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Des König's Geschwister

Mathematische Fragestellungen
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2016, 15:56

Pippen hat geschrieben: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar (mm, mw, wm, ww) beträgt 25%. Hier wird wir uns wahrscheinlich alle noch einig.
Eben leider nicht einig. Wieso sollten neue Kinder gezeugt werden, wenn bereits ein Thronfolger vorhanden ist?
Es werden viel eher neue Kinder gezeugt, wenn bisher nur Töchter zur Welt gebracht wurden ^^

Annahme:
Die Königin wirft so lange neuen Nachwuchs, bis ein männlicher Nachkomme für die Thronnachfolge produziert wurde.
Im Falle von "Erstgeborener ist männlich" wird kein weiterer Nachwuchs hergestellt.

Die Wahrscheinlichkeiten im Überblick:
m: 1/2
m-w: 0
w-m: 1/2*1/2=1/4
w-w-m: 1/8
usw
Die Fragestellung schränkt die Auswahl auf 1 König und 1 Geschwister ein. Da gibt es dann letztlich dem obigen Graphen nach nur noch eine Kombination. Die Antwort lautet: 100% Chance dass es eine Schwester ist.

<br>
tomS hat geschrieben: 5)
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geschwister Jungen sind, unter der Voraussetzung, dass mindestens eines ein Junge ist?
Antwort: 1/3
Begründung: Zunächst wie (3), es bleiben nur die Möglichkeiten (mm), (mw), (wm). Es gilt

P(mindestens ein Junge) = 3/4.

Daraus verbleibt (mm) als einer von drei gleichwahrscheinlichen Fällen. Damit folgt

P(zwei Jungen | mindestens ein Junge) = P(zwei Jungen) / P(mindestens ein Junge) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
Ist übrigens ein Trugschluss. Haben sowohl wir als auch andere Foren zu Genüge durch diskutiert.
Gerade vermehrt logisch befähigte Menschen vergessen die Rückkopplung der Geschlechterwahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeit diese Fragestellung zu erhalten.

Die Fragestellung ist nur Teilmenge der möglichen Fragestellungen. Es gibt 8 Fälle:
Fragestellungm mm | Fragestellungm mw | Fragestellungm wm | Fragestellungm ww
Fragestellungw mm | Fragestellungw mw | Fragestellungw wm | Fragestellungw ww
Die Präselektion der Geschwisterkombinationen mw und wm schränkt die Wahrscheinlichkeit der Fragestellungm bei diesen auf 50% ein.
Daher hat man letztlich folgende Wahrscheinlichkeiten Fragestellungm oder Fragestellungw zu erhalten:
mm: Fragestellung1 100% | Fragestellung2 0%
mw: Fragestellung1 50% | Fragestellung2 50%
wm: Fragestellung1 50% | Fragestellung2 50%
ww: Fragestellung1 0% | Fragestellung2 100%

Durch die Fragestellung erkennt man die Präselektion. Die Wahrscheinlichkeit bei mm die komplementäre Fragestellung zu erhalten ist 0%.
Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit von mm doppelt so hoch wie die von mw oder wm.
Daher:
P(Fm mm)=2/8
P(Fm mw)=1/8
P(Fm wm)=1/8
P(Fw mm)=1/8
P(Fw mw)=1/8
P(Fw ww)=2/8
Die Fragestellung schränkt es auf die drei Fälle (Fm mm), (Fm mw) und (Fm wm) ein. Es ist also P(Fm mm)= 2/4.
Zuletzt geändert von Skeltek am 18. Apr 2016, 18:33, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 18. Apr 2016, 17:06

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:80% ist die Wsk., dass Z richtig liegt: P(Z sagt die richtige Farbe) = 80%
Und wann liegt Z richtig? Doch genau, wenn er zB "blau" meint UND blau der Fall ist. Daher finde ich P(Z sagt die richtige Farbe) = P(Taxi ist x und Z meint, Taxi ist x) = 80%.
Du musst deine Aussagen präzisieren.

Z liegt richtig, wenn er "Blau" meint, unter der Voraussetzung, dass blau der Fall ist. Das trifft in diesem Beispiel zu 80% zu. Das kannst du abkürzen mit

P(Z sagt die richtige Farbe) = P(Z sagt "blau" | blau liegt vor) = P(Z sagt "grün" | grün liegt vor) = 80%.

Deine Aussage, Z liege richtig, wenn er z.B. "blau" meint UND blau der Fall ist ist falsch. Ein "UND" bedeutet immer die Multiplikation zweier Wahrscheinlichkeiten, also Schnittmengenbildung. Hier wäre das

P(Taxi ist blau UND Z meint, Taxi sei blau) = 15% * 80%.

Sorry, aber solange du diese sprachlichen Regeln nicht beachtest, wirst du immer in die Falle tappen und den Witz der Aufgabe nicht verstehen.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Pippen » 18. Apr 2016, 18:13

Also ich weiß nicht. Sprachlich liegt Z richtig, wenn er "blau" meint, unter der Voraussetzung, dass "blau" der Fall ist, aber auch wenn er "blau" meint und "blau" der Fall ist. Da sind wir uns doch einig, oder? Warum sollte ich aber zur Wahrscheinlichkeitsberechnung deine erste Variante benutzen und nicht meine?

In der Praxis hätten wir idR Datenmaterial und kämen - mal angenommen - aufgrund einer statistischen Auswertung auf 41%. Diese Datenbasis wäre dann das Richtschwert und das Argument für dein Vorgehen, aber so ist das doch alles ziemlich willkürlich, oder? Wenn zB das Datenmaterial eher in Richtung 15% "blaues Taxi" ginge, dann wäre deine Vorgehensweise insoweit falsch und meine eher richtig. Da wir kein Datenmaterial haben - wer entscheidet jetzt, welches Vorgehen bei der Modellierung richtig und welches falsch ist? Oder übersehe ich da was Grundlegendes?

