist für beliebigen p(A|B) erfüllt wenn p(B)=0 ist.
vielleicht muss man über Grenzwerte argumentieren.

wir nehmen zunächst an, das p(B)=constant ist. dann ist B unanbhänig von A. (sonst wäre p(B) ja nicht konstant, wenn B von A abhängig wäre)
dann ist auch A undabhängig von B, (also beide unabhängig voneinander)

denn es gilt p(A&B)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B)

p(A&B)=p(A)*p(B) = p(B)*p(A|B)

das geht natürlich nur wenn p(A|B)=p(A) ist.

wenn ich jetzt zum Grenzübergang gehe p(B)=const, const ->+0
macht p(A|B)=p(A) als Grenzwert p(B)=0 ebenfalls sinn.

aber wie gesagt, ob so ein Grenzübergang zur leeren mengen überhaupt tun darf weiss ich nicht.
denn von der Logik her, wie du sagst, würd ich auch p(A|B)=0 definieren.

interessant ist, dass beides nicht der kettenregel widerspricht.

p(A&B)=p(B)*p(A|B)=p(A)*p(B|A) =0 sind für beide Fälle erfüllt, da der einzige von 0 verschiedene Term p(A) ist.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 20. Sep 2016, 22:12

deltaxp hat geschrieben:aber wie gesagt, ob so ein Grenzübergang zur leeren mengen überhaupt ...
Kann man sich für die Menge B = [0,b], b > 0, b -> 0+ und stetiges p(b,b+x) überlegen
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 21. Sep 2016, 10:41

ja, hab ich ja gemacht, da kommt man auf p(A|B)=p(A), was keinen Widerspruch zur Kettenregel ergibt, da p(A&B)=p(B)*p(A|B)=p(B)*p(A)=0 ergibt da p(B)=0;

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 21. Sep 2016, 16:52

Meine Lösung: Sei P(B) = 0 und dadurch auch P(A|B) = 0. Es muss nun für P(A|B) ein sicheres Ereignis geben, P(Omega|B) = 1. Das fordert das 2. Axiom von Kolmogorov. Doch dem widerspricht meine Lösung, denn danach wäre P(Omega|B) = 0. Also ist die Annahme falsch.

Was meint ihr zu meiner Lösung?

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 22. Sep 2016, 17:22

Ich weiß nicht. Ich hab hal auch a bisserl gegoogelt, ich hab nur gefunden das P(A|B) für P(B)=0 als B=leere menge nicht definiert ist.
Die Aussage , dass es ein sicheres Ereignis P(A|B) geben muß für B=leere Menge ist eine Annahme und folgt nicht aus dem 2 ten Axiom, denn dem liegt nur eine Menge zugrunde. Auch mein obiges Beipiel ist nicht allgemeingültig, Wahrscheinlich muss man zwei nicht leere mangen haben für die P(A|B) definiert ist gemäss P(A|B)=P(A&B)/P(B) und dann für den Quotient gleichzeitig den Limes finden, daß B leer wird. Da B= leere Menge im Limes wohl an jeder Stelle des Wertebereiches von B erzeugt werden kann, bei geeigneter Definition von B (sei B Z.B die Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 1 und gehst im Limes gegen eine irrationale Zahl zwischen 0-1 ist B dann die leere Menge, aber in "unmittelbare nähe" findest du eine rationale Zahl, die beliebig genau die irrationale annähert, und du definiierst die P(A|B) dann an dieser Stelel als grenzwert, dann ist i.a. nicht p(A|B)=0 aber auch nicht p(A|B)=p(A). Beispiel B=Y0+dY, wobei dY eine Zufallszahl im Bereich [-0.1,0.1] ist und Y0=X wobei X zur Menge B der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 liegt (und auch dort zufällig gewühlt sein kann.

p(Y|xRational->xIrrational) wird sich dann unterscheiden je nachdem welche irrationale Zahl man wählt.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 22. Sep 2016, 20:03

Machen wir doch mal ein Beispiel.

Gegeben sei eine Strahlungsquelle mit Frequenzspektrum u(f).

Gegeben sei ein Frequenzintervall B = [f1, f2]. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Photon der Strahlungsquelle aus diesem Intervall stammt, lautet

P(B) = ∫B df u(f)

wobei das Maß für die Frequenzintegration in u(f) enthalten ist.

