Des König's Geschwister

[Pippen]

Ein König hat ein Geschwister. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist, wenn wir davon ausgehen, dass grundsätzlich P(männlich) = P(weiblich) = 0,5. Ich komme hier nicht auf die übliche Lösung 2/3, sondern 3/4 und zwar mit folgendem Gedankengang:

Ich arbeite mit einem Baumdiagramm. Die Eltern des Königs haben als erstes entweder ein männliches oder weibliches Kind gehabt, jeweils mit 50%-Wahrscheinlichkeit. War es ein männliches Kind, dann wurde als Zweites wiederum entweder ein männliches oder weibliches Kind geboren, wiederum mit 50%-Wahrscheinlichkeit. War es ein weibliches Kind, dann musste danach ein männliches Kind geboren werden (weil ja der König männlich ist und damit die Kombination weiblich-weiblich ausscheidet). MaW: P(m,m) = 0,25, P(m,w) = 0,25, P(w,m) = 0,5. Daraus ergibt sich für mich durch Addition eine Wahrscheinlichkeit von 0,75 bzw. 75% dafür, dass der König eine Schwester hatte. Wo mache ich da einen Fehler oder ist diese Lösungsweg auch möglich?

Man könnte auch argumentieren: Der König ist männlich, das steht ja fest und kann als Ausgangsbasis genommen werden. Also kann sein Geschwister nur männlich oder weiblich sein, so dass P(Schwester) = 0,5. Auch da würde ich keinen Fehler sehen.

Ist das so eine Aufgabe, wo so verschiedene Lösungen/Modelle möglich sind?

[positronium]

Du betrachtest Wahrscheinlichkeiten für das jeweilige "Ergebnis" bei der Geburt. Ich habe diesen Weg jetzt nicht durchdacht, weil es viel einfacher geht: Es ist doch offensichtlich, dass bei zwei Kindern die Möglichkeiten mm, mw, wm und ww existieren. Weil der König männlich ist, fällt ww weg. Aus den übrigen "streicht" man jeweils ein m für den König, und es bleibt mww. Daraus folgt 2/3 für w.

[Pippen]

Ja, aber ist denn mein Weg (3/4 oder 1/2) irgendwo fehlerhaft? Denn wenn nicht, dann hieße es, dass das Problem einfach uneindeutig wäre.

[positronium]

Du schreibst: "MaW: P(m,m) = 0,25, P(m,w) = 0,25, P(w,m) = 0,5.". Die beiden mit 0,25 sind natürlich richtig. P(w,m)=0,5 kann aber nicht richtig sein. Damit verdrehst Du die Aufgabe. Es gilt ja:
1. Die Natur gibt vor P(m)=P(w).
2. Es wird die Menge der Möglichkeiten eingeschränkt, weil wir wissen, dass König=m.
So wie Du vorgehst, veränderst Du die Natur, indem Du festlegst, dass in keiner Familie zwei weibliche Nachkommen zur Welt kommen können (bzw. wenn das erste Kind weiblich ist, das zweite gezwungenermassen eine Geschlechtsumwandlung ertragen muss, falls es ebenfalls weiblich ist). Du führst also die Regel P(w,w)->P(w,m) ein.

Im Fall mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 nimmst Du den König aus der Wahrscheinlichkeitsbetrachtung, setzst also König=Neutrum.

[tomS]

Man muss einfach präzise formulieren und sich bewusst machen, in welcher Weise bedingte Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen.

Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeiten für ein Mädchen fragen, existieren die zwei Möglichkeiten (m), (w); jede hat Wsk. 1/2, d.h. 1/2 entfällt auf (w).

Wenn wir nach den Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kinder fragen, existieren die vier Möglichkeiten (m,m), (m,w), (w,m), (w,w); jede hat die Wsk. 1/4.

Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeiten für eine Schwester fragen, existieren wiederum die zwei Möglichkeiten (m), (w); jede hat Wsk. 1/2, und wiederum entfällt auf (w) die 1/2.

Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeiten für die Kinder fragen, unter der Bedingung, dass mindestens eines davon ein Mädchen ist, dann existieren nur noch die Möglichkeiten (m,w), (w,m), (w,w).

Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeiten für die Kinder fragen, unter der Bedingung, dass das zweite ein Mädchen ist, dann existieren nur noch die Möglichkeit (m,w), (w,w).

Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeiten für die Kinder fragen, unter der Bedingung, dass das zweite ein Mädchen ist, weil der König = das erste ein Junge ist, dann existiert nur noch die Möglichkeit (m,w).

Ohne die Bedingung wird einfach nach jeder neuen Verzweigung ein 1/2 an die bereits vorliegenden Wsk's multipliziert. Eine Bedingung bedeutet, dass nur ausgewählte Zweige der Baumes betrachtet werden. Im Ergebnis wird je nach Formulierung wieder über die Wsk's ausgewählter Blätter summiert.