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 18. Apr 2016, 22:51

Pippen hat geschrieben:Sprachlich liegt Z richtig, wenn er "blau" meint, unter der Voraussetzung, dass "blau" der Fall ist, aber auch wenn er "blau" meint und "blau" der Fall ist. Da sind wir uns doch einig, oder?
Ich weiß, was du meinst. Aber wenn du Vorlesungen, Skripte, Übungen oder Diskussionen mitverfolgen willst, dann musst du dir bewusst machen, dass zwischen dem UND und dem unter der Voraussetzung, dass ... ein himmelweiter Unterschied besteht.
Pippen hat geschrieben:Warum sollte ich aber zur Wahrscheinlichkeitsberechnung deine erste Variante benutzen und nicht meine?
Um den Sprachgebrauch der Mathematiker zu verwenden und Missverständnisse zu vermeiden.

[quote="Pippen]In der Praxis hätten wir idR Datenmaterial und kämen - mal angenommen - aufgrund einer statistischen Auswertung auf 41%. Diese Datenbasis wäre dann das Richtschwert und das Argument für dein Vorgehen, aber so ist das doch alles ziemlich willkürlich, oder?[/quote]
Nee, das ist überhaupt nicht willkürlich.

Nimm' an, zwei Zeugen belasten in einem Mordfall zwei Taxifahrer, einen mit einem blauen bzw. einen mit einem grünen Taxi. Der Schuldspruch hängt maßgeblich von der Verlässlichkeit der Zeugen ab. Um diese zu überprüfen zeigt man ihnen in verschiedenen Situationen Taxis unterschiedlicher Farbe und ermittelt so ihre Zuverlässigkeit (im vorliegenden Fall 80%). Zuletzt bewertet man die beiden Wahrscheinlichkeiten P(T ist blau | Z meint es sei blau) sowie analog für grün. Nun kann die Anklage man damit nicht unbedingt eine stichhaltige Indizienkette konstruieren, aber evtl. kann die Verteidung nachweisen, dass der Zeuge zu wenig zuverlässig ist, um seine Aussage mit einbeziehen zu dürfen.
Pippen hat geschrieben:Oder übersehe ich da was Grundlegendes?
Vermutlich.

Schau dir nochmal meine Skizze an.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von seeker » 19. Apr 2016, 09:17

Ich will erst das Rätsel mit dem König knacken, bevor ich mich mit neuen Problemen mit Zeugen mit 80% Zuverlässigkeit, etc. beschäftige, denn ich liebe Rätsel. :wink:
Skeltek hat geschrieben:Die Fragestellung schränkt es auf die drei Fälle (Fm mm), (Fm mw) und (Fm wm) ein. Es ist also P(Fm mm)= 2/4.
Genau! Zunächst... Aber dann doch nicht... :wink: (Warte ab, was weiter unten noch kommt! :D )

Zunächst einmal ist mir folgendes klar geworden:
seeker hat geschrieben:Erhalte ich die Information "Ereignis: m" nach den beiden Ereignissen, dann weiß ich nicht, welchem Ereignis m zuzuordnen ist.
Deshalb ist in diesem Fall P(w) für das andere Ereignis = 2/3.
Warum? Weil ich hier mit der Information nur die Kombination w/w ausschließen kann. Bleiben also w/m, m/w und m/m übrig.
Das ist falsch! Auch hier beträgt P(w) = 0,5!

Es ist nämlich so, wenn man sich den Ereignisbaum anschaut:

...................m
......m - 2. <
...................w

1.<

...................m
......w - 2. <
...................w

Mögliche Kombinationen: m/m, w/m, m/w, m/m

Wenn ich nun die Information "m ist eingetreten" erhalte, dann kann ich w/w zu 100% ausschließen.
Ich kann mit dieser Information (und das ist der Knackpunkt) aber auch w/m und m/w zu 50% ausschließen, während ich m/m damit nur zu 0% ausschließen kann!
Denn die Information "m" spricht nicht gegen das Ergebnis "m/m", wohl aber weiß ich, dass zu je 50% Wahrscheinlichkeit entweder 1. Ereignis = m -> w/m = zu 0% richtig oder 2. Ereignis = m ->m/w zu 0% richtig.
Während bezüglich m/m unabhängig davon, welches Ereignis "m" produziert hat eine solche Aussage nicht getroffen werden kann.
Anders: m/m ist eigentlich m(1)/m(2) plus m(2)/m(1)

D.h., nach der Information "m" ergibt sich:

P(m/w) = 0,25
P(w/m) = 0,25
P(m/m) = 0,5

Daraus folgt, dass auf dieses Problem hier...
Ich würfle mit zwei Würfelbechern mit jeweils einem Würfel darin. Beide 6-seitige Würfel haben je 3 Seiten mit "m" und je drei Seiten mit "w". Bei einem einzelnen Wurf ist also P(w) = P(m) = 0,5.
Nach den beiden Würfen decke ich willkürlich einen der Würfel auf, indem ich den entsprechenden Würfelbecher anhebe.
Es erscheint "m". Wie hoch ist für dich die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel unter dem anderen Würfelbecher "w" anzeigt?
... die einzig richtige Antwort lautet:
P(w) = 0,5 !

Und das ist auch unabhängig davon, ob du weißt oder nicht weißt, welchen Würfelbecher ich aufgedeckt habe (der 1. oder der 2.)!
Überraschenderweise bringt die Zusatz-Information "m aus welchem Wurf" keine Veränderung der Wahrscheinlichkeiten.
(Bei näherem Betrachten ist das nicht überraschend, sondern muss so sein, denn die beiden Würfe sind ja stochastisch unabhängig.)

