Frage zum sog. Komplement

[Pippen]

Das Komplement A^c der Menge A definiert sich für mich: A^c = {x|x ist kein Element von A}. Fertig. Jetzt lese ich davon, dass das Komplement von A durch Hinzunahme einer noch größeren Menge U - sog. Universum - definiert wird: A^c = U/A. Wozu wird da extra U eingeführt? Meine Definition eines Komplements ist doch viel einfacher! Und was ist eigentlich U? Die Allmenge kann es nicht sein...ist U selbst eine Menge oder eine Klasse?

[Skeltek]

Komplement ist etwas, das das andere ergänzt.
Das Ding und sein Komplement bilden ein ganzes.
Sie ergänzen sich also... der Kernpunkt ist, wozu sie sich ergänzen.

Die ungeraden Zahlen sind das Komplement der geraden Zahlen; aber nur im Bereich der ganzen Zahlen!
Sie ergänzen sich also gegenseitig zu den ganzen Zahlen, sind also das jeweilige Komplement des anderen "in"

So muss man immer dazu sagen, was die enthaltende Menge ist, zu der sich dein A und sein Komplement ergänzen.
Deshalb ist die Definition von Surjektivität in der Mathematik auch so gesehen schwachsinnig, wie sie von den meisten verwendet wird; bezüglich ihres Bildraumes ist jede Funktion surjektiv.

Beispiel:
Was ist das Komplement der natürlichen Zahlen?
Sind es die negativen Zahlen?
Sind es die positiven Zahlen, die nicht durch 1 teilbar sind? Ist es der ganze Rest aus Q? Oder aus R?
Vielleicht sogar einfache Wörter/Schriftzeichen ?

Zum Komplementbegriff gehört immer die Obermenge. Schade dass die Bedeutung von Wrtern wie "Komplement" oft von den meisten Leuten welche es verwenden gar nicht bekannt ist. Du kannst "komplementieren" relativ Bedeutungs-gleich mit "ergänzen" übersetzen - das trifft es denke ich ziemlich ausreichend genau.
Deshalb war deine ursprüngliche Definition vom Komplement also auch nicht wirklich vollständig um sinnvoll zu sein.

Schnen gruß, Skel

[Pippen]

Man unterscheidet demnach zwischen der Menge A^c und der Menge Nicht-A. Hm...ok.

Ist also dann die Obermenge U eine Menge? Und wie wird sie definiert? Denn man muss ja vermeiden, U als Allmenge zu definieren.

[tomS]

U ist üblicherweise im jeweiligen Kontext implizit oder explizit definiert. Wenn da z.B. steht "Sei X eine Menge reeller Zahlen ..." dann ist die Obermenge U gegeben durch R, und das Komplement von X ist definiert durch R \ X.