[Pippen]

Wir fragen nach den Wahrscheinlichkeiten für die Geschlechterverteilung beider Kinder, wobei wir wissen, dass eines davon männlich sein muss (der König). Das Baumdiagramm zeigt uns in einem ersten Schritt erstmal die ganze mögliche Bandbreite:

m..........................w |Entweder die Elter des König hatten als erstes Kind ein m oder w
m...w................m...w |darauffolgend gilt wieder das gleiche für das 2. Kind

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar (mm, mw, wm, ww) beträgt 25%. Hier wird wir uns wahrscheinlich alle noch einig. Jetzt flechten wir unser Sonderwissen ein, dass mind. ein Kind - der König - m ist. Wir wissen damit , dass ww unmöglich ist, so dass der w-Ast nur eine Möglichkeit haben kann: m. Damit bereinigen wir das Baumdiagramm wie folgt:

m..........................w
m...w.....................m

Das bedeutet für die Wahrscheinlichkeiten: mm = 25%, mw = 25%, wm = 50%. Wenn jetzt also nach der Wahrscheinlichkeit von m & w gefragt ist, dann addiere ich einfach die 25% für mw und die 50% von wm und komme so auf 75%. Für mich klingt das alles ganz vernünftig. Wenn das erste Kind ein w war, dann muss nunmal das 2. Kind ein m gewesen sein, d.h. dort muss das Baumdiagramm auf einen Ast begrenzt werden, Natur hin oder her.

[Zausel]

Mengenlehre, oder? Das hab ich schon nicht verstanden, als ich versucht habe das zu lernen.
Eigentlich ist es aber einfach.
Ist die Menge der unendlichen Zahlen gleich der rationalen Zahlen, oder könnte das eine Schnittmenge sein?

[tomS]

Pippen, du solltest das ganze formal richtig aufschreiben, also "gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(A|B) für ein Ereignis A, unter der Voraussetzung dass B sicher eingetreten ist". Andernfalls weiß man nicht genau, was du meinst.

Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Wenn die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, dann gilt

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

P(A|B) = P(A)

Im vorliegenden Fall sind beide Ereignisse A und B natürlich stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zeugung ein Mädchen gezeugt wird, beträgt 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer anderen Zeugung ein Mädchen gezeugt wird, beträgt wiederum 1/2, unabhängig vom Geschlecht aus der ersten Zeugung.

Der entsprechende Artikel auf Wikipedia ist recht gut und zeigt das Arbeiten mit einem Baumdiagramm.

Wenn du übrigens Wahrscheinlichkeiten von Blättern im Baum addierst, dann entspricht dies der Wahrscheinlichkeit für eine Menge von Ereignissen. Wenn du dein Wissen nutzt, dass ein Kind ein Junge ist, dann bedeutet dies, dass du das Ereignis (w,w) ausschließt. Mit anderen Worten, du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Komplements zu {(w,w)}, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Kindern keines ein Mädchen ist. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/4. Wichtig ist die präzise Formulierung: die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Kindern keines ein Mädchen ist (mit bedingten Wahrscheinlichkeiten hat dies nichts zu tun)

[seeker]

Genau.
Jedoch finde ich alle notwendigen Informationen in der Aufgabenstellung:

Ein König hat ein Geschwister. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist, wenn wir davon ausgehen, dass grundsätzlich P(männlich) = P(weiblich) = 0,5.

Daraus lassen sich folgende Informationen ableiten:
1. Sowohl der König als auch sein Geschwister sind schon geboren, die Würfel sind also schon gefallen.
2. Es wird also nicht danach gefragt, welche Wahrscheinlichkeiten für m/w sich ergeben, wenn ein Königspaar zwei Kinder zeugen würde, etc.
3. Entweder ist der König vor (a) oder nach (b) seinem Geschwister geboren worden.*

a) Wenn der König älter ist, dann war zum Zeitpunkt der Zeugung seines Geschwisters die Wahrscheinlichkeit für Geschwister = w exakt 50%
(Man darf hier nicht in den Spielerirrtum verfallen: Die Wahl m für den König beeinflusst die zweite Wahl für sein Geschwister nicht.)

b) Wenn der König jünger ist, dann war zum Zeitpunkt der Zeugung seines Geschwisters die Wahrscheinlichkeit für Geschwister = w ebenso exakt 50%
(Ebenso: Nicht in den Spielerirrtum verfallen!)

Folgerung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister des Königs weiblich ist, beträgt 50%.

*: Ausnahme:
4. Die beiden Menschen sind zusammen gezeugt worden.
In dem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister des Königs weiblich ist 2/3, weil dann -und nur dann- die Kombinationsfälle betrachtet werden müssen und der Fall w/w wegfällt und die Fälle m/w, w/m und m/m verrechnet werden müssen.
Allerdings muss diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichket für eine Zwillingszeugung multipliziert werden.
Diese beträgt ca. 2,5% pro Geburt (was allerdings eine Zusatzinformation ist, die in der Aufgabenstellung nicht angegeben wurde).