Gefragt ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass das Photon sichtbar ist, unter der Voraussetzung, dass es aus B stammt. Dafür benötigen wir offensichtlich ein zweites Frequenzintervall A = [f3, f4] für sichtbares Licht. Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A ∧ B) / P(B)

P(A ∧ B) = ∫A ∧ B df u(f)

1) Dies ist nur dann nicht-trivial, wenn im Zuge des Grenzübergangs weiterhin P(A ∧ B) > 0, also A ∩ B ≠ ∅ gilt. Im Grenzfall selbst gilt P(A ∧ B) → 0+ und A ∩ B → [f0, f0] = {f0}, d.h. das Integral konvergiert gegen einen einzigen Punkt.

2) Wenn dies nicht gilt, dann sind B und A disjunkt, d.h. P(A ∧ B) = 0, P(A|B) = 0: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon sichtbar ist, unter der Voraussetzung, dass es ein Röntgenquant ist, ist trivialerweise Null.

Also wieder zurück zu (1). Unter den Voraussetzung (!) dass B ⊂ A, d.h. dass A ∩ B = B gilt, können wir die Integrale wie folgt berechnen:

P(B) = ∫B df u(f)

P(A ∧ B) = ∫A ∩ B df u(f) = ∫B df u(f) = P(B)

P(A|B) = 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon sichtbar ist, unter der Voraussetzung, dass es exakt die Frequenz der gelben Natrium-D-Linie hat, ist Eins.

D.h. wir haben unterschiedliche Fälle, je nachdem wie wir das B gegen ein Intervall vom Maß Null konvergieren lassen. Und ich bin mir sicher, dass man mittels Lebesgue-Stiltijes-Integralen und Maßtheorie noch viel bizarrere Fälle konstruieren kann.
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 22. Sep 2016, 20:34

deltaxp hat geschrieben:Die Aussage , dass es ein sicheres Ereignis P(A|B) geben muß für B=leere Menge ist eine Annahme und folgt nicht aus dem 2 ten Axiom,
Es muss für P(A|B) ein sicheres Ereignis P (Omega|B) = 1 geben, d.h. ein Ereignis, welches unter der Bedingung B, sicher eintritt. Das fordert Kolmogorov's 2. Axiom. Genau deshalb darf mE P(B) auch nicht die leere Menge (Null) sein, weil man dann P(Omega|B) nicht ausrechnen kann.

Jetzt habe ich aber eine neue Idee und sage: P(A|B) ist doch nichts weiter als P(B -> A) und wir wissen dort, dass aus einem falschen B alles folgt, also auch A. Warum also nicht folgendes: Wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 1. Wenn eine Ereignis B unmöglich eintreten kann, dann kann man folgern, dass wenn es einträte, dann auch A einträte, denn dann wäre die Welt widersprüchlich und damit trivial.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 22. Sep 2016, 21:47

Hast du mein Beispiel gelesen? Dann sollte klar sein, dass es unterschiedliche Grenzwerte geben kann, und dass man ohne genauere Betrachtung nichts sagen kann. Das erinnert etwas an die Definition von 00.
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 22. Sep 2016, 22:33

@toms: Dein Beispiel verstehe ich nicht so recht, insbesondere verstehe ich nicht, warum wir nicht direkt anhand der Wahrscheinlichkeitstheorie das Problem lösen, so wie ich es versuche: Wenn P(B) = 0, dann kann man P(A|B) keinen Zahlenwert zuweisen (Division durch Null!) und das widerspricht dem ersten Axiom. Gibt man in diesem Fall P(A|B) den Zahlenwert 0, so widerspricht das dem 2. Axiom, nach dem P(Omega|B) = 1 sein muss. Jeder andere fixe Zahlenwert führt zu einem Widerspruch mit dem ersten oder zweiten Axiom, weil man leicht ein Mengensystem konstruieren kann, wo dieser fixe Wert in einen Widerspruch führt. Daher funktioniert das nicht und es bleibt nach dem Ausschlußprinzip nur übrig, die Sache als undefinierbar zurückzulegen, jedenfalls reime ich mir das vorläufig so zusammen.

p.s. Dürfen denn Wahrscheinlichkeitsmaße Grenzwerte sein? Ich dachte es ist per 1. Axiom vorgeschrieben, dass P(x) eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 sein muss und das ist ein Grenzwert nicht.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 22. Sep 2016, 23:59

Pippen hat geschrieben:... insbesondere verstehe ich nicht, warum wir nicht direkt anhand der Wahrscheinlichkeitstheorie das Problem lösen ...
Das tue ich.
Pippen hat geschrieben:so wie ich es versuche: Wenn P(B) = 0, dann kann man P(A|B) keinen Zahlenwert zuweisen (Division durch Null!) und das widerspricht dem ersten Axiom.
Wenn man einfach konstatiert, dass P(B) = 0, dann kann man das tatsächlich nicht. Wenn man jedoch einen geeigneten Grenzwert ansetzt, dann kann man das dennoch, und damit liegt kein Widerspruch vor.

