Abenteuer-Universum

Auf wikipedia steht, dass ZFC in PL 1. Stufe formuliert ist, gleichzeitig steht da, dass Gödel mit seinem 2. UT gezeigt hat, dass ein Widerspruchsfreiheitsbeweis innerhalb ZFC unmöglich ist. Das widerspricht sich für mich, denn ich dachte immer die PL 1. Stufe ist vollständig und widerspruchsfrei und erst wenn man auch über Prädikate spricht, also ab Pl 2. Stufe, gelten die gödelschen Einschränkungen. Oder anders gefragt: Ist die stinknormale PL 1. Stufe korrekt und vollständig?

Innerhalb der ZFC ist er unmöglich. Aus einem äußeren übergeordneten System heraus ist das anders.
Das bedeutet jedoch nicht, dass das äußere bewertende System widerspruchsfrei ist.
Es ist schwer das in normale Sprache umzuformulieren, aber ich versuchs mal hiermit:
( ( (A:kann eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen) *B:kann Widerspruchsfreiheit von A beweisen, aber nicht die eigene Widerspruchsfreiheit/Wahrheitsgehalt) *C:kann widerspruchsfreiheit von B zeigen, aber nicht eigene Widerspruchsfreiheit/Wahrheitsgehalt )

Wir befinden uns bei "B", können also über A urteilen, während A nicht über sich selbst urteilen kann. B kann beweisen, dass es selbst dem A eine widerspruchsfreie Bedeutung zuordnen kann, unter der Voraussetzung, dass sein eigener Kontext widerspruchsfrei ist.

Bei einem Konstrukt wie:
A*: C* ist falsch
B*: A* ist falsch
C*: B* ist falsch
lässt sich der Widerspruch bzw die falsche Aussage frei verschieben.
B kann die eigene Widerspruchsfreiheit aus seiner eigenen Sicht sicherstellen, indem es den Widerspruch verschiebt und dem ihm umgebenden Konstrukt so eine Bedeutung zuordnen, dass der Widerspruch woanders ist und innerhalb seines eigenen Geltungsbereiches eine Widerspruchsfreiheit möglich aber nicht beweisbar ist.

Das muss ich aber sicher nochmal umschreiben, muss in 2 Minuten auf den Bus und kann das jetzt nicht so aufschreiben wie ich es gerne wollte.

Niemand?

Folgendes scheint der Fall zu sein: Die PL 1. Stufe kann unvollständig oder inkorrekt sein, muss aber nicht. Es hängt davon ab, ob und welche zusätzlichen Symbole man einführt. So ist der Kalkül des natürlichen Schließens vollständig und korrekt, während ZFC nur unvollständig oder inkorrekt ist - beide Kalküle sind in PL, 1. Stufe, geschrieben, aber in ZFC gibt's mehr Sondersymbole, zB €. Das scheint den Unterschied zu machen.