Mit den Ergebnissen der Wahrscheinlichkeiten für Einzelgeburten (1/2) und Zwillingsgeburten (2/3) kann man dann weiterrechnen, wenn man möchte, und kommt auf eine Wahrscheinlichkeit für Geschwister = weiblich von etwas mehr als 50%.

Gruß
seeker

[tomS]

seeker, deine Ausnahme (*) ist nicht korrekt. Es kommt nicht auf die zeitliche Reihenfolge an, sondern ausschließlich auf die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse. Auch bei (*) ist die Wsk. jeweils 1/2 (**)

(**) Ausnahme: eineiige Zwillinge :-)

[Pippen]

Ich verstehe immer noch nicht, ob mein Lösungsweg via Baumdiagramm klappt bzw. warum nicht. Während die Mehrzahl sagt, die Wahrscheinlichkeit, der König habe eine Schwester sei 66,6% komme ich mit u.g. Lösungsweg via Baumdiagramm zu dem Ergebnis 75%. Mich interessiert, wo da mein Fehler liegt. Das ist für mich wichtig, weil ich solche Aufgaben immer lieber "anschaulich" über Baumdiagramme löse und nicht so abstrakt, wie tomS vorschlägt.

[tomS]

Es geht einfach darum, dass du präzise formulierst, was du eigtl. berechnen willst. Bisher sind deine Formulierungen zu unklar.

[seeker]

seeker, deine Ausnahme (*) ist nicht korrekt. Es kommt nicht auf die zeitliche Reihenfolge an, sondern ausschließlich auf die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse.

Bei den Ereignissen selbst, ja.
Aber jetzt wird es knackig, denn die Ereignisse sind ja längst geschen, also faktisch fixiert. D.h. die Wahrscheinlichkeitsaussagen, die wir jetzt noch treffen können, beziehen sich nicht auf das System, sondern auf unser Wissen über das System.

Und ich glaube, dass es daher wichtig ist und auch einen Unterschied ausmacht, wann genau uns eine Information über das System vorliegt, relativ zu den Ereignissen. Und deshalb bin ich unsicher, ob meine Ausnahme nicht doch korrekt ist.

Vereinfachen wir doch die Aufgabenstellung ein wenig und machen Experimente:

1. Experiment:
Ich habe einen Würfel und einen Würfelbecher. Auf dem Würfel sind 3 Seiten mit "m" beschriftet und die anderen 3 Seiten mit "w".
Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis m oder w nach einem Wurf beträgt also je 0,5.

Es wird wird nun 1x gewürfelt. Der Würfelbecher wird angehoben und es wird nachgeschaut. Ergebnis: Es liegt "m" oben!
D.h.: Ich erhalte die Information "Erstes Ergebnis = m" vor dem 2. Wurf! Und ich erhalte daher auch die Information, dass es der 1. Wurf war, wo "m" kam!

Nun wird noch einmal gewürfelt. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass wir w zu sehen bekommen, wenn wir den Bescher anheben?
Selbstverständlich 0,5, denn das erste Ergebnis beeinflusst das zweite Ergebnis nicht.



2. Experiment:
Diesmal nehme ich zwei Würfel und zwei Würfelbecher.
Mit beiden wird gewürfelt. Es wird aber noch nicht nachgeschaut, was für ein Ergebnis sich einstellte.

Frage 1:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Würfel das Ergebnis m/w oder w/m anzeigen?
(Das ähnelt Pippens Frage, nur ein wenig verändert, nämlich so: "Wenn ein König ein Geschwister hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist?")

Antwort:
Es gibt hier 4 mögliche, gleich-wahrscheinliche Kombinationen: m/m, w/m, m/w und w/w.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit für m/w plus w/m = 0,25 + 0,25 = 0,5


Nun hebst du willkürlich einen der beiden Würfelbecher an (ohne dass ich weiß welcher) und sagst mir: "Dieser Würfel zeigt "m" an!
(Ich erhalte diese Information hier also erst nach den Ereignissen und ich weiß hier nicht aus welchem Wurf sie kam!)

Frage 2:
Wie hoch ist für mich nun die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Würfel das Ergebnis m/w oder w/m anzeigen?
(Dies entspricht nun exakt Pippens Frage: "Ein König hat ein Geschwister. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist?")

Ich überlege wieder:
Die möglichen Kombinationen waren vorher m/m, w/m, m/w und w/w.
Da einer der beiden Würfel "m" anzeigt, weiß ich, dass sich die Kombination w/w nicht ereignet hat.
Daher können nur noch die Kombinationen m/m, w/m und m/w eingetreten sein.
Da ich sonst keine weiteren Informationen habe, muss ich davon ausgehen, dass diese Kombinationen gleich-wahrscheinlich sind.

