Abenteuer-Universum

Hallo zusammen,

nach einem Kurzausflug in die Politik (nicht wirklich empfehlenswert) mal wieder was zur Wissenschaft.

Als Programmierer kenne ich mich ein wenig mit Primzahlen aus; von der "ABC-Vermutung" hatte ich bisher jedoch noch nie etwas gehört.
Laienhaft ausgedrückt bedeutet sie, dass für zwei natürliche Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler haben, das Quadrat des Produktes der Teiler dieser beiden Zahlen und ihrer Summe nie kleiner ist als die Summe der Zahlen selbst.

So weit, so gut. Aber warum sollte man so einen "Quatsch" beweisen müssen? Es hätte angeblich handfeste Konsequenzen, z.B. für Verschlüsselungssysteme im Internet.

Ein Mathematiker namens Shinichi Mochizuki (47) soll das Rätsel gelöst haben - leider versteht niemand seiner Berufskollegen dessen Beweisführung. Selbst sein Doktorlehrer Gerd Faltings hat das Handtuch geworfen.

Inzwischen ist das Thema bis Juli diesen Jahres wohl vom Tisch, dann findet ein Gipfeltreffen zum Thema "interuniverselle Teichmüller-Theorie" in Kyoto statt. Dort wohnt und arbeitet besagter Mochizuki...

Quelle: P.M. 05/2016, Seite 30ff.

Gruß
Steffen

Zu den extrem weitreichenden Folgerungen aus der ABC-Vermutung zählen u.a. - Kopie aus der englischen Wikipedia:

Thue–Siegel–Roth theorem on diophantine approximation of algebraic numbers (Bombieri 1994)
The Mordell conjecture (already proven in general by Gerd Faltings) (Elkies 1991)
It is equivalent to Vojta's conjecture (in dimension 1). (Van Frankenhuijsen 2002)
The Erdős–Woods conjecture except for a finite number of counterexamples (Langevin 1993)
The existence of infinitely many non-Wieferich primes in every base b > 1 (Silverman 1988)
The weak form of Marshall Hall's conjecture on the separation between squares and cubes of integers (Nitaj 1996)
The Fermat–Catalan conjecture, a generalization of Fermat's last theorem concerning powers that are sums of powers (Pomerance 2008)
The L-function L(s, χd) formed with the Legendre symbol, has no Siegel zero (this consequence actually requires a uniform version of the abc conjecture in number fields, not only the abc conjecture as formulated above for rational integers) (Granville & Stark 2000)
P(x) has only finitely many perfect powers for integral x for P a polynomial with at least three simple zeros.
A generalization of Tijdeman's theorem concerning the number of solutions of ym = xn + k (Tijdeman's theorem answers the case k = 1), and Pillai's conjecture (1931) concerning the number of solutions of Aym = Bxn + k.
It is equivalent to the Granville–Langevin conjecture, that if f is a square-free binary form of degree n > 2, then for every real β > 2 there is a constant C(f, β) such that for all coprime integers x, y, the radical of f(x, y) exceeds C · max{|x|, |y|}n−β.
It is equivalent to the modified Szpiro conjecture, which would yield a bound of rad(abc)1.2+ε (Oesterlé 1988).
Dąbrowski (1996) has shown that the abc conjecture implies that the Diophantine equation n! + A = k2 has only finitely many solutions for any given integer A.
Andrew Wiles' proof of Fermat's Last Theorem is famous for its difficulty. However if a strong effective form of the abc conjecture is correct, then one can give a very short and easy proof of Fermat's Last theorem.

Ich gebe diese Liste mal unkommentiert weiter. Die ABC-Vernutung ist m.E. für sich alleine eher uninteressant, hat jedoch weitreichende Folgen; daher rührt das Interesse.

Hier noch zwei Links dazu:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 68399.html
https://de.wikipedia.org/wiki/Abc-Vermutung