Nochmal anders:
Wenn "m" der erste Wurf war, dann sind die blau markierten Ereignisse der zweiten Eben relevant/gefragt und es ergibt sich P(w) = 0,5
Wenn "m" der zweite Wurf war, dann sind die rot markierten Ereignisse der ersten Ebene relevant uns es ergibt sich ebenfalls P(w) = 0,5
Im Fall hier müssen die Möglichkeiten bekanntes Ereignis m = 1. Wurf und m = 2. Wurf als gleich-wahrscheinlich angesehen werden, schon deshalb, weil die Festlegung, was 1. und was 2. Wurf ist, willkürlich ist.
Daraus folgt insgesamt: P(w) = 0,5



So, jetzt nochmals zum eigentlichen Rätsel:
Pippen hat geschrieben:Ein König hat ein Geschwister. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist, wenn wir davon ausgehen, dass grundsätzlich P(männlich) = P(weiblich) = 0,5.
Hier existiert etwas Zusätzliches, das bisher übersehen wurde.
Es ist nämlich so, dass immer der erstgeborene Sohn König wird! D.h.: Wenn nicht 1. Geburt = Bruder vom König, dann König = König!
(Wenn eine Schwester Erstgeborene ist, dann ist das egal, er wird dann trotzdem König.)

Wenn wir mit dieser Information plus der Information "Ereignis: m" den Ereignisbaum nochmal anschauen, sehen wir, dass unser König nur an den rot markierten Stellen zu finden sein kann, während sich die möglichen Geschwister an den blau markierten Stellen befinden:

...................m
......m - 2. <
...................w

1.<

...................m
......w - 2. <
...................w

Blau sind: 2x w und 1x m.
Daraus folgt: P(w) = 2/3!

Auch deshalb, weil jetzt die Wahrscheinlichkeit von m/m nicht mehr doppelt so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeiten m/w und w/m,
weil wir m/m nun in m(k)/m(b) und m(b)/m(k) aufdröseln müssen, wobei m(b)/m(k) ausgeschlossen ist.
D.h.: P(m(k)/m(b)) = P(m(k)/w) = P(w/m(k)) = 1/3

Also:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister des Königs eine Schwester ist, beträgt 2/3!

P.S.:
Ich sehe inzwischen, dass P(w) = 2/3 für diesen letzten Fall falsch sein muss, denn:

Entweder ist das bekannte Ereignis "m" auf der ersten oder der zweiten Ebene zu finden.
Wenn m auf der 2. Ebene aufgetaucht ist, dann ist P(w) = 1 (sonst wär der König nicht König, sondern sein Bruder)
Wenn m auf der 1. Ebene aufgetaucht ist, dann ist P(w) = 0,5
Jetzt ist die große Frage, ob hier die Wahrscheinlichkeit für das Auftauchen von m auf der ersten und auf der zweiten Ebene gleich-wahrscheinlich ist. Falls ja (und das muss eigentlich so sein, weil die Angabe der Aufgabenstellung "König existiert" keine Schlussfolgerungen dahingehend zulässt), ergibt sich dann nämlich:

P(w) = 0,75

P.P.S.:
Skeltek hat geschrieben:Eben leider nicht einig. Wieso sollten neue Kinder gezeugt werden, wenn bereits ein Thronfolger vorhanden ist?
Es werden viel eher neue Kinder gezeugt, wenn bisher nur Töchter zur Welt gebracht wurden ^^

Annahme:
Die Königin wirft so lange neuen Nachwuchs, bis ein männlicher Nachkomme für die Thronnachfolge produziert wurde.
Im Falle von "Erstgeborener ist männlich" wird kein weiterer Nachwuchs hergestellt.
Das ist auch immer wieder ein Streitpunkt...

Nein, ich denke, diese Überlegungen darfst du eher nicht einfließen lassen, weil du das ganz einfach aus der Aufgabenstellung heraus nicht sicher genug wissen kannst. Geschichtlich gesehen wurden ja von den Monarchen i.d.R. munter immer weitere Kinder gezeugt, auch wenn schon ein Tronfolger da war. Die durchschnittliche Erhöhung der Anstrengungen beim Kinderzeugen nachdem das erste Kind eine Tochter geworden ist, werden daher wohl nur marginal gewesen sein.

Umgekehrt ist aber geschichtlich abgesichert, dass fast immer der Erstgeborene Sohn König wurde (schätzungsweise zu über 99%, das war ganz einfach Gesetz, das Recht des Erstgeborenen).
Daher denke ich, dass man diese Überlegung wiederum mit gutem Gewissen einfließen lassen darf, eigentlich sogar muss.


Grüße
seeker
Grüße
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Pippen » 19. Apr 2016, 14:20

@tomS: Nach Durchsicht deiner Skizze verstehe ich es nun. Falls jemand noch ein interessantes Wahrscheinlichkeitsrätsel kennt (möglichst einfach, so wie die Bsp. hier), immer her damit.

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 19. Apr 2016, 15:06

Man könnte das Rätsel dahingehend erweitern, dass man zwei Zeugen hat, wovon einer meint, ein blaues Taxi gesehen zu haben und dadurch einen Taxifahrer belastet, während der andere meint, ein grünes Taxi gesehen zu haben und dadurch einen anderen Taxifahrer belastet.

Nun kann man die Zuverlässigkeit (im obgen Bsp. die 80%) Prozent sowie die Häufigkeit (15% bzw. 85%) so anpassen, dass folgender Fall eintritt:

1) Zeuge A ist zuverlässiger als Zeuge B.
2) Die Wahrscheinlichkeit, dass Taxi A blau ist, unter der Voraussetzung, dass Zeuge A blau wahrgenommen hat, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass Taxi B grün ist, unter der Voraussetzung, dass Zeuge B grün wahrgenommen hat.

Betrachtet man dann alleine die Zuverlässigkeit der Zeugenaussagen (1) von A bzw. B, sollte man A glauben. Betrachtet man jedoch die Zuverlässigkeit der Vorhersage insgs. (2), so sollte man B glauben.