Daher meine Antwort:
Nun ist die Wahrschenilichkeit für "w" unter dem zweiten Becher 2/3!
Denn P(w/m) + P(m/w) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Anm.:
Dieser Fall entspricht den zwei-eiigen Zwillingen.
(Du hast Recht Tom, eineiige Zwillinge... Verflixt! Lass uns diesen Fall mal für den Moment ignorieren, ja?)

Das erste Experiment entspricht dem Fall dass die Geschwister keine Zwillinge sind, denn einer der beiden ist dann älter. Und wenn ich heute die Information bekomme: "Der König ist ein Mann.", dann weiß ich, dass das Ereignis, das zu "m" geführt hat, schon vor einigen Jahren stattgefunden hat und dass diese Information also selbst schon lange unverändert vorliegt. Entweder liegt sie länger vor als das unbekannte Geschwister alt ist, dann ergibt sich wie oben gezeigt P(w) = 0,5 für das jüngere Geschwister oder sie liegt noch nicht so lange vor, wie das andere Geschwister alt ist, dann ergibt sich sowieso P(w) = 0,5 für das andere Geschwister, weil dies dann das erste Ereignis war.



Grüße
seeker

[Pippen]

Es geht einfach darum, dass du präzise formulierst, was du eigtl. berechnen willst. Bisher sind deine Formulierungen zu unklar.

Ein König hat einen Bruder/Schwester und ich will wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit dieser König eine Schwester statt einem Bruder hat. Meine Lösung lautet 75% (s. obiges Baumdiagramm.), eine andere Lösung könnte 66% lauten (Es gäbe nur die Ergebnismenge 'mm', 'mw', 'wm', so dass 2 aus 3 die Bedingung erfüllen) und noch eine andere Lösung könnte schlicht 50% lauten (Es gäbe einen Mann (König) und wegen Gleichverteilung ist die Chance, dass neben ihm Bruder oder Schwester lebt, je 50%).

Der Fehler der 50%-Lösung ist eine zu grobe Modellierung, weil die Kombination 'mw' quasi nur einmal vorkommt, während sie de facto zweimal vorkommt ('mw', 'wm'). Diesen Fehler verstehe ich aber ich sehe keinen Fehler bei meiner Lösung.

[tomS]

@seeker: dein zweites Experiment stellt eine andere Frage, nämlich nach der Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Kindern mindestens eines ein Knabe ist.

Mit geht es darum, dass du bei der Zeugung, d.h. deiner Ausnahme (*) eben kein anderes Resultat erhältst, wenn du nicht zugleich die Fragestellung veränderst. Und das tust du.

[tomS]

Hallo Pippen, das Problem ist nicht die Modellierung oder die Lösung, sondern die unpräzise Fragestellung. Deine vermuteten Antworten sind allesamt korrekt, jedoch für unterschiedliche Fragestellungen. Ohne eine Präzisierung wird das also nichts:


1)
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister eines bestimmten Kindes ein Junge ist?
Antwort: 1/2.
Begründung: Das Geschlecht des Geschwisters ist stochastisch unabhängig. Das gilt sowohl für das zunächst bestimmte Kind als auch für das Geschwister.

2)
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister eines bestimmten Kindes ein Junge ist, unter der Voraussetzung, dass dieses Kind selbst ein Junge ist?
Antwort: 1/2.
Begründung: Dito plus die Beechnung zu bedingten Wahrscheinlichkeiten.

3)
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Geschwistern mindestens eines ein Junge ist?
Antwort: 3/4.
Begründung: Von den vier Möglichkeiten (mm), (mw), (wm), (ww) mit je 1/4 fällt (ww) weg, es verbleiben 3/4.

4)
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geschwister Jungen sind.
Antwort: 1/4

5)
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geschwister Jungen sind, unter der Voraussetzung, dass mindestens eines ein Junge ist?
Antwort: 1/3
Begründung: Zunächst wie (3), es bleiben nur die Möglichkeiten (mm), (mw), (wm). Es gilt

P(mindestens ein Junge) = 3/4.

Daraus verbleibt (mm) als einer von drei gleichwahrscheinlichen Fällen. Damit folgt

P(zwei Jungen | mindestens ein Junge) = P(zwei Jungen) / P(mindestens ein Junge) = (1/4) / (3/4) = 1/3.


Die Formulierung von (2) und (5) unterscheiden sich an einer wesentlichen Stelle:

... dass das Geschwister eines bestimmten Kindes ein Junge ist, unter der Voraussetzung, dass dieses Kind selbst ein Junge ist.
... dass beide Geschwister Jungen sind, unter der Voraussetzung, dass mindestens eines ein Junge ist.

Die Formulierung von (4) unterscheidet sich dahingehend, dass keine Voraussetzung genannt wird und daher keine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet wird.


Welchen dieser Fälle du betrachtest, bleibt dir überlassen. Du musst dich jedoch sehr präzise auf einen dieser Fälle festlegen. Die Problemstellungen in diversen Rätseln sind bewusst unscharf definiert; das Problem ist dann nicht die Lösung, sondern die Präzisierung der Aufgabenstellung.