Man kann mit Wahrscheinlichkeiten zunächst mal rechnen wie mit normalen Zahlen, Funktionen usw. Darüberhinaus müssen sie natürlich noch einschränkende Bedingungen erfüllen. In meinem Beispiel ist das alles berücksichtigt.
Pippen hat geschrieben:Daher funktioniert das nicht und es bleibt nach dem Ausschlußprinzip nur übrig, die Sache als undefinierbar zurückzulegen, jedenfalls reime ich mir das vorläufig so zusammen.
Was genau funktioniert nicht in meinem Beispiel?
Pippen hat geschrieben:Dürfen denn Wahrscheinlichkeitsmaße Grenzwerte sein? Ich dachte es ist per 1. Axiom vorgeschrieben, dass P(x) eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 sein muss und das ist ein Grenzwert nicht.
Warum nicht?

Mein P(B) ist für |B| > 0 eine positive reelle Zahl P(B) > 0, mit dem Grenzwert P(B) = 0 für |B| = 0; was soll daran problematisch sein?
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 23. Sep 2016, 00:07

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel–Kolmogorov_paradox
http://mlg.eng.cam.ac.uk/yarin/PDFs/Sho ... 3-2014.pdf
http://hps.elte.hu/~gszabo/Preprints/Bo ... _short.pdf

The concept of a conditional probability with regard to an isolated hypothesis whose probability equals 0 is inadmissible. For we can obtain a probability distribution for [the latitude] on the meridian circle only if we regard this circle as an element of the decomposition of the entire spherical surface onto meridian circles with the given poles.

The term 'great circle' is ambiguous until we specify what limiting operation is to produce it. The intuitive symmetry argument presupposes the equatorial limit; yet one eating slices of an orange might presuppose the other.

One natural way to choose Jaynes' "limiting operation" is by specifying a notion of distance on the space.

The Borel-Kolmogorov Paradox merely displays a sensitive dependence of conditional probabilities of the same event on different conditioning Boolean subalgebras with respect to which conditional probabilities are defined in terms of conditional expectations. These conditional probabilities are answers to different questions, not different answers to the same question.

D.h. man kann diesen Grenzwertprozess durchaus sauber definieren - mit einer gewissen Portion Vorsicht.
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 23. Sep 2016, 02:15

tomS hat geschrieben: Mein P(B) ist für |B| > 0 eine positive reelle Zahl P(B) > 0, mit dem Grenzwert P(B) = 0 für |B| = 0; was soll daran problematisch sein?
Wie soll eine reelle Zahl einen Grenzwert haben (außer gewissermaßen demjenigen, auf den sie selbst zuläuft und der sie selbst darstellt)? Meines Wissens haben nur Folgen oder Funktionen Grenzwerte. Deine reelle Zahl wäre entweder die Null oder eine reelle Zahl, die halt größer als Null ist. Mir ging es darum zu schauen, ob gelten könnte: wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 0, weil ich die intuitive Idee hatte, dass wenn die Bedingung B für A nie eintreten kann, dann kann auch A unter der Bedingung B nie eintreten. Eigentlich logisch, oder?

Meine Idee scheitert ja eigentlich (erstmal) nur an Kolmogorov's 2. Axiom. Was wäre denn, wenn man das einfach wegläßt? Wegen des ersten Axioms wäre immer noch alle Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1. Dieses System wäre zwar schwächer, könnte aber das Division durch Null-Problem bei bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen?!? Vielleicht....

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 23. Sep 2016, 08:25

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Mein P(B) ist für |B| > 0 eine positive reelle Zahl P(B) > 0, mit dem Grenzwert P(B) = 0 für |B| = 0; was soll daran problematisch sein?
Wie soll eine reelle Zahl einen Grenzwert haben? Meines Wissens haben nur Folgen oder Funktionen Grenzwerte.
P(B) ist eine Funktion von B, und eine Folge von Mengen B definiert eine Folge von Zahlen P(B).

