Allklasse?

[Pippen]

Ich definiere eine Allklasse {x | x = x}, wobei x für (wirklich) völlig Beliebiges ("absolut alles") stünde. Wäre eine solche Klasse denkmöglich (ich erinne daran, dass ZFC bei Klassen nicht gilt!)? Hintergrund: Ich frage mich beim sog. Agrippa/Münchhausen-Trilemma, ob man nicht alle menschenmöglichen Aussagen per disjunktiver Normalform zu einer "Super-Allaussage" x zusammenfassen kann, die dann offensichtlich hinsichtlich ihrer Wahrheit/Falschheit unentscheidbar wäre (weil ja alles bereits in x steckte und daher jede Entscheidung pro/contra x per se ein Zirkel wäre)

[Skeltek]

Wie soll da die Eigenschaft der Enthaltung hinein kommen? Dass es etwas gibt das etwas anderes enthält bzw der Begriff der Inklusion ist bereits ein relativ "niedriger" elementarer Begriff.
Eine Komposition als solches zu erkennen ist nur von "unterhalb" der Allklasse möglich.
Es gibt auch möglicherweise eine völlig disjunkte Menge an Widerspruchs-Freien Aussagen-Systemen. Wie soll man in einem Aussagen-System ein anderes disjunktes denn beschreiben (vor allem ohne Widersprüche)?

[tomS]

Wichtig ist, dass für die Allklasse A ZFC oder vergleichbare Axiomensysteme für Mengen nicht gelten, d.h. inbs., dass A keine Menge ist.

[Skeltek]

Hmm, bin etwas verstört, wie einfach und elegant das jemand in noch weniger Worte packen konnte...
Was man nicht vergessen sollte ist, dass es zunächst nicht eindeutig war, was man unter Menge kontextmäßig verstehen soll und wie es definiert werden sollte.
Enthält A alle x simultan, selektiv oder ist das x erstmal unbestimmt über allen Realisationsmöglichkeiten "schwebend". Aber das würde jetzt etwas zu weit führen.

[seeker]

Ich versteh in dem Zusammenhang die Russelsche Antinomie immer noch nicht.

Angenommen R enthält sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft, mit der R definiert wurde, dass R sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und R enthält sich nicht selbst, dann erfüllt R die Klasseneigenschaft, so dass R sich doch selbst enthält entgegen der Annahme.

https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie

Na und?
Ich meine, es existieren ja eh überhaupt keine Mengen, die sich selbst als Element enthalten, weil das direkt zu einem Widerspruch führen würde bzw. zu einem infiniten Regress.
Daraus folgt dann nur, dass es eine "Allmenge" gibt, die tatsächlich alle Mengen und Elemente enthält, die existieren und die dann nur die Mengen/Elemente nicht enthält, die nicht existieren (u.a. dann eben auch die Mengen, die sich selbst enthalten).

Damit wär doch alles gut? Wo ist das Problem bei Russel? Das Problem kann doch da nicht bei der Allmenge liegen sondern höchstens darin, wie man "Klasse" definiert bzw. dass man zwanghaft einen Unterschied zwischen "Klasse" und "Menge" fordert?
Wie gesagt: Ich verstehs nicht...

Gruß
seeker

[Pippen]

@seeker: Die Allklasse (x | x = x) und Russell's Menge (x | x ~€ x) sind zwei verschiedene paar Schuhe, was man an deren Definitionen sieht. Beides sind keine Mengen, weil sie gegen ZFC verstoßen, aber während Russell's Menge auch logisch inkonsistent ist und daher auch durch irgendwelche Klassenaxiome nicht legitimiert werden kann, ist es die Allklasse mE nicht, wenn man gewisse Klassenaxiome aufstellt (eigentlich sogar ZFC minus Potenzmengenaxiom).

[tomS]

Bin bin nicht sicher, ob das in allen Details so passt, aber im Kern ist es wohl richtig.

Definiert man ein Objekt A = {x | a(x)}, wobei a(x) einen logischen Ausdruck definiert, so können Klassen A entstehen, die als Klassen konsistent sind, jedoch als Mengen inkonsistent werden, d.h. sobald man z.B. ZFC auf A anwendet.

[Pippen]

Definiert man ein Objekt A = {x | a(x)}, wobei a(x) einen logischen Ausdruck definiert, so können Klassen A entstehen, die als Klassen konsistent sind, jedoch als Mengen inkonsistent werden, d.h. sobald man z.B. ZFC auf A anwendet.

Genau, so eine Allklasse kann es geben. Die war ja nur deshalb keine Menge, weil's dort das Potenzmengenaxiom gab. Wenn man das wegnimmt, dann ist nicht einzusehen, warum sowas nicht existieren können soll. Auch wenn man eine Menge irgendwie dahin konstruiert, dass sie nicht in der Allklasse sein soll, so wäre das kein Problem, es wäre schlicht die leere Menge und damit doch immer in der Allklasse.

Was mich wundert ist, dass es auch eine Russell'sche Klasse geben kann. Denn R = {x | x nicht Element von x} scheint für den einen Fall von R unrettbar widersprüchlich wird. Den müsste man also ausscheiden, aber damit ist's dann auch keine Russellsche Klasse mehr, sondern ein aliud.

Gleiches gilt mE für die sog. absolute Allklasse (das theoretische Pendant zur absoluten Allmacht), d.h. eine Klasse, wo nicht nur alle möglichen Objekte drin sein können (Allklasse), sondern alle (auch die unmöglichen).

[Mildred51]

Super Arbeit bin jetzt schon auf das endergebnis gespannt







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