Welche der o.g. Fragestellungen (1) - (5) ist also deine Fragestellung?

[seeker]

@seeker: dein zweites Experiment stellt eine andere Frage, nämlich nach der Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Kindern mindestens eines ein Knabe ist.

Mit geht es darum, dass du bei der Zeugung, d.h. deiner Ausnahme (*) eben kein anderes Resultat erhältst, wenn du nicht zugleich die Fragestellung veränderst. Und das tust du.

Nein, ich denke, es ist dieselbe Frage. Ich glaube, der entscheidende Unterschied liegt darin, wann ich die Information "Ereignis: m" erhalte bzw. ob ich weiß, wann sie vorlag:

Erhalte ich die Information "Ereignis: m" nach den beiden Ereignissen, dann weiß ich nicht, welchem Ereignis m zuzuordnen ist.
Deshalb ist in diesem Fall P(w) für das andere Ereignis = 2/3.
Warum? Weil ich hier mit der Information nur die Kombination w/w ausschließen kann. Bleiben also w/m, m/w und m/m übrig.

Erhalte ich diese Information zwischen den beiden Ereignissen, dann erhalte ich damit eine Zusatzinformation, nämlich: 1. Ereignis = m, womit P(w) für das 2. Ereignis = 0,5
Warum? Weil ich jetzt die Kombinationen w/w und w/m ausschließen kann. Bleiben also nur m/m und m/w übrig.

Der Knackpunkt ist hier auch: Nur im Zwillingsfall gibt es prinzipiell keine Möglichkeit die Information zwischen den Ereignissen zu erhalten, weil es dann kein 'dazwischen' gibt.

Gruß
seeker

[Pippen]

Da muss man ja eigens für die Fragestellung schon eine Modellierung vornehmen^^. Ich lasse es mal dabei und mache es (vermeintlich)leichter mit etwas, was ich mal wieder beim Surfen entdeckt habe:

Ein Taxi hat einen Unfall verursacht. Es gibt in der Stadt nur 15% blaue und 85% grüne Taxis. Ein Zeuge sagt, er habe ein blaues Taxi gesehen. Der Zeuge liegt mit 80% richtig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war das Unfalltaxi blau?

Meine Lösung lautet: 15%. Der Dozent rechnet: P(Taxi blau | Zeuge blau gesehen) = P(Taxi blau UND Zeuge blau gesehen)/P(Zeuge blau gesehen) = 12% / 29% = 41%. Diese Rechnung ist für mich schon deshalb falsch, weil ja feststeht, dass der Zeuge ein blaues Taxi gesehen hat, diese Wahrscheinlichkeit also mit Eins zu bewerten wäre. Ich finde auch den Weg über die bedingte Wahrscheinlichkeit verfehlt, letztlich geht's um die Addition von P(Taxi blau und Zeuge blau gesehen) und P(Taxi blau und Zeuge grün gesehen).

[tomS]

Ein Taxi hat einen Unfall verursacht. Es gibt in der Stadt nur 15% blaue und 85% grüne Taxis. Ein Zeuge sagt, er habe ein blaues Taxi gesehen. Der Zeuge liegt mit 80% richtig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war das Unfalltaxi blau?

So, da steht also, dass der Zeuge zu 80% zuverlässig ist, sich demnach zu 20% irrt.

Diese Rechnung ist für mich schon deshalb falsch, weil ja feststeht, dass der Zeuge ein blaues Taxi gesehen hat, diese Wahrscheinlichkeit also mit Eins zu bewerten wäre.

s.o.: der Zeuge irrt zu 20%. Deine Aussage hier kann ich nicht nachvollziehen.

Ich finde auch den Weg über die bedingte Wahrscheinlichkeit verfehlt, letztlich geht's um die Addition von P(Taxi blau und Zeuge blau gesehen) und P(Taxi blau und Zeuge grün gesehen).

Keineswegs. Das wäre einfach 15%, und man hätte nicht berücksichtigt, was der Zeuge meint, gesehen zu haben.


Zunächst haben wir folgendes:
P(blau) = 15% für ein beliebig gewähltes Taxi
P(grün) = 85% für ein beliebig gewähltes Taxi
P(korrekt gesehen) = 80% für eine beliebige Beobachtung einer Taxifarbe
P(falsch gesehen) = 20% für eine beliebige Beobachtung einer Taxifarbe

Nun meint der Zeuge, er habe ein blaues Taxi gesehen. Damit liegt er in 80% aller Fälle richtig, jedoch in 20% aller Fälle falsch.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi tatsächlich blau ist, unter der Voraussetzung, dass der Zeuge meint, ein blaues gesehen zu haben: P(T ist tatsächlich blau | Z meint, es sei blau)

Gemäß der o.g. Regel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeuge meint, ein blaues Taxi gesehen zu haben. Das trifft dann zu, wenn der Zeuge korrekterweise ein blaues Taxi richtigerweise als blau erkennt, also mit 15% * 80% = 12% oder wenn der Zeuge fälschlicherweise ein grünes Taxi als blau erkennt, also mit 85% * 20% = 17%. Zusammen ergibt das eine Wahscheinlichkeit von 29%, dass der Zeuge meint, ein Taxi sei blau. Seine Irrtumswahrscheinlichkeit von 20% führt also dazu, dass er mehr Taxis als blau erkennt (29%) als tatsächlcih da sind (15%).

