Addition für Z, Q oder IR

[Pippen]

Die Addition wird ja für natürliche Zahlen durch zwei Peano-Axiome definiert, nämlich n + 0 = n und n+m' = (n+m)'. Damit kann man auch wirklich rechnen, zB 3 + 4, wenn es auch durch die Rekursion ziemlich schnell ziemlich aufwändig wird, aber die Addition wird jedenfalls korrekt und vollständig geregelt. Wo/Wie wird die Addition für Z, Q oder IR geregelt? Ich finde da nichts Analoges und die Körper- oder Ringaxiome erklären ja nicht, wie die Addition funktionieren soll.

[tomS]

Da rationale Zahlen im Wesentlichen identisch mit Brüchen sind, folgen die Rechenregeln aus der Bruchrechnung; und diese basiert ausschließlich auf den vier Grundrechenarten über den natürlichen Zahlen.

Reelle Zahlen können definiert werden als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen, Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen oder als Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen rationaler Intervalle; in allen Fällen folgen die Rechenregeln aus denen der rationaler Zahlen.

[Marcel]

Ein Körper wird ja mit einer Menge an Objekten (zum Beispiel die Rationalen Zahlen) einer addition und einer Multiplikation definiert. Man schreibt . Natürlich wird in dieser definition nicht erklärt was addition sowie auch multiplikation bei Körpern sind, da es eben allgemein gehalten werden soll. Man definiert sich zusätzlich zu der Menge an Objekten eine Abbildung gennant + die die addition beschreibt. Zum Beispiel ist folgendes eine Addition:

als Nachfolgerabbildung (von Neuman-zahlen )
Aber das kann halt auf jedem Körper, Gruppe , Ring anders sein ^^

[tomS]

I.A. ist die Einführung einer Verknüpfung nicht-konstruktiv, in speziellen Fällen jedoch durchaus:
i) das einfachste Beispiel ist die Verknüpfung '+' für eine endliche Gruppe mittels einer Tabelle (ok, für Gruppen meist '*', aber das ist hier irrelevant);
ii) ein weiteres Beispiel wäre die Verknüpfung ⊕ für die relativistische Geschwindigkeitsaddition, die zwar für reelle Zahlen ]-1,+1[ definiert ist, jedoch nicht mit der normalen Addition '+' verwechselt werden darf, da sie eine Abbildung auf ]-1,+1[ und nicht auf R definiert;
iii) ein weiteres Beispiel sind Addition und Multiplikation auf den reellen Zahlen R, die aus Q und damit letztlich N bzw. Z konstruiert werden können.

[Marcel]

Jap Tom, da hast du Recht. MEin Beispiel war tatsächlich unpassend gewählt. Hatte in dem Moment nur gerade über von Neumannzahlen Nachgedacht, darum war das naheliegend
Allerding finde ich die "intuitiven" Definition über dein (i) additionstabellen etwas schwierig, da sie nicht wirklich definieren und für überabzählbare Körper dann doch nicht wirklich funktionieren.
Man sollte mEn, wenn man nach definitionen für additionen sucht, immer über den Weg der Abbildungen gehen.

[tomS]

Allerding finde ich die "intuitiven" Definition über dein (i) additionstabellen etwas schwierig, da sie nicht wirklich definieren und für überabzählbare Körper dann doch nicht wirklich funktionieren.

Additionstabellen funktionieren natürlich nur für endliche Gruppen. Mir ging es ja nur darum, zu zeigen, dass es konstruktive Herangehensweisen gibt.

[Pippen]

Aha, also letztlich geht alles auf Peano's Additions- und Multiplikationsaxiome zurück.