Abenteuer-Universum

Sei a/b = x und wir legen fest, dass daraus auch folgt: b*x = a (und umgekehrt). Wir nehmen weiter an, Divsion durch Null wäre lösbar.

Fall 1: a = b = 0, also 0/0 = x, also 0 * x = 0, doch auch 0 * y = 0, wobei x ungleich y, so dass auch y eine Lösung von 0/0 wäre. 0/0 = x wäre also genauso richtig wie 0/0 = y, woraus wiederum x = y folgt, ein Widerspruch zur Ungleichheit von x und y, so dass dieser Fall unmöglich ist.
Fall 2: b = 0, a ungleich 0, also a/0 = x, also 0 * x = a. Wenn x die Lösung von a/0 wäre, dann müsste laut unserer o.g. Festlegung x auch die Lösung für 0 * x = a sein, aber das ist unmöglich, weil die Nullmultiplikation immer Null ergibt, jedoch a ungleich Null sei, also wieder ein Widerspruch.

Da beide Fälle der Division durch Null zu Widersprüchen führen, ist sie unmöglich.

Ich finde diesen Beweis (von mir konstruiert) irgendwie besser als das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Division_ ... durch_null. Die Division durch Null kann eben nicht definiert werden, weil sie zu Widersprüchen führt und nur deshalb.

Meinungen?

Beweisführung war für mich immer ein Horror in der Schule, ich habe sie gehasst...
An deinem Beispiel kann ich auf den ersten Blick keine Fehlkonstruktion erkennen.

Hier noch zwei Links dazu:
http://www.die-absolute-theorie.de/wiki ... durch_null
http://www.liste-null.de/division.php

Ich versuchte immer, mir das logisch zu erklären; wenn man eine Zahl durch "nichts" oder "unendlich" teilen will, dann kann dabei kein gescheites Ergebnis rauskommen, weil es zwischen diesen beiden Ausnahmefällen z.B. keinen Mittelpunkt oder gar Grenzen gibt. Null und unendlich sind für mich persönlich also "Zustände" und keine Zahlen (ok, die 0 ist darüber hinaus noch eine Ziffer, während man mit ∞ gar nicht rechnen kann).
Ist von korrekter mathematischer Beweisführung natürlich Lichtjahre entfernt...

Gruß
Steffen

Pippen hat geschrieben: Fall 2: b = 0, a ungleich 0, also a/0 = x, also 0 * x = a. Wenn x die Lösung von a/0 wäre, dann müsste laut unserer o.g. Festlegung x auch die Lösung für 0 * x = a sein, aber das ist unmöglich, weil die Nullmultiplikation immer Null ergibt, jedoch a ungleich Null sei, also wieder ein Widerspruch.

Die fett markierte Stelle hast du vorher mit

Pippen hat geschrieben: Wir nehmen weiter an, Divsion durch Null wäre lösbar.

indirekt aufgehoben.
Das multiplikativ Inverse zur Division durch Null ist die Multiplikation mit Unendlich. Beides existiert nicht.
Wenn du annimmst, dass man durch Null teilen kann (as nicht geht), musst du auch annehmen, dass die Multiplikation mit unendlich (die es auch nicht gibt) existiert.
Guckst du hier:
1 = (x/1) * (1/x)
(x/1) ist das genaue Spiegelbild von (1/x).
0* und unendlich* sind genau gegenüberliegend, und die 1 stellt die Spiegelebene dar die sich in der Mitte der beiden befindet.
Du kannst nicht den einen Prozess als möglich annehmen, aber dann genau sein Spiegelbild leugnen...

Das beste um sich das besser vorzustellen ist, wenn man die Bedeutung der beteiligten Zahlen im Bezug der Addition völlig vergisst.
Du hast einfach ein Intervall ]0,unendlich[ und exakt in der Mitte befindet sich die "1".
0 und unendlich sind selbst nicht im Intervall enthalten. Wenn du nun annimmst, dass die "0" im Intervall enthalten ist, musst du zwangsläufig auch "Unendlich" mit hinein nehmen.
Deshalb verliert die oben fett markierte Aussage in dem Kontext ihren Sinn.