Deine Intuitition kann an vielen Punkten scheitern. Die o.g. Links enthalten sowohl die Probleme als auch die Lösungen.

Das o.g. Pseudo-Paradoxon tritt in meinem Beispiel nicht offensichtlich zu Tage, da ich mein Beispiel bewusst einfach gewählt habe und die Mathematik nur skizziere. Du findest aber auch vollständig ausgearbeitet Ansätze.

Der Kerngedanke ist, dass die Art und Weise wie du die Menge vom Maß Null einführst, sozusagen eine bestimmte wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellung kodiert. Daher ist die Einführung dieser Menge nicht trivial. Eine Aussage wie P(B) = 0 und nichts weiter führt nicht zu Widersprüchen, sie ist einfach sinnlos. Genauso wie x = 0, y = 0, xy = ? einfach sinnlos ist. Wenn du jedoch sauber definierst, was mit P(B) = 0 gemeint ist - also u.a. einen sauberen Grenzübergang durchführst - dann kannst du wie oben gezeigt eine vernünftige Aussage ableiten.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon sichtbar ist, unter der Voraussetzung, dass es exakt die Frequenz der Natrium-D-Linie hat, ist vernünftig definierbar: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon aus einem gewissen Frequenzbereich stammt ist für eine gegebene Strahlungsquelle exakt berechenbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Photonen exakt diese Wellenlänge der Natrium-D-Linie hat, ist Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon sichtbar ist, unter der Voraussetzung, dass es exakt die Frequenz der Natrium-D-Linie hat, ist dagegen Eins. Jedes Photon dieser Wellenlänge ist sichtbar (hat eine Wellenlänge im sichtbaren Spektrum).

Bevor du jetzt nach komplizierten Alternativen, Axiomen usw. suchst, solltest du einfach mal versuchen, meine Argumentation zu verstehen. Sie ist sowohl mathematisch, als auch physikalisch sowie anschaulich leicht nachvollziehbar.
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 23. Sep 2016, 12:16

Pippen hat geschrieben:
deltaxp hat geschrieben:Die Aussage , dass es ein sicheres Ereignis P(A|B) geben muß für B=leere Menge ist eine Annahme und folgt nicht aus dem 2 ten Axiom,
Es muss für P(A|B) ein sicheres Ereignis P (Omega|B) = 1 geben, d.h. ein Ereignis, welches unter der Bedingung B, sicher eintritt. Das fordert Kolmogorov's 2. Axiom. Genau deshalb darf mE P(B) auch nicht die leere Menge (Null) sein, weil man dann P(Omega|B) nicht ausrechnen kann.
das meint ich ja, da das Axiom eben B ungleich leere Menge erfordert
Pippen hat geschrieben:[
Jetzt habe ich aber eine neue Idee und sage: P(A|B) ist doch nichts weiter als P(B -> A) und wir wissen dort, dass aus einem falschen B alles folgt, also auch A. Warum also nicht folgendes: Wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 1. Wenn eine Ereignis B unmöglich eintreten kann, dann kann man folgern, dass wenn es einträte, dann auch A einträte, denn dann wäre die Welt widersprüchlich und damit trivial.
Die logic entzieht sich mir aus 2 gründen, a) kannst du doch etwas was garantiert nicht eintritt damit begründen dass etwas eintritt, und b) wenn B eintritt heisst das noch lange nicht das A eintreten MUSS, kann ja auch A' oder A'' eintreten, jenachdem wie der wertebereich der menge A ist und ob es eine Abhängigkeit von A zu B(ungleich leere menge gibt).


der Grund warum das nicht definiert ist erscheint immer mehr der zu sein, das man zwar grenzübergenge zu definierten Werten P(A|B), B-> leere menge definieren kann, dass diese aber unterschiedlich sind und nicht eindeutig. und wenn man keinen eindeutig defierten Wert von P(A|leere Menge) angeben kann bedeutet das eben, das P(A|leere menge) eben nicht definiert ist. Toms Beispiel schiesst ja auch in die Richtung. hat wohl seinen grund