Was rät der Mathematiker dem Richter?


Zahlenbeispiel: wir haben (wie oben) die Wahrscheinlichkeiten 15% bzw. 85% für blaue bzw. grüne Taxis. Außerdem habe der Zeuge, der das blaue Taxi gesehen haben will, (wie oben) eine Zuverlässigkeit von 80% (eine Unzuverlässigkeit von 20%). D.h. unter der Voraussetzung, dass dieser Zeuge behauptet, ein blaues Taxi gesehen zu haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses tatsächlich blau ist, ca. 41%. Der Zeuge, der das grüne Taxi gesehen haben will, habe dagegen lediglich eine Zuverlässigkeit von 50%; dies entspricht exakt zufälligem Raten mit einer Erfolgsquote von 50%. Unter der Voraussetzung, dass dieser Zeuge behauptet, ein grünes Taxi gesehen zu haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses tatsächlich grün ist, ca. 85%!! Der zweite Zeuge ist letztlich völlig unzuverlässig, d.h. kein vernünftiger Richter würde ihm vertrauen (wie gesagt, pures Raten). Dennoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine (eigtl. unzuverlässige) Vorhersage eines grünen Taxis zutrifft, deutlich höher als die Vorhersage des zuverlässigeren Zeugen eines blauen Taxis. Die Ursache ist natürlich, dass es insgs. deutlich mehr grüne als blaue Taxis gibt; der Erfolg des zweiten Zeugen liegt ausschließlich darin begründet.

Was soll der Richter nun tun? Soll er dem (in neutralen Exerimenten nachweislich!) vergleichsweise zuverlässigen Zeugen glauben? Wohlwissend, dass dessen Aussage eine geringere Wahrscheinlichkeit hat, korrekt zu sein? Oder soll er (was eigtl. abwegig ist) dem nachweislich unzuverlässigerem Zeugen glauben, weil er weiß, dass dessen Aussage häufiger zutrifft?

Ich denke, der Richter muss neutral sein und darf die Zuverlässigkeit der Zeugen nicht an der Häufigkeit der Taxifarben ausrichten. Andersherum: Er muss bzw. darf den beiden Zeugen gerade soviel Vertrauen schenken, wie er es für richtig halten würde, wenn die Rollen der Zeugen vertauscht werden. Er muss also den ersten Zeugen als vergleichsweise zuverlässig einstufen und den zweiten letztlich ablehnen. Trotzdem darf er anschließend die Aussage des zweiten Zeugen nicht stark gewichten, was jedoch nicht dem Zeugen anzulasten ist, sondern der Häufigkeit der Taxifarben.

Im obigen Zahlenbesipiel mit 15% zw. 80% müsste die Irrtunmswahrscheinlichkeit des ersten Zeugen übrigens auf ca. 3% sinken, bis er eine vergleichbar gute Quote aufweist wie der ausschießlich ratende zweite Zeuge.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Job » 19. Apr 2016, 20:02

seeker hat geschrieben: Machen wir ein Gewinnspiel daraus:

Ich würfle mit zwei Würfelbechern mit jeweils einem Würfel darin. Beide 6-seitige Würfel haben je 3 Seiten mit "m" und je drei Seiten mit "w".
Bei einem einzelnen Wurf ist also P(w) = P(m) = 0,5.
Nach den beiden Würfen decke ich willkürlich einen der Würfel auf, indem ich den entsprechenden Würfelbecher anhebe.
Es erscheint "m".

Du kannst jetzt darauf wetten, was unter dem anderen Würfelbecher ist. Die Wettchance beträgt 1:1, d.h. wenn du z.B. 1 € einsetzt, erhälst du im Gewinnfall 2 € zurück, ansonsten verlierst du den Euro.

Deine Fragen kann man relativ gut beantworten, wenn man den Sachverhalt so modelliert, wie es die Mathematik vorsieht. Ich komme dann zu folgenden Ergebnissen:

In Deinem Fall sieht der W-Raum so aus:

Ergebnismenge = I (m,m), (m,w), (w,m), (w,w) I
Ereignismenge ist die Potenzmenge der Ergebnismenge
Wahrscheinlichkeitsmaß ist eindeutig definiert durch P(I(m,mI) = … = P(I(w,w)I) = 1/4

( Die I sollen Mengenklammern sein)

Nun zu Deinen Fragen
seeker hat geschrieben:1. Frage:
Ist es für dich vernünftig nun auf "w" zu wetten (... und umgekehrt, wenn "w" erscheinen würde auf "m" zu wetten)?
Wirst du mit dieser Strategie bei vielen Spielen einen Gewinn einstreichen oder ist es stets egal, ob du auf "w" oder "m" setzt?

Anders gefragt:
Ist die Wahrscheinlichkeit für "w" unter dem anderen Becher im hier geschilderten Fall 2/3 oder 1/2??
Warum?
Die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall ist P(AIB) = P(A^B)/P(B) = P(A)/P(B) = 1/2 / 3/4 = 2/3

wobei A = I (m,w), (w,m) I und B = I (m,m), (m,w), (w,m) I

A = Es ist ein Pärchen
B = Mindestens einer ist männlich
seeker hat geschrieben:2. Frage:
Ändert sich etwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich nicht einen willkürlichen Becher zuerst aufdecke, sondern stets den 1. Becher?
Warum?
(Genau das glaube ich nämlich nicht, dass sich dadurch etwas am Spiel ändern würde und genau da hänge ich, denn welcher der "1.Becher" ist, kann hier willkürlich entschieden werden, auch von dir anders als von mir.)
Wenn der erste Becher tatsächlich auch den ersten Wurf repräsentiert, ja, sonst nicht. In ersteren Fall gilt:

P(AIB) = P(A^B)/P(B) = 1/4 / 1/2 = 1/2

wobei A = I (m,w), (w,w) I und B = I (m,m), (m,w),I

A = Der Zweitgeborene ist weiblich
B = Der Erstgeborene ist männlich
seeker hat geschrieben:3. Frage:
Änderst sich etwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich zuerst den einen Würfelbecher würfle, ihn aufdecke, du dann deine Wette machst und ich erst danach mit dem 2. Becher würfle?
(In diesem Fall bin ich sicher, dass dann P(w) = 0,5 für den 2. Wurf.)
Dieser Fall ist im Wesentlichen identisch mit 2. (ich kenne das Ergebnis des ersten Wurfes.)
seeker hat geschrieben:4. Frage:
Ändert sich irgendetwas an den Wahrscheinlichkeiten, wenn ich statt zwei Würfeln einen einzigen verwende, der 4 Seiten hat und auf dessen Seiten folgendes aufgedruckt ist: "m/m", "m/w", "w/m" und "w/w", wobei ich dir nach dem Wurf willkürlich einen der beiden Buchstaben der erwürfelten Kombination verrate und du auf den anderen wetten sollst?
Warum?
Willkürlichkeit kann man mathematisch nicht abbilden. Du müsstest dann schon genauer werden, wie Du Deine Auswahl triffst.
seeker hat geschrieben:5. Frage:
Änderst sich etwas bei dem Spiel mit dem 4-seitigen Würfel, wenn ich dir nach dem Wurf stets den ersten abgedruckten Buchstaben verrate und du auf den zweiten wetten sollst?
Warum?
Dieser Fall ist identisch mit 2.


Viele Grüße
Job
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von seeker » 19. Apr 2016, 23:09

Vielen Dank für die Antwort Job!

Aber irgendwie lässt meine Verwirrung nicht nach, manches erscheint mir immer noch paradox....

Also, um das Schritt für Schritt nachzuvollziehen:

Bei deiner Antwort zu Frage 1. antwortest du:
Job hat geschrieben:Die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall ist P(AIB) = P(A^B)/P(B) = P(A)/P(B) = 1/2 / 3/4 = 2/3

wobei A = I (m,w), (w,m) I und B = I (m,m), (m,w), (w,m) I

A = Es ist ein Pärchen
B = Mindestens einer ist männlich
Du arbeitest mit bedingten Wahrscheinlichkeiten:
P(A|B) = die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Falls "Es ist ein Pärchen" unter der Bedingung, dass das Eintreten von "Mindestens einer ist männlich" bereits bekannt ist.
Wenn ich es recht verstehe, setzt du aber hier schon voraus, dass wir es mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun hätten.
Tatsächlich scheint es mir aber, dass wir hier eine unbedigte Wahrscheinlichkeit vorliegen haben (und womit -glaube ich- stattdessen gelten würde: P(A|B) = P(A)), da die Ergebnisse der beiden Würfe voneinander stochastisch unabhängig sind, womit deine Modellierung evtl. gar nicht passt?

Nochmals mein Versuch der Beweisführung, bei Frage 1:
Machen wir ein Gewinnspiel daraus:

Ich würfle mit zwei Würfelbechern mit jeweils einem Würfel darin. Beide 6-seitige Würfel haben je 3 Seiten mit "m" und je drei Seiten mit "w".
Bei einem einzelnen Wurf ist also P(w) = P(m) = 0,5.
Nach den beiden Würfen decke ich willkürlich* einen der Würfel auf, indem ich den entsprechenden Würfelbecher anhebe.
Es erscheint "m".

(*: ...oder auch zufällig mit 1:1-Chance. Wichtig ist mir, dass du nicht weißt, welchen Becher aus welchem Wurf ich anhebe.)

Du kannst jetzt darauf wetten, was unter dem anderen Würfelbecher ist. Die Wettchance beträgt 1:1, d.h. wenn du z.B. 1 € einsetzt, erhälst du im Gewinnfall 2 € zurück, ansonsten verlierst du den Euro.

1. Frage:
Ist es für dich vernünftig nun auf "w" zu wetten (... und umgekehrt, wenn "w" erscheinen würde auf "m" zu wetten)?
Wirst du mit dieser Strategie bei vielen Spielen einen Gewinn einstreichen oder ist es stets egal, ob du auf "w" oder "m" setzt?

Anders gefragt:
Ist die Wahrscheinlichkeit für "w" unter dem anderen Becher im hier geschilderten Fall 2/3 oder 1/2??

Ereignisbaum:

.......................m
.........m - 2. <
.......................w

1.<

.......................m
.........w - 2. <
.......................w


Es ist unbekannt, ob das aufgedeckte Ereignis "m" aus dem ersten oder dem zweiten Wurf stammt, bekannt ist aber, dass es entweder aus dem ersten oder dem zweiten Wurf stammen muss und dass das Ergebnis eines einzelnen Wurfs stets nur ein einzelner Buchstabe entweder 'm' oder 'w' sein kann.
Es gibt also genau zwei mögliche Fälle:

Fall a:
Wenn das bekanntgegebene "m" aus dem ersten Wurf stammt, dann sind nur die blau markierten Ereignisse der zweiten Ebene relevant/gefragt/nur möglich und es ergibt sich P(w) = 0,5, weil die Wahrscheinlichkeit für 'w' im 2. Wurf dann 0,5 betrug, weil nur noch ein 'w' und ein 'm' übrig/möglich ist. (Aus 1. Wurf = m folgt m/w oder m/m und sonst nichts: w/m und w/w sind dann ausgeschlossen.)

Fall b:
Wenn das bekanntgegebene "m" aus dem zweiten Wurf stammt, dann sind nur die rot markierten Ereignisse der ersten Ebene relevant/gefragt/nur möglich und es ergibt sich ebenfalls P(w) = 0,5 weil die Wahrscheinlichkeit für 'w' dann im 1. Wurf eben 0,5 betrug.
(Aus 2. Wurf = m folgt w/m oder m/m und sonst nichts: m/w und w/w sind dann ausgeschlossen.)