D.h. es gilt

P(Z meint, T sei Blau) = 29%

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Taxi blau ist und auch vom Zeugen (korrekt) als blau wahrgenommen wird. Das ergibt

P(T ist blau UND Z meint, T sei Blau) = 15% * 80% = 12%

Zuletzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi tatsächlich blau ist, unter der Voraussetzung, dass der Zeuge meint, ein blaues gesehen zu haben:

P(T ist blau | Z meint, T sei blau) = P(T ist blau UND Z meint, T sei Blau) / P(Z meint, T sei Blau) 12% / 29% = 41%

D.h. dass sich aufgrund der Zeugenaussage und der Verlässlichkeit des Zeugen nur eine Wahrscheinlichkeit von 41% ergibt, dass das Taxi (bei 15% blauer Taxis und einer Zuverlässigkeit von 80% vorausgesetzt) tatsächlich blau ist. Das ist kleiner als 50%, die Zeugenaussage ist also im Wesentlichen wertlos.


Berechne doch mal für identische Wsk's P(blau) = 15% und P(grün) = 85% diese bedingte Wahrscheinlichkeit P(q) als Funktion der Irrtumswahrscheinlichkeit q. Oben liegt q fest bei 20%. Lasse mal q von 0%, also einen 100% zuverlässigen Zeugen, über q bei 50%, d.h. einem Zeugen, der einfach nur rät, bis hin zu einem q von 100%, also einem notorischen Lügner laufen. P(q) läuft dann von 100% zu 0%. Der Wert für 41% wird für q = 20% angenommen. Du kannst aus dieser Funktion ableiten, bis zu welcher Irrtumswahrscheinlichkeit du Zeugen akzeptieren möchtest.


Man kann die Vorgehensweise anhand eines Baumdiagrammes übrigens recht gut erkennen.

w2.png (59.28 KiB) 11360 mal betrachtet

[seeker]

Ich muss noch einmal auf das hier zurück kommen, denn es verwirrt mich immer noch.
Entweder ist etwas daran falsch oder es führt in ein Paradox:

Erhalte ich die Information "Ereignis: m" nach den beiden Ereignissen, dann weiß ich nicht, welchem Ereignis m zuzuordnen ist.
Deshalb ist in diesem Fall P(w) für das andere Ereignis = 2/3.
Warum? Weil ich hier mit der Information nur die Kombination w/w ausschließen kann. Bleiben also w/m, m/w und m/m übrig.

Erhalte ich diese Information zwischen den beiden Ereignissen, dann erhalte ich damit eine Zusatzinformation, nämlich: 1. Ereignis = m, womit P(w) für das 2. Ereignis = 0,5
Warum? Weil ich jetzt die Kombinationen w/w und w/m ausschließen kann. Bleiben also nur m/m und m/w übrig.

Verflixte Wahrscheinlichkeiten...


Machen wir ein Gewinnspiel daraus:

Ich würfle mit zwei Würfelbechern mit jeweils einem Würfel darin. Beide 6-seitige Würfel haben je 3 Seiten mit "m" und je drei Seiten mit "w".
Bei einem einzelnen Wurf ist also P(w) = P(m) = 0,5.
Nach den beiden Würfen decke ich willkürlich einen der Würfel auf, indem ich den entsprechenden Würfelbecher anhebe.
Es erscheint "m".

Du kannst jetzt darauf wetten, was unter dem anderen Würfelbecher ist. Die Wettchance beträgt 1:1, d.h. wenn du z.B. 1 € einsetzt, erhälst du im Gewinnfall 2 € zurück, ansonsten verlierst du den Euro.

1. Frage:
Ist es für dich vernünftig nun auf "w" zu wetten (... und umgekehrt, wenn "w" erscheinen würde auf "m" zu wetten)?
Wirst du mit dieser Strategie bei vielen Spielen einen Gewinn einstreichen oder ist es stets egal, ob du auf "w" oder "m" setzt?

Anders gefragt:
Ist die Wahrscheinlichkeit für "w" unter dem anderen Becher im hier geschilderten Fall 2/3 oder 1/2??
Warum?

2. Frage:
Ändert sich etwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich nicht einen willkürlichen Becher zuerst aufdecke, sondern stets den 1. Becher?
Warum?
(Genau das glaube ich nämlich nicht, dass sich dadurch etwas am Spiel ändern würde und genau da hänge ich, denn welcher der "1.Becher" ist, kann hier willkürlich entschieden werden, auch von dir anders als von mir.)