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 23. Sep 2016, 12:47

Pippen hat geschrieben:@toms: Dein Beispiel verstehe ich nicht so recht, insbesondere verstehe ich nicht, warum wir nicht direkt anhand der Wahrscheinlichkeitstheorie das Problem lösen, so wie ich es versuche: Wenn P(B) = 0, dann kann man P(A|B) keinen Zahlenwert zuweisen (Division durch Null!)
Vorsicht P(A|B)=P(A&B)/P(B) ist 0/0 , Beides geht von B->leere Menge gegen Null. Man kann sicherlich daher P(A|B) Zahlenwerte zuweisen, nur sind die eben nicht eindeutig, wie oben erwähnt, und daher nicht definiert
pippen hat geschrieben: Gibt man in diesem Fall P(A|B) den Zahlenwert 0, so widerspricht das dem 2. Axiom, nach dem P(Omega|B) = 1 sein muss.
NEIN, dass muss es eben nicht, weil das zweite Axiom Besagt P(Omega)=1, wenn Omega das sichere Ereignis ist. das ist nicht definiert für konditionelle Wahrscheinlichkeit und schon gar nicht wenn die B=leere Menge ist.

du kannst aus P(Omega)=1 nicht darauf schließen, dass P(Omega|B)=1 sein muss. Guck dir das Münzbeispiel an.

Das sichere Ereignis ist das die münze entweder Kopf oder Zahl fällt (egal ob faire münze oder nicht, kante mal ausgeschlossen, falls nicht fügt man es der menge hinzu). P(Omega)=1. heisst, dass irgendeiner der beiden fälle auftritt. die leere menge ist eine Teilmenge von Omega, nämlich das es keine Münze (bzw kein Kopf oder Zahl) gibt. Die Aussage P(Omega|B)=1 würde heissen, dass unter der annahme, dass ich keine Münze werfe die auf irgendwas fallen kann, entweder kopf oder zahl rauskommt ist in sich widersprüchlich.

aber man kann sicherlich auch irgendeine B die nicht notwendigerweise was mit münzen zu tun hat, dies mit der menge der vorkommenden Münzfallmöglichkeiten vereinen, B gegen eine leere Menge laufen lassen für die man P(Omega|B)=1 als grenzwert rauskriegt.

genau das ist aber das Problem. je nachdem wie ich die menge B (ungleich leere menge) konstruiere und einen Grenzwert betrachte gegen den die Elemente der menge B laufen können, der aber nicht selbst ein (nichttriviales) element)der menge ist (nicht trivial desshalb weil die leere menge L immer element aller mengen ist wegen L U B = B), kann man wohl jeden wert 0<=P(Omega|B->L)<=1 erzeugen. Daher ist nicht definiert. Man kann immer Beispiele finden die andere Werte erzeugen und somit Widersprüche finden.

Wenn man Toms Beitrag dazu betrachtet (danke fürs raussuchen), sollte man vielleicht so argumentieren. Man kann keine allgemeine Definition von P(A|B->L) angeben, wohl aber für konkrete Betrrachtungsfälle, aber sie ist dann auch nur für diese gültig. damit kann ich leben.
Zuletzt geändert von deltaxp am 23. Sep 2016, 13:08, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 23. Sep 2016, 13:05

Pippen hat geschrieben:
Wie soll eine reelle Zahl einen Grenzwert haben (außer gewissermaßen demjenigen, auf den sie selbst zuläuft und der sie selbst darstellt)? Meines Wissens haben nur Folgen oder Funktionen Grenzwerte. Deine reelle Zahl wäre entweder die Null oder eine reelle Zahl, die halt größer als Null ist. Mir ging es darum zu schauen, ob gelten könnte: wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 0, weil ich die intuitive Idee hatte, dass wenn die Bedingung B für A nie eintreten kann, dann kann auch A unter der Bedingung B nie eintreten. Eigentlich logisch, oder?
Da liegt m.E. ein Denkfehler vor. A und B repräsentieren Elemente (oder Teilmengen) von Mengen nenn ich sie mal ALPHA und BETA.
Inner dieser Mengen ALPHA und BETA kann man (u.U.) Grenzwertfolgen definieren. ALPHA und BETA können z.B. Mengen der reellen Zahlen in Intervallen oder auch nicht, oder rationalen zahlen oder natürlichen oder eben Kopf und Zahl oder was auch immer. Man kann sicher nicht in jeder Menge Grenzwertfolgen definieren (für Kopf und Zahl stell ich mir das schwer vor), wahrscheinlich sollte die mengen sogar "kontinuierlich" sein.

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 23. Sep 2016, 14:54

Ja, man muss wohl voraussetzen, dass B → ∅ mit P(B) → 0 eine geeignete Stetigkeitsbedingung erfüllt.

