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Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

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Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von Pippen » 24. Jun 2016, 13:44

Die vI hat als Ausgangslange oft eine Gleichung der Form a = b, die man induktiv beweisen soll. Gegeben der Induktionsanfang klappt, so müsste doch eigentlich der Induktionsbeweis immer erfolgreich sein, denn wenn a = b, dann ist natürlich auch a+1 = b+1, wir addieren ja auf beiden Seiten immer nur das Gleiche. So gilt n+n=2n, der Induktionsanfang mit 0 klappt und natürlich gilt auch n+n+(n+1) = 2n+(n+1). Jetzt nehmen wir n+n=3n, auch hier klappt der Induktionsanfang und auch hier der Induktionsschritt, denn wenn n+n=3n wäre (was wir ja voraussetzen können), dann kann die Addition mit n+1 auf beiden Seiten nichts anderes ergeben! Also wäre n+n=3n beweisen?!?

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von tomS » 24. Jun 2016, 13:58

Nee.

Die Gleichung ist von der Form a(n) = b(n); zu beweisen ist
i) der Induktionsanfang: a(1) = b(1) sowie
ii) der Induktionsschritt: wenn a(n) = b(n), dann a(n+1) = b(n+1)
Gruß
Tom

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von Pippen » 24. Jun 2016, 14:20

tomS hat geschrieben:Induktionsschritt: wenn a(n) = b(n), dann a(n+1) = b(n+1)
Das sieht aus wie eine Tautologie: (a <-> b) -> ((a & c) <-> (b & c)). Wenn a(n) = b(n), dann auch immer a(n+1) = b(n+1), denn wir addieren ja nur 'n+1' auf beiden Seiten und wenn wir die Gleichheit der Seiten vorab annehmen, dann kann durch Addition von 'n+1' auf beiden Seiten da doch nix schiefgehen. Keine Ahnung, wo da mein Denkfehler liegt....

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von tomS » 25. Jun 2016, 00:15

Pippen hat geschrieben:Wenn a(n) = b(n), dann auch immer a(n+1) = b(n+1), denn wir addieren ja nur 'n+1' auf beiden Seiten ...
Nein, wir addieren nichts!

Bsp.: zu zeigen ist, dass für alle n aus N die Zahl z(n) = n3 - n durch 3 teilbar ist.

Induktionsanfang mit n = 1, z(1) = 1.
Induktionschritt: wenn z(n) = 0 (mod 3), dann auch z(n+1) = 0 (mod 3).

Beweis: man zeigt die Umformung z(n+1) = z(n) + 3(n+); rechts sind aber sicher beide Terme durch 3 teilbar; q.e.d.

Wir addieren da nichts!
Gruß
Tom

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von Pippen » 25. Jun 2016, 00:41

Ich mache einfach mal zwei Babybsp., da kannst du mir genauer zeigen, wo jeweils der Induktionsbeweis falsch läuft:

1. Zu zeigen: n + n = 2n. Induktionsanfang: 0 + 0 = 2 * 0, passt. Induktionsschritt: Wenn n + n = 2n, dann auch n + n + 1 = 2n + 1. Nun kann man den Term n + n + 1 auch tatsächlich zu 2n+1 umformen, also q.e.d.

2. Zu zeigen: n + n = 3n. Induktionsanfang: 0 + 0 = 3 * 0, passt. Induktionsschritt: Wenn n + n = 3n, dann n + n + 1 = 3n + 1. Diese Implikation stimmt aus zwei Gründen: Erstens wird die angenommene Gleichung n+n=3n auf beiden Seiten mit Eins addiert, also muss sie eine Gleichung bleiben, zweitens ist der Antecedens falsch. Daraus folgt freilich ganz korrekt, dass für alle IN gilt: n+n = 3n?!?!?

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von tomS » 25. Jun 2016, 10:29

Erster Fehler: du wendest den Induktionsschritt falsch an.