3. Frage:
Änderst sich etwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich zuerst den einen Würfelbecher würfle, ihn aufdecke, du dann deine Wette machst und ich erst danach mit dem 2. Becher würfle?
(In diesem Fall bin ich sicher, dass dann P(w) = 0,5 für den 2. Wurf.)

4. Frage:
Ändert sich irgendetwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich statt zwei Würfeln einen einzigen verwende, der 4 Seiten hat und auf dessen Seiten folgendes aufgedruckt ist: "m/m", "m/w", "w/m" und "w/w", wobei ich dir nach dem Wurf willkürlich einen der beiden Buchstaben der erwürfelten Kombination verrate und du auf den anderen wetten sollst?
Warum?

5. Frage:
Änderst sich etwas bei dem Spiel mit dem 4-seitigen Würfel, wenn ich dir nach dem Wurf stets den ersten abgedruckten Buchstaben verrate und du auf den zweiten wetten sollst?
Warum?

P.S.: Ich glaube inzwischen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei allen fünf Spielen stets 0,5 ist. Man muss wohl genau analysieren, welche Informationen man erhält - und man muss wohl die Ableitungen daraus selbt wieder gewichten. Was sagt ihr?

Gruß
seeker

[Pippen]

Nun meint der Zeuge, er habe ein blaues Taxi gesehen. Damit liegt er in 80% aller Fälle richtig, jedoch in 20% aller Fälle falsch.

Hier differenziere ich: Dass der Zeuge meint, er habe ein blaues Taxi gesehen, steht fest, also P(Zeuge meint, T sei blau) = 1. Unsicher ist lediglich, ob seine Meinung, er habe ein blaues Taxi gesehen, wahr ist. Das ist aber was anderes, nämlich P(T ist blau UND Z meint, T sei blau).

Gemäß der o.g. Regel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeuge meint, ein blaues Taxi gesehen zu haben. Das trifft dann zu, wenn der Zeuge korrekterweise ein blaues Taxi richtigerweise als blau erkennt.

Genau hier unterscheiden wir uns. Wie kommst du auf die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit einer Zeugenmeinung X von X's Wahrheitswahrscheinlichkeit abhängt? Für mich ist P(B) = 1 und dann komme ich auf 15%. Kannst du jetzt meine Argumentation zumindest nachvollziehen?

[tomS]

Hier differenziere ich: Dass der Zeuge meint, er habe ein blaues Taxi gesehen, steht fest, also P(Zeuge meint, T sei blau) = 1.

Das ist irrelevant.

Unsicher ist lediglich, ob seine Meinung, er habe ein blaues Taxi gesehen, wahr ist. Das ist aber was anderes, nämlich P(T ist blau UND Z meint, T sei blau).

Ja, das ist etwas anderes, aber nicht das, was du hingeschrieben hast. P(T ist blau UND Z meint, T sei blau) ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass seine Meinung wahr ist, sondern die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi blau ist UND dass seine Meinung wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass seine Meinung wahr ist, beträgt immer 80%. Die Wahrscheinlichkeit, dass seine Meinung wahr ist, unter der Voraussetzung, dass das Taxi blau ist, ist ebenfalls 80%, denn seine Irrtumswahrscheinlichkeit hängt laut Aufgabenstellung nicht von der Farbe des Taxis ab.

Genau hier unterscheiden wir uns. Wie kommst du auf die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit einer Zeugenmeinung X von X's Wahrheitswahrscheinlichkeit abhängt?

Diese Aussage verstehe ich nicht. Kannst du sie erklären?

Für mich ist P(B) = 1 und dann komme ich auf 15%.

Was ist P(B)? Das ist unpräzise formuliert.

Kannst du jetzt meine Argumentation zumindest nachvollziehen?

Nein.

Tu doch bitte das, was ich dir oben geraten habe:

Berechne doch mal für identische Wsk's P(blau) = 15% und P(grün) = 85% diese bedingte Wahrscheinlichkeit P(q) als Funktion der Irrtumswahrscheinlichkeit q. Oben liegt q fest bei 20%. Lasse mal q von 0%, also einen 100% zuverlässigen Zeugen, über q bei 50%, d.h. einem Zeugen, der einfach nur rät, bis hin zu einem q von 100%, also einem notorischen Lügner laufen. P(q) läuft dann von 100% zu 0%. Der Wert für 41% wird für q = 20% angenommen. Du kannst aus dieser Funktion ableiten, bis zu welcher Irrtumswahrscheinlichkeit du Zeugen akzeptieren möchtest.

Nochmal: es geht nicht darum, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Taxi blau ist. Die beträgt 15%, das wissen wir. Es geht darum, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Taxi tatsächlich blau ist, wenn ein Zeuge, der sich zu 20% irren kann, dies behauptet. Dazu solltest du diese Funktion P(q) berechnen.