Aber das stört nicht. Ich behaupte ja lediglich, dass unter geeigneten Voraussetzungen ein P(A|B) mit P(B) = 0 eindeutig und sinnvoll definiert werden kann. Wir diskutieren nicht, ob das prinzipiell möglich oder unmöglich ist, sondern nur, wie genau diese Voraussetzungen lauten.
Gruß
Tom

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von Pippen » 23. Sep 2016, 22:43

Der Punkt, wo ich mE schon raus bin ist, dass ich P(A|B) für den Fall P(B) = 0 untersuchen will und bei euch P(B) eben nie wirklich 0 ist, sondern letztlich immer eine Zahl größer als 0. Mit tomS' Methode könnte man auch die Division durch Null definierbar machen, wenn ich es richtig verstehe.

@deltaxp: Ich glaube, man kann, ja man muss, P(Omega|B) = 1 annehmen. Denn wenn P(Omega) im Ereignisraum E sicher eintritt, dann muss das auch unter der Bedingung von B, welches ja ebenfalls zum Ereignisraum gehört, der Fall sein. Sonst wäre ja P(Omega) gerade nicht gleich 1!

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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von deltaxp » 24. Sep 2016, 09:13

Ich hab dir meine Meinung dazu gesagt, pippen. wiederholen werde ich sie nicht. ich bin auch kein Mathematiker, dann musst du einen solchen fragen.
ich halte es wie Tom. es gibt keine allgemeine definiton für P(A|B) wenn P(B)=0, wohl aber kann man je nach Konstruktion der mengen und grenzwertfolgen sinnvolle Werte für P(A|B) konstruieren. aber man muss immer wissen was man tut und die annahmen.

und was heisst nie wirklich 0. die Betrachtung von grenzwertübergängen und Definition der Grenzwerte ist normales vorgehen in der Mathematik

eines der bekanntesten beispiele ist zb f(x)=sin(x)/x für x=0. das ist letzlich auch ein bruch 0/0. man kann für diese funltion den grenzwert aber sinnvoll definieren, denn in der Umgebung von 0 geht lim x->0 f(x)=sin(x)/x=x/x=1. also definiert man f(0)=1. das hat man schon in der schule gemacht. und macht man ständig (die ganze renormierung in der qft basiert auf solchen dingen). und da kann man nicht sagen, das das voodo ist,denn die Ergebnisse die man erhält kann man im Experiment nachprüfen.

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tomS
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Re: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Division durch Null

Beitrag von tomS » 24. Sep 2016, 09:15

Pippen hat geschrieben:Der Punkt, wo ich mE schon raus bin ist, dass ich P(A|B) für den Fall P(B) = 0 untersuchen will und bei euch P(B) eben nie wirklich 0 ist, sondern letztlich immer eine Zahl größer als 0. Mit tomS' Methode könnte man auch die Division durch Null definierbar machen, wenn ich es richtig verstehe.
Ja, genau das war das Ziel. Wenn du in der Mathematik zu einem Problem nichts sagen kannst, dann hast du zu schwache Annahmen getroffen. Du kannst dich entweder damit zufrieden geben (und die Diskussion beenden), oder du führst stärkere Annahmen ein.


Korrektur zu meinen o.g. Rechnungen: für P(B) → 0 muss ich nicht voraussetzen, dass B gegen die leere Menge konvergiert. Es ist ausreichend, dass B gegen eine Menge vom Maß Null konvergiert (diese könnte immer noch überabzählbar sein). Meine Schlussfolgerunfen bleiben jedoch gültig.


Zu dem anderen Thema:

P(Ω|B) = P(Ω ∩ B) / P(B)

Mit Ω ∩ B = B folgt demnach

P(Ω|B) = P(B) / P(B)

Und das ist natürlich gleich Eins, wenn der Bruch rechts definiert ist, als wenn P(B) > 0 oder wenn für P(B) eine geeignete Nullfolge gegeben ist. Wenn dies nicht der Fall ist, dann liegt lediglich ein spezieller Fall des hier diskutierten Problems vor, den man nicht so einfach definieren kann; man muss stattdessen eine vernünftige Vorstellung entwickeln (aber die lehnst du ja ab).

Generell diskutieren wir ja das Problem der bedingten Wahrscheinlichkeit unter Voraussetzung der Kolmogorovschen Axiome bzw. der σ-Algebren. Mehr lässt sich dann nicht sagen. Es gibt umgekehrt Ansätze, Wahrscheinlichkeiten direkt auf Basis bedingter Wahrscheinlichkeit zu axiomatisieren; diese kenne ich jedoch nicht.
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper

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