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Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Mathematische Fragestellungen
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Pippen
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Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Beitrag von Pippen » 12. Apr 2016, 01:11

Habe folgendes in einem Uni-Lehrangebot gefunden. Es geht dort ums Indifferenzprinzip, also die Annahme, dass wenn wir nix weiter wissen, alle Ereignisse einer Ereignismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Dann schreiben die:

Unfortunately, it is not clear that the Principle of Indifference is consistent. Imagine a cube factory. We know that the factory produces cubes with a side-length of less than 1 meter, but we haven’t the slightest idea how the cube sizes are chosen. What is the probability that the next cube produced will have a side-length of less than half a meter?

Here is an argument based on the Principle of Indifference. Since the distance between 0 and 1/2 is the same as the distance between 1/2 and 1, our reasons for thinking that the factory will produce a cube with a side-length of less than half a meter are exactly analogous to our reasons for thinking that the factory will produce a cube with a side-length of more than half a meter but less than a meter. So it follows from The Principle of Indifference that our subjective probability should be 50% that the next cube produced will have a side-length of less than half a meter, and that our subjective probability should be 50% that the next cube will have a side-length greater than half a meter but smaller than a meter. (We ignore the possibility that the factory will next produce a cube whose side-length is exactly half a meter. This is because there is a zero probability that the factory will next produce a cube whose side-length is exactly half a meter. To see why, take a look at the exercise just above, and think about how this case is analogous.)

So far, so good. The bad news is that the Principle of Indifference delivers a different conclusion when we focus on volume rather than side-length.

As before, start with the observation that the distance between 0 and 1/2 is the same as the distance between 1/2 and 1. Accordingly, our reasons for thinking that the factory will next produce a cube with a volume of less than half a cubic meter are exactly analogous to our reasons for thinking that the factory will next produce a cube with a volume of more than half a cubic meter. So it follows from the Principle of Indifference that we should be 50% confident that the next next cube produced will have a volume of less than half a cubic meter, and 50% confident that the next cube will have a volume greater than half a cubic meter.

The problem, of course, is that cubes with a side-length of half a meter do not have a volume of half a cubic meter, but a volume of 1/8 cubic meters. Accordingly, cubes with a side-length of less than half a meter are only a fraction of the cubes whose volume is less than half a cubic meter. So if we are 50% confident that the next cube will have a volume of less than half a cubic meter, then we should be less than 50% confident that the next cube will have a side-length of of less than half a meter, which contradicts our first result.

Perhaps there is a version of the Principle of Indifference that allows us to avoid this kind of problem. It is an ongoing project for some philosophers to try to find such a version; so far nobody has been able to formulate one that seems very convincing.


Für mich klingt das weder nach inkonsistent noch paradox. Da werden einfach Äpfel mit Birnen verglichen und dann wundert man sich, dass 1/2 Apfel eben nicht mit einer 1/2 Birne zu vergleichen ist, oder wie seht ihr das?

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tomS
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Re: Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Beitrag von tomS » 12. Apr 2016, 06:59

Das besagt zunächst lediglich, dass es inkonsistent ist, diese zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die selben Objekte anzunehmen. Grundsätzlich stimme ich dir jedoch zu, dass dieses Prinzip seltsam ist; wenn man nichts weiß, weiß man nichts.
Gruß
Tom

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Re: Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Beitrag von Pippen » 13. Apr 2016, 01:46

Das Indifferenzprinzip sagt sowas wie: Wenn wir nichts wissen und trotzdem irgendwas annehmen wollen, dann nehmen wir einfach Gleichverteilung an, weil die symmetrisch ist und damit minimalen Informations- (und damit auch Fehlerpotential-) gehalt hat (x = y%, ~x = y% -> eine Zahl für Wahrscheinlichkeitsangabe), während alle andere Verteilungen unsymmetrisch und daherinformationsentropieärmer sind (x=y%, ~x =z% -> zwei Zahlen für Wahrscheinlichkeitsangabe). Klingt eigentlich vernünftig.

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tomS
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Re: Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Beitrag von tomS » 13. Apr 2016, 07:08

Führt aber in der Praxis zu Problemen, wie du selbst sagst.

Wenn du unterschiedlich große Kugeln aus einer Urne ziehst, ist es eben ein Unterschied, ob die Kugelflächen oder die -volumina gleichverteilt sind. Beides zugleich geht nicht. Und was soll jetzt gelten?
Gruß
Tom

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Re: Inkonsistenz des Indifferenzprinzips?

Beitrag von seeker » 13. Apr 2016, 12:52

Hier ein wenig Lektüre:

http://www.eckhartarnold.de/papers/2009 ... ode24.html


Daraus der zusammenfassende Absatz, unten im Text (Konklusion):
...
Das bedeutet aber, dass wir das Indifferenzprinzip ohne die Gefahr eines Paradoxons nur heranziehen können, wenn die Anwendungssituation das zulässt und wir über ein ausreichendes Hintergrundwissen darüber verfügen. Bei völligem Unwissen hilft es nicht weiter.

Inwiefern sind die hier besprochenen Paradoxien ein Problem für die Anwendung des Indifferenzprinzips auf Entscheidungen unter Unwissenheit? Hier sind zwei Situationen zu unterscheiden:

1. Wir verfügen über ein hinreichendes Hintergrundwissen der Situation, dass es uns erlaubt, das Indifferenzprinzip eindeutig auf die Situation anzuwenden. (Z.B. müssten wir beim Buch-Paradoxon die Menge der in Frage kommenden Farben kennen.) Dann dürfen wir das Indifferenzprinzip anwenden, sollten uns aber bewusst sein, dass die Annahme jeder anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung als der Gleichverteilung genauso legitim wäre. Aber wir könnten wenigstens sicher sein, dass die Anwendung dieses Prinzips nicht zu Entscheidungsempfehlungen führt, die sich in kontingenter Weise wandeln, wenn wir die Zustandsbeschreibungen durch äquivalente andere Zustandsbeschreibungen austauschen.

2. Wir verfügen nicht über ein entsprechendes Hintergrundwissen. Dann können wir das Prinzip nicht anwenden, denn es liefert für dieselbe Entscheidungssituation widersprechende Empfehlungen.
Mir leutet das ein und damit ist glaube ich auch schon das Wichtigste gesagt...

Gruß
seeker
Grüße
seeker


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