Im Szenario hier müssen die Möglichkeiten "genanntes Ereignis 'm' stammt aus 1. Wurf" und "genanntes Ereignis 'm' stammt aus 2. Wurf" bei der gegebenen Unkenntnis als gleich-wahrscheinlich angesehen werden, schon deshalb, weil die Festlegung, was 1. und was 2. Wurf ist, willkürlich ist und auch nicht unbedingt nach der zeitlichen Abfolge der Würfe erfolgen muss. (... und wenn sie nicht gleich-wahrscheinlich wären, würde es hier auch nichts ändern.)

Daraus folgt aus den beiden Fällen insgesamt dann ebenfalls: P(w) = 0,5 für den anderen, nicht bekannt gegebenen Wurf.
...und nicht 2/3
Also ist es für den Spieler stets egal, ob er auf w oder auf m wettet.

Ich finde darin keinen Fehler mehr. Gibt es einen?
Job hat geschrieben:Willkürlichkeit kann man mathematisch nicht abbilden. Du müsstest dann schon genauer werden, wie Du Deine Auswahl triffst.
Ok. Dann soll zufällig-gleichverteilt gewählt werden, welcher Buchstabe verraten wird, z.B. durch den (nur für dich) verdeckten Wurf einer Münze.

Beste Grüße
seeker
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Job » 20. Apr 2016, 17:22

seeker hat geschrieben: Aber irgendwie lässt meine Verwirrung nicht nach, manches erscheint mir immer noch paradox....


Nun, da bist Du nicht alleine. Grundsätzlich besteht die Schwierigkeit zum einen darin, den „richtigen“ Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren und zum anderen dann die „richtigen“ Ereignisse darin zu finden, die der vorgegebenen Fragestellung entsprechen. Beides kann selbst in vermeintlich einfachen Fällen sehr subtil und damit fehleranfällig sein. Man übersieht dabei gerne etwas, meistens weil die Intuition einem einen Streich spielt oder man vorschnell urteilt.

Beim der Wahl des Wahrscheinlichkeitsraum, der in diesem Fall vorliegt sind wir uns wohl einig. Aber auch hier kann es „verstörende“ Dinge geben. Wenn Dich das interessiert schau mal in Wikipedia unter dem Stichwort Bertrand-Paradoxon.

Ich hatte Dein Beispiel zunächst nur flüchtig gelesen und war der Meinung, dass es dem Beispiel von Pippen entspricht. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit 2/3. Dein Beispiel ist aber tatsächlich anders.

Der Unterschied (bezogen auf Dein Beispiel) besteht darin, dass bei Pippen die Aussage "mindestens 1 ist ein m" so zustande kommt, als ob Du unter beide Becher geschaut hättest und dann erst die Aussage „Es ist ein m vorhanden“ gemacht hättest. Bei Deinem Beispiel schaust Du nur unter einen Becher. Für ersteres ist die Wahrscheinlichkeit, ein m zu finden 3/4, für Deinen Fall 1/2.
Daher hast Du völlig recht, wenn Du sagst, in Deinem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen 1/2.

Viele Grüße
Job
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Pippen » 20. Apr 2016, 18:56

Ein kleiner Einschub, eigentlich offtopic, aber mal schnell hier verwurstet: Wir werfen eine Münze n-mal. Die Wahrscheinlichkeit für durchgängigen Kopf beträgt 1/2n. Wegen Peano 2 gilt: n € IN -> n+1 € IN, d.h. wir könnten immer noch einmal werfen. Haben wir damit die Unendlichkeit nicht bereits eingefangen? Wozu bräuchte man das "gegen unendlich" noch, was hier zur Wahrscheinlichkeit P(all Kopf) = lim 1/2n = 0 führen wirde (und damit kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmodell mehr wäre).

Was ist der Unterschied zwischen n-mal und unendlich-mal? Ist das formal erklärbar?

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 21. Apr 2016, 02:00

jetzt verwechselst du was; problematisch war immer nur die Gleichverteilung auf einer unendlichen Grundmenge; in deinem Fall ist die Grundmenge jedoch endlich, nämlich {Kopf, Zahl}
Gruß
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2016, 05:50

@Seeker:
Du wirfst zwei Münzen und kennst das Ergebniss.
Ich bitte dich die folgenden Sätze zu vervollständigen (zur Not sogar Wahrheitsgemäß):
Mindestens eine Münze liegt auf [X:= Kopf|Zahl].
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide auf X liegen?

Man hat hier eine Vorauswahl der Fragestellung. Derjenige, welcher die Frage beantwortet, muss zwangsläufig berücksichtigen in welchem der möglichen Zweige er sich befindet. Die Angabe, "m oder w" bzw "K oder Z" mit je 50% Chance muss auch auf die Wahrscheinlichkeit der Frage ausgeweitet werden.

@tomS: Die sind immer noch bei dem Geschwister-Problem glaube ich, nur mit Münzen neu / ähnlich formuliert.