Wenn a(n) = b(n), dann a(n+1) = b(n+1). Anders formuliert mittels n' = (n+1): Wenn a(n) = b(n), dann a(n') = b(n').

Du darfst die '1' nicht zur Gleichung addieren, sondern zu jedem auftretenden n; d.h. jedes n durch (n+1) ersetzen. Klammersetzung beachten!
Gruß
Tom

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von tomS » 25. Jun 2016, 11:34

Zweiter Fehler: der Induktionsschritt erfolgt von einem beliebigen n auf n+1; du führst ihn durch ausgehend von einem speziellen n = 0; das ist nicht zulässig.


Dritter Fehler: du führst den Induktionsschritt nicht durch!

Konkret: zu zeigen ist, dass wenn n + n = 3n, dass dann n' + n' = 3n' mit n' = (n+1).

Einsetzen für n' liefert (n+1) + (n+1) = 3(n+1).

Umformung liefert [n + n] + 2 = [3n] + 3.

Die beiden Terme [...] sind nach Induktionsvoraussetzung gleich, fallen also weg.

Es bleibt 2 = 3. Das ist falsch, und damit ist der Induktionsschritt gescheitert.
Gruß
Tom

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von Pippen » 28. Jun 2016, 21:29

Vielen Dank erstmal für die Durchsicht.

1. Den ersten Fehler sehe ich ein: Zu zeigen: n + n = 2n. Induktionsanfang: 0 + 0 = 2 * 0, passt. Induktionsschritt: Wenn n + n = 2n, dann auch (n+1) + (n + 1) = 2(n + 1), was auch stimmt, damit q.e.d. Richtig?

2. Bei der Sache mit n+n=3n gilt mE für den IS: n+n=3n -> n'+n'=3n'. Du zeigst richtig, dass der Konsequenz (n'+n'=3n') widersprüchlich und damit falsch ist, aber weil auch der Antecedens (n+n=3n) widersprüchlich und falsch ist, wäre die Implikation korrekt - und genau nur das fordert doch das Induktionsaxiom, oder? Da der Induktionsanfang mit Null klappt, wäre damit der Induktionsbeweis erbracht, dass für alle IN gilt: n+n=3n. Verstehst du meinen Blickwinkel? Ich weß, dass er falsch sein muss, aber ich weiß nicht wo.

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von tomS » 29. Jun 2016, 06:44

Pippen hat geschrieben:... aber weil auch der Antecedens (n+n=3n) widersprüchlich und falsch ist ...
Das weißt du noch gar nicht. Und es ist nicht allgemeingültig; die Gleichung ist wahr für n = 0.

Außerdem lautet der Induktionsschritt nicht "(n+n=3n) => ..." sondern "wenn für ein beliebiges n (n+n=3n) => ...".
Pippen hat geschrieben:Da der Induktionsanfang mit Null klappt, wäre damit der Induktionsbeweis erbracht ...
Nein, da außerdem der Induktionsschritt die Gültigkeit für ein beliebiges n voraussetzt, aus der Gültigkeit für ein spezielles n alleine folgt nichts, höchstens für den einen speziellen Nachfolger n'.

Vergiss jetzt mal den Induktionsstart, er ist für die Durchführung des Induktionsschritts zunächst völlig irrelevant. Es geht ausschließlich um das "wenn ... dann", und das scheitert, da das Ergebnis 2 = 3 falsch ist. Dieser Schritt ist also für sich falsch, noch ohne, dass du den Induktionsstart herangezogen hättest.
Gruß
Tom

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Re: Verständnisfrage zur vollständigen Induktion

Beitrag von Pippen » 3. Jul 2016, 01:19

Aha, jetzt hab ich's kapiert. Ich dachte, dass n+n=3n per se falsch ist, sowas wie ein logischer Widerspruch, doch das stimmt ja nicht und im Induktionsschritt nimmt man dann den Antecedens "n+n=3n" als wahr an (was eben auch möglich ist, s.o.) und dann wäre der Konsequenz falsch, was das Induktionsaxiom verletzt.

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