Stochastik reloaded

[Pippen]

1. P(A|B) = 1 - P(B & ~A)??? Mein Gedankengang: Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind äquivalent zu Implikationen sind, d.h. P(A|B) = P(B -> A). Das Gegenereignis wäre dann P(~(B -> A)) bzw. P(B & ~A), also der Schnitt aus der Ereignismenge B und ~A. Ist das richtig oder wo liegt der Fehler?

2. Ich höre mir gerade eine Vorlesung über AI an. Dort wird bei fehlender Information die sog. maximum entropy method angewandt. Vereinfacht gesagt gilt: Wenn gilt P(x1) + P(x2) = 1 und wir nichts weiter wissen, dann wird einfach angenommen P(x1) = P(x2). Das macht für mich keinen Sinn, denn rein rational spricht nichts für eine solche Verteilung, jede andere wäre genauso gut. Man könnte genauso gut - analog dem Auswahlaxiom - die Werte für beide Terme beliebig so wählen, dass deren Summe Eins ergibt. Wäre das nicht logischer? Warum wählt man eine Gleichverteilung? Reine Ästhetik?

[positronium]

zu 2.: Wenn keinem der beiden Werte eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden kann, wie sollte man dann begründen, dass man für einen eine höhere wählt?

[tomS]

Zu 2.: man geht in Ermangelung weiterer Information bzgl. der xi von Gleichberechtigung aller xi aus; ich halte das für eher sinnfrei; in konkreten Situationen, wo tatsächlich Gleichberechtigung = Gleichverteilung vorlag, funktionierte das natürlich ("German Tank Problem"); in anderen Fällen würde es nicht funktionieren.

D.h. die Hypothese kann falsch sein und damit die Schlussfolgerung ebenfalls.

Ich sehe aber keine Alternative darin, eine andere Verteilung anzunehmen, sondern eher darin, ehrlicherweise zu sagen, dass wenn die Hypothese falsch ist, man nichts schlussfolgern kann, und dass man evtl. nicht mal die Hypothese prüfen kann.

[das Auswahlaxiom benötigst du hier sicher nicht; du hast es auch nicht richtig verwendet]

[Pippen]

Ok, ich habe mir da mal unter Geltung von max. Informationsentropie folgendes überlegt: Jede (A)ussage ist wahr oder falsch, d.h. die Wahrscheinlichkeit Aw wäre 0,5, die von Af auch. Eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung würde erst recht keinen Sinn machen. Nun kann man versuchen, Aw zu begründen und dabei gibt es wieder zwei Fälle: der Grund spricht tatsächlich für Aw oder der Grund ist falsch bzw. nicht vorhanden. Auch hier macht es erstmal Sinn, von einer Gleichverteilung auszusehen, so dass für beide Äste die Wahrscheinlichkeit 0,5 ist. Gleiches gilt für Af und so geht es dann immer weiter. Es ergibt sich eine Struktur, wie beim Münzwurf. Das sieht erstmal konsistent aus. Nun gilt aber für unser Aussageschema zusätzlich folgendes: Die Wahrscheinlichkeit für Aw unter der Bedingung eines wahren Grundes für Aw muss gleich Eins sein, genauso wie die Wahrscheinlichkeit für Af unter der Bedingung eines wahren Grundes für Af. Die Wahrscheinlichkeit für Aw unter der Bedingung eines falschen/non-existenten Grundes kann dagegen wieder nur 0,5 sein. Daraus ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten "Aw und Grund, Aw und ~Grund, Af und Grund, Af und ~Grund" zusammen 2 betragen, was irgendwie nicht passt.

Das folgende Schaubild fasst das alles nochmal zusammen, wobei ich einfach mal davon ausgehe, dass es ausreicht sich auf die ersten zwei Ebenen zu konzentrieren, weil's danach "immer so weitergeht":

probability.gif (14.19 KiB) 4521 mal betrachtet

Ist mein ausgedachtes System wahrscheinlichkeitskonsistent?