Eine Gleichverteilung von (m,m), (m,w) und (w,m) anzunehmen ist ziemlich naiv, wie folgendes Beispiel vielleicht auch zeigt:
Ich wähle eine Zahl aus der Menge M={1,2,3} von welcher Seeker dann raten muss,ob diese gerade ist oder nicht.
Ist seiner Meinung nach die Chance auf eine gerade Zahl 1/2 oder 1/3?
Solche Dinge kommen immer heraus, wenn man die Intention des Fragestellers unberücksichtigt lässt.
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 21. Apr 2016, 06:58

Ich hatte auf Pippen geantwortet. Er hat bei Kopf oder Zahl irgendein Problem mit P(K,K,...,K) = Pn(K) = 1/2n und n gegen unendlich. Und er verwechselt das wohl mit P(n) = p für n aus N mit Gleichverteilung p; das ist jedoch etwas völlig anderes.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von seeker » 21. Apr 2016, 09:05

Ja, ich bin immer noch beim König bzw. dem daran angelehnten Würfelspiel.
Job hat geschrieben:Daher hast Du völlig recht, wenn Du sagst, in Deinem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen 1/2.
@Job:
Danke! :D Dann sehe ich jetzt meine Analyse des Würfelspiels bei Frage 1 als verifiziert und richtig an. (Gott sei dank... :) )
Job hat geschrieben:Nun, da bist Du nicht alleine. Grundsätzlich besteht die Schwierigkeit zum einen darin, den „richtigen“ Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren und zum anderen dann die „richtigen“ Ereignisse darin zu finden, die der vorgegebenen Fragestellung entsprechen. Beides kann selbst in vermeintlich einfachen Fällen sehr subtil und damit fehleranfällig sein. Man übersieht dabei gerne etwas, meistens weil die Intuition einem einen Streich spielt oder man vorschnell urteilt.
Ja. Und ich hatte bei dem so einfach scheinenden Königsrätsel wohl auch der Reihe nach alle Feher gemacht, die man überhaupt machen kann. :)
Das ist echt tricky - und gerade das macht es für mich so interessant. Ich bin halt so gestrickt, dass ich bei so etwas nicht nachlasse, bis es gelöst ist. Da beiße ich mich fest, wenn ich den Eindruck habe, dass es mit meinen Möglichkeiten lösbar sein sollte...
Aber es beruhigt mich ein wenig, dass selbst einem gestandenen Mathematiker bei so etwas auch einmal ein Schnitzer unterlaufen kann. :)

Also: Beim Würfel haben wir Übereinstimmung! Super! :D

Aber hierzu noch eine Nachfrage:
Job hat geschrieben:Der Unterschied (bezogen auf Dein Beispiel) besteht darin, dass bei Pippen die Aussage "mindestens 1 ist ein m" so zustande kommt, als ob Du unter beide Becher geschaut hättest und dann erst die Aussage „Es ist ein m vorhanden“ gemacht hättest. Bei Deinem Beispiel schaust Du nur unter einen Becher. Für ersteres ist die Wahrscheinlichkeit, ein m zu finden 3/4, für Deinen Fall 1/2.
Ja, ich komme beim Königsrätsel auch auf P(w) = 3/4
Aber nur mit der Prämisse, dass stets der Erstgeborene Sohn König wird/ist.
Ohne diese Prämisse komme ich auch dort auf P(w) = 0,5
(Gleiche Argumentation wie beim besprochenen Würfelspiel.)

Hast du das auch so gemeint?

(Beim Würfelspiel ist es m. E. völlig egal, ob der Würfler beide Ergebnisse kennt und erst dann dem Spieler ein Ergebnis mitteilt, so lange er zufällig eines auswählt (das er dem Spieler dann mitteilt). Das macht keinen Unterschied, was der Würfler weiß oder nicht weiß ist zunächst irrelevant, so lange er nicht lügt. Ein Unterschied ergibt sich allerdings dann, wenn der Würfler 2x würfelt, unter einem oder beiden Bechern nachschaut und nur dann, wenn er dabei mindestens ein 'm' findet, dem Spieler eine Mitteilung macht, nämlich dass eines der Ereignisse 'm' war.)

Skeltek hat geschrieben:@Seeker:
Du wirfst zwei Münzen und kennst das Ergebniss.
Ich bitte dich die folgenden Sätze zu vervollständigen (zur Not sogar Wahrheitsgemäß):
Mindestens eine Münze liegt auf [X:= Kopf|Zahl].
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide auf X liegen?
Genau das hatte ich ja zuletzt auch schon festgestellt (mein Beitrag 19. Apr 2016, 22:09):
seeker hat geschrieben:... bekannt ist aber, dass es entweder aus dem ersten oder dem zweiten Wurf stammen muss und dass das Ergebnis eines einzelnen Wurfs stets nur ein einzelner Buchstabe entweder 'm' oder 'w' sein kann.
Es gibt also genau zwei mögliche Fälle:
...
Also:
Mindestens eine Münze liegt entweder auf Kopf oder auf Zahl. Das bringt aber nicht weiter...
Daher:
Beide Münzen liegen stochastisch unabhängig voneinander entweder auf Kopf oder auf Zahl. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Kopf liegen beträgt 0,25.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Zahl liegen beträgt 0,25.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münzen unterschiedliche Ergebnisse (K/Z, Z/K) anzeigen beträgt 0,5.

Jedoch:
Da ich das Ergebnis schon kenne, macht eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung für mich auf die Gegenwart bezogen gar keinen Sinn mehr.
Alles was ich sehe hat die Wahrscheinlichkeit 100%, es ist ja schon vorbei, ist faktisch und ist (mir) bekannt.
Betrachten kann ich hier per WSK also nur, wie die Wahrscheinlichkeiten waren, bevor ich die Münzen geworfen habe.


Beste Grüße
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2016, 23:27

Pippen hat geschrieben:Ein kleiner Einschub, eigentlich offtopic, aber mal schnell hier verwurstet: Wir werfen eine Münze n-mal. Die Wahrscheinlichkeit für durchgängigen Kopf beträgt 1/2n. Wegen Peano 2 gilt: n € IN -> n+1 € IN, d.h. wir könnten immer noch einmal werfen. Haben wir damit die Unendlichkeit nicht bereits eingefangen? Wozu bräuchte man das "gegen unendlich" noch, was hier zur Wahrscheinlichkeit P(all Kopf) = lim 1/2n = 0 führen wirde (und damit kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmodell mehr wäre).