Wir betrachten die Gleichung a / 0 = x für a ungleich Null. Dies wäre die Auflösung der Gleichung a = 0 * x für die Unbekannte x als Funktion von a. Nun kann man jedoch durch Einsetzen beliebiger reeller Zahlen x und des Wissens, dass 0 * x = 0 für alle reellen Zahlen x gilt, zeigen, dass a ungleich Null immer Widerspruch liefert.

@skeltek: Ja, ich nehme iRd Beweises an, die Division durch Null sei lösbar. Das heißt aber nicht, dass ich Multiplikation mit unendlich als Inverses auch annehmen muss, denn unendlich ist keine Zahl. Vielmehr gilt, was im Beweis steht: Wenn a/0 = x, dann auch 0 * x = a und das führt bei a ungleich 0 immer zu Widersprüchen. Ich sehe da keinen methodischen Fehler oder ich verstehe vllt. auch nicht recht, was du meinst.

Pippen hat geschrieben:Wenn a/0 = x, dann auch 0 * x = a und das führt bei a ungleich 0 immer zu Widersprüchen. Ich sehe da keinen methodischen Fehler ...

Ich auch nicht.

@tomS: Kann man sagen, dass in einem Nullring die Div. durch Null definiert ist? Ein Nullring ist das Setup {0, +, *}, wonach gilt: 0+0 = 0 und 0 * 0 = 0. Danach wäre die Umkehroperation 0/0 = 0. Kann man das so sehen oder geht das nicht, weil die Division doch nochmal was anderes ist als die Multiplikation und der Ring eben nur + und * erfasst?

Pippen hat geschrieben:@tomS: Kann man sagen, dass in einem Nullring die Div. durch Null definiert ist?

Da 1 = 0 gilt, kann man das wohl so sehen.

Dachte *0 ist die Umkehroperation von *0 ? Wo kriegt ihr beim Ring den Divisionsoperator her?

tomS hat geschrieben:

Pippen hat geschrieben:Wenn a/0 = x, dann auch 0 * x = a und das führt bei a ungleich 0 immer zu Widersprüchen. Ich sehe da keinen methodischen Fehler ...

Ich auch nicht.

"Wenn A dann B" => Widerspruch ist denke ich methodischer Fehler, da bei A=>B ja bereits das A falsch ist - völlig unabhängig davon was "a" ist.

Skeltek hat geschrieben:Wo kriegt ihr beim Ring den Divisionsoperator her?

Zunächst gar nicht. Aber da im Nullring 0 = 1 gilt und somit 0*0 = 0 = 1 kann ich auch 0 = 1/0 definieren, oder?

Skeltek hat geschrieben: "Wenn A dann B" => Widerspruch ist denke ich methodischer Fehler, da bei A=>B ja bereits das A falsch ist - völlig unabhängig davon was "a" ist.

Mein Beweis ist ja ein Widerspruchsbeweis. Ich nehme eine Aussage als wahr an, hier (A) "Division durch Null ist lösbar". Danach folgere ich korrekt, d.h. nur mit Regeln, welche den Wahrheitstransfer von wahren Prämissen garantieren (das ist extrem wichtig!!!), auf andere Aussagen und es ergibt sich ein Widerspruch, also eine falsche Aussage. Das wäre bei einer korrekten Folgerung nur möglich, wenn A falsch ist und deshalb kann man dann auch auf ~A schließen.

Deine Überlegungen spielen auf einer Ebene, die ein Beweis nicht tangiert. Uns interessiert nur die Wahrheit von A. Was daraus folgt, interessiert nicht und da A falsch ist, folgt ohnehin, dass jede Implikation A -> X wahr ist, auch jene: Wenn die Div. durch 0 lösbar, dann hat sie eine Lösung x.