Die sich selbst beschreibende Zahl

[Pippen]

Gesucht wird eine 10-stellige Zahl, in der jede Stelle zugleich die Anzahl der jeweiligen Ziffern in der Zahl beschreibt, also in der ersten Stelle die Anzahl der Nullen, in der zweiten Stelle die Anzahl der Einsen usw.

Wie lautet diese Zahl und gibt es nur eine?

Ich lese immer wieder, dass der Beweis "trivial" ist, was ich überhaupt nicht verstehen kann, weil er total aufwendig ist, ich musste stundenlang überlegen. Hier der Typ in dem Video behauptet auch, dass es recht easy sei: https://www.youtube.com/watch?v=1GKfEDvhWdY

Antwort: Es gibt nur eine und ich konstruiere diese Zahl so, dass damit zugleich ausgeschlossen ist, dass es eine zweite gibt. Die Zahl hat folgende Form: a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9.

Schlampiger Beweis:

1. Die Quersumme der Zahl muss 10 betragen, denn es gibt ja nur 10 Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
2. Die erste Stelle der Zahl (wo die Anzahl der Nullen vermerkt wird) muss größer als Eins sein, denn wäre sie Null, dann müsste sie ja mind. eins sein -> Widerspruch.
3. Die letzten fünf Stellen a5-a9 können nicht nur Nullen enthalten, denn dann müsste a0 mind. gleich 5 sein und damit a5 = 1 (gilt für a6-a9 analog).
4. Die letzten fünf Stellen a5-a9 enthalten 4 Nullen und (wegen 3.) eine 1., denn schon eine 2 an der Stelle a5 würde zweimal eine 5 irgendwo bedeuten, womit die Quersumme bereits 10 erreicht, aber noch einige Stellen offen wären, so dass sie offensichtlich überschritten würde.
5. Aus 4. folgt, dass a1 mind. 1 sein muss (für die Einserstelle irgendwo bei a5-a9) und daraus wiederum folgt, dass a1 sogar mind. 2 sein muss.
6. Durch ein Ausschlußverfahren kommt man nun dahin zu beweisen, dass bei den letzten 5 Stellen a5-a9 die Eins nur auf a6 stehen kann, woraus wegen der Quersummeneigenschaft aus 1. folgt, dass a0 = 6 sein muss.
7. Man kann auch zeigen, dass a3 & a4 Null sein müssen, so dass a1 = 2 und a3 demzufolge gleich 1 sein muss.
8. Daraus folgt: 6210001000. Da jede der Ziffern nur genau so sein konnte, wie sie ist, scheidet eine weitere selbst-beschreibende Zahl aus.

Ein korrekter Beweis wäre deutlich!!! länger oder übersehe ich etwas und man kann wirklich leicht einsehen, dass es nur eine solche Zahl in einem 10er System geben kann?

[Skeltek]

Angelpunkt ist #3, hier wird relativ viel heraus selektiert.
Bei a5-a9 kann die Quersumme nicht größer 1 sein, da man sonst auf Gesammtquersumme>10 kommt (leicht über eine Zwischeninduktion zeigbar), also ist die Quersumme von a5-a9 entweder 0 oder 1.
Die Quersumme von a5-a9 kann aber nicht 0 sein, da sonst a0>5 wäre und sich das widerspricht.
Also stehen bei a5-a9 nur eine 1 und vier mal die 0.

Damit hat man die Anzahl der möglichen Ziffernkombinationen bereits massivst reduziert.

[tomS]

Ich halte die Beweise für interessant, jedoch immer noch nicht für "elegant" oder "einsichtig".

[Skeltek]

Okay, man geht halt von folgendem aus und schränkt dann immer weiter ein:
a9 <=1
a8 <=1
a7<=1
a6<=1
a5<=2
a4<=2
a3<=3
a2<=5
a1<=10
a0<=
Danach geht es weiter mit:
a1<=9 (wegen Voraussetzung aus Aufgabenstellung)
a0>=1
a5<=1
a5+a6+a7+a8+a9<=1
switch case für obige Zeile führt bei a5+a6+a7+a8+a9=0 zu Widerspruch, also:
a5+a6+a7+a8+a9=1
a1>=1
switch case a1=1 oder a1>=2 führt bei a1=1 und a5+a6+a7+a8+a9=1 zu Widerspruch, also:
a1>=2

#6 ist meiner Meinung nach, wo der Beweis dann letztlich zu schlampig ausgearbeitet wurde.

[tomS]

Der Beweis bzw. die Argumentation ist eine große Absammlung logischer Einzelschritte, sozusagen ohne einen "roten Faden" bzw. ohne eine "Idee"; insofern ist es mehr ein logisches Puzzle.

Unter einem "schönen Beweis" verstehe ich etwas anderes, siehe z.B. "das Buch".