Was ist der Unterschied zwischen n-mal und unendlich-mal? Ist das formal erklärbar?
Ich denke ich verstehe was du sagen willst. Die Gleichverteilung über dem Intervall [0,1] wäre in deinem Fall der Grenzwert deiner n-maligen Würfel für n->unendlich, aber was bringt das? Das Wort unendlich gibt doch bereits vor, dass die Einteilung in immer filigranere Strukturen niemals endet also niemals fertig wird und somit kein Endstadium erreicht. Das Endstadium existiert nicht solange man nur endlich oft würfelt.
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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 23. Apr 2016, 07:55

seeker hat geschrieben: Da ich das Ergebnis schon kenne, macht eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung für mich auf die Gegenwart bezogen gar keinen Sinn mehr.
Alles was ich sehe hat die Wahrscheinlichkeit 100%, es ist ja schon vorbei, ist faktisch und ist (mir) bekannt.
Betrachten kann ich hier per WSK also nur, wie die Wahrscheinlichkeiten waren, bevor ich die Münzen geworfen habe.
Jein.

Genau dafür gibt es den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A (oder eine Menge von Ereignissen A) unter der Voraussetzung, dass B tatsächlich stattgefunden hat: P(A|B). Die von mir o.g. Formeln erlauben es, diese Berechnung eindeutig durchzuführen.

Was dabei passiert ist letztlich folgendes:
1) In einem Baumdiagramm gehst du aus von einem Wurzelknoten mit 100% Wsk.; von da aus fächert sich der Baum entlang der einzelnen Verzweigungen auf. Für jede Verzweigung notierst du genau die eine Wsk. für genau die eine Verzweigung und berechnest die Wsk. für die folgenden Knoten, d.h. du tust praktisch so, als ob du je Knoten von einem Wurzelknoten mit 100% ausgehst.
2) Wenn du in einem gegebenen Baum an A unterhalb eines Knotens B interessiert bist, dann dividierst du einfach durch P(B), normierst also sozusagen P(B) auf 100% als den neuen Wurzelknoten und eliminierst alle Zweige neben B ( entspricht z.B. dem Aufdecken eines Würfelbechers = dem Nachschauen)
3) Die bedingte Wsk. erlaubt es dir jedoch auch, Mengen von Vorraussetzungen B zu betrachten, die nicht bereits existierenden Knoten entsprechen, sondern die z.B. einer Vereinigungsmenge mehrerer Knoten bzw. Teilbäume entsprechen.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von Pippen » 23. Apr 2016, 15:03

Ich verstehe nicht, was der Unterschied sein soll, ob ich eine Münze n-mal oder unendlich-mal werfe. Doch der Mathematiker macht da einen Unterschied. Warum? Das hat mit Wahrscheinlichkeitsrechung eigentlich gar nichts zu tun. Das gleiche Problem haben wir bei Grenzwerten, wenn gesagt wird, n ginge gegen unendlich. Dabei ist n eine beliebige natürliche Zahl und damit steht es bereits für unendlich viele (natürliche) Zahlen. Wo/Wie ist der konzeptionelle Unterschied zwischen einer Variablen mit einer unendlichen Grundmenge endlicher Dinge (zB IN) und der Annahme einer Unendlichkeit?

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von tomS » 24. Apr 2016, 11:43

Ich denke, du verstehst immer noch nicht, dass du hier verschiedene Dinge verwechselst:

i) eine endliche Ergebnismenge {K,Z} mit p(K) = p(Z) = 1/2 sowie das n-fache Ausführen unabhängiger Zufallsexperimente mit 2n möglichen Ereignissen (KKK...K), ... (ZZZ...Z) sowie der entsprechenden Wahrscheinlichkeit pn = 1/2n; n ist beliebig, jedoch endlich
ii) unendliche Ergebnismenge wie z.B. die natürlichen Zahlen N und einer darauf definieren Wahrscheinlichkeit p(n)
iii) der Versuch, auf (ii) eine Gleichverteilung zu definieren, also p(n) = const., oder (i) dazu zu benutzen, (ii) zu beschreiben

(i) und (ii) funktionieren problemlos; (iii) funktioniert nicht.
Gruß
Tom

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Re: Des König's Geschwister

Beitrag von seeker » 25. Apr 2016, 13:09

@Tom:
Ja, das ist klar geworden.
Es hängt eben von der Fragestellung ab. Und das Schwierige ist dann, sich im Baum entsprechend der Fragestellung richtig zurechtzufinden und insbesondere stochastisch unabhängige Ereignisse von kausal verbundenen Ereignissen richtig zu unterscheiden.
Nur ist es auch so, dass eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung an sich nur dann Sinn macht, wenn ich begrenzte Informationen vorliegen habe, bzw. begrenztes Wissen habe:
Wenn ich schon alles weiß, was mich interessiert, dann sind alle Wahrscheinlichkeiten 100%, also ist dann nichts mehr 'wahrscheinlich', es ist dann alles faktisch bzw. bekannt. Dennoch kann ich auch dann noch, 'was wäre wenn'-Fragen stellen: "Wie wäre es gewesen, wenn es anders gekommen wäre?", denen ich dann wieder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann, eben weil ich dort wieder nur begrenztes Wissen habe.

Zusammenfassend:
Ob ein Prozess nun echt-zufällig ist oder nicht, ist für die Betrachtung per WSK eigentlich egal. Entscheidend ist mein Wissen über den Prozess/ das System und wie er/es mir erscheint, also von mir aufgefasst werden muss bzw. nur kann: Kann ich ihn vollständig kausal erfassend modellieren, dann brauche ich keine Wahrscheinlichkeitsrechnung, kann ich das nicht, kann aber immerhin Ereignis-Wahrscheinlichkeiten sinnvoll zuordnen/definieren, dann ist eine Wahrscheinlichkeitsberechnung sinnvoll. Kann ich beides nicht, dann ist überhaupt keine sinnvolle Aussage oder Voraussage mehr möglich, dann kann ich nur noch spekulieren oder raten oder glauben... oder schweigen.

Gruß
seeker
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