Nehmen wir an, der Zeuge wäre 100% zuverlässig, d.h. q = 0% (die Irrtumswahrscheinlichkeit). Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi tatsächlich blau ist, wenn ein Zeuge, der sich nie irrt, dies behauptet, 100%. Man kann die Aussage also guten Gewissens verwerten.

Nehmen wir an, der Zeuge wäre nur zu 80% zuverlässig, d.h. q = 20% (die Irrtumswahrscheinlichkeit so wie in der Aufgabenstellung). Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi tatsächlich blau ist, wenn ein Zeuge, der sich zu 20% irrt, dies behauptet, nur noch 41%. Man kann die Aussage also kaum sinnvoll verwerten.

Berechne dieses P(q) als Funktion von q unter Verwendung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten, und mach' dir die Bedeutung klar.

Und formuliere deine Aussagen bitte präzise, das ist in diesen Fällen extrem wichtig.

[Pippen]

Wir haben in den Fall folgende Aussagen:

1. Wahrscheinlichkeitsaussage zur Farbe der Taxis, d.h. konkret 85% sind grün, 15% blau -> P(blau) = 15%, P(grün) = 85%
2. Wahrscheinlichkeitsaussage zur Wahrheit der Zeugenaussage, d.h. es ist zu 80% der Fall, dass Z meint, T sei blau und T ist blau -> P(Z meint, T sei blau & T ist blau) = 80%
3. die Zeugenaussage, d.h. Z meint, T sei blau (über die sich Z gar nicht irren kann) -> P(Z meint, T sei blau) = 100%

Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit für ein blaues Taxi wissen und zwar a) unter der Bedingung von Z's Aussage (3.) und b) unter der Bedingung von Z's wahrer Aussage (2.) und c) unter der Bedignung von Z's wahrer oder falscher Aussage.

a) P(T ist blau | Z meint, T sei blau) = 15% * 100% / 100% = 15%.

b) P(T ist blau | Z meint, T sei blau und T ist blau) = 15% * 80% / 80% = 15%.

c) P(T ist blau | Z meint , T sei blau und T ist blau oder grün) = ??? Hier müsste jetzt deine Lösung kommen, oder?

[tomS]

Hallo Pippen, es wäre hilfreich, wenn du mal versuchen würdest, die korrekte Argumentation nachzuvollziehen und nicht jedesmal die selben Fehler wieder aufzuschreiben

1. Wahrscheinlichkeitsaussage zur Farbe der Taxis, d.h. konkret 85% sind grün, 15% blau -> P(blau) = 15%, P(grün) = 85%

Richtig.

2. Wahrscheinlichkeitsaussage zur Wahrheit der Zeugenaussage, d.h. es ist zu 80% der Fall, dass Z meint, T sei blau und T ist blau -> P(Z meint, T sei blau & T ist blau) = 80%

Falsch!

80% ist die Wsk., dass Z richtig liegt: P(Z sagt die richtige Farbe) = 80%
Oder: P(Z sagt "Blau" | Z ist Blau) = P(Z sagt "Grün" | T ist Grün) = 80%
80% ist nicht die Wsk., dass Z mit Blau richtig liegt UND dass T blau ist: P(Z meint, T sei blau UND T ist blau) = 80% * 15%.

Sorry, aber du hast das ganz grundsätzlich nicht verstanden.

3. die Zeugenaussage, d.h. Z meint, T sei blau (über die sich Z gar nicht irren kann) -> P(Z meint, T sei blau) = 100%

Irrelevant.

Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit für ein blaues Taxi wissen und zwar a) unter der Bedingung von Z's Aussage (3.) und b) unter der Bedingung von Z's wahrer Aussage (2.) und c) unter der Bedignung von Z's wahrer oder falscher Aussage.

a) P(T ist blau | Z meint, T sei blau) = 15% * 100% / 100% = 15%.

b) P(T ist blau | Z meint, T sei blau und T ist blau) = 15% * 80% / 80% = 15%.

c) P(T ist blau | Z meint , T sei blau und T ist blau oder grün) = ??? Hier müsste jetzt deine Lösung kommen, oder?

Ich weiß nicht, das du da rechnest. Deine Formulierung ist unklar.

Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Taxi blau ist, unter der Voraussetzung, dass der Zeuge meint, es sei Blau (wobei sich der Zeuge in 20% aller Fälle irrt).

Meine korrekte Rechnung steht oben. Eine Graphik gibt's auch. Versuch's zu verstehen, frag dazu nach, oder lass es. Alles andere ist Zeitversachwendung.

[Pippen]

80% ist die Wsk., dass Z richtig liegt: P(Z sagt die richtige Farbe) = 80%

Und wann liegt Z richtig? Doch genau, wenn er zB "blau" meint UND blau der Fall ist. Daher finde ich P(Z sagt die richtige Farbe) = P(Taxi ist x und Z meint, Taxi ist x) = 80%.