Normalverteilung und Sigma...Frage

[Pippen]

Nehmen wir mal an, es gilt die Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein X. Der Erwartungswert (also die "Glockenspitze") sei 150. Woher weiß ich jetzt, wie Sigma aussieht, d.h. wie weit man beidseitig vom Erwartungswert gehen muss, um sagen zu können: in diesem Bereich liegen ~68% aller Fälle von X?

Oder mal praktisch: Es geht um die Körpergröße von Menschen und es gilt Normalverteilung bei einem Erwartungswert von 170cm. Wie errechnet sich das Sigma, also der Bereich, wo 68% aller Menschen drinliegen...da braucht man doch schlicht empirische Daten, oder? Rein formalmathematisch ist aber dann doch Sigma irgendwie sinnlos, eine reine Definition für einen Bereich der Normalverteilung, die 68% Wahrscheinlichkeit hat, aber niemand weiß für konkrete Fälle, wie dieses Sigma aussieht.

[Analytiker]

Sigma gibt die Standardabweichung wieder, die nichts anderes ist als die Quadratwurzel aus dem arithmetischen Mittel aller Abweichungsquadrate, wobei das Abweichungsquadrat das Quadrat der Differenz von Messwert und Erwartungswert ist oder Sigma ist die Wurzel aus dem Erwartungswert von dem Quadrat aus der Differenz von Zufallsvariable und Erwartungswert.

Gruß
Analytiker

[belgariath]

Ja, ich denke man muss da Messungen durchführen, um sigma zu bestimmen.

Die Gleichung der Normalverteilung ist ja
.
Dabei ist die Breite, der Erwartungswert und ein Maß für die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Erwartungswert. Anschaulich gibt die Höhe der Glocke an.
Du hast nun noch die folgende Info: Nämlich, dass die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses = 1 ist. In anderen Worten, die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist = 1. In anderen Worten, ein Mensch hat mit Sicherheit irgendeine Körpergröße. In anderen Worten, die Verteilung ist normiert / muss normiert sein.
Man weiß vielleicht noch, dass die Norm (Fläche unter der Glocke) der Normalverteilung ist. Man muss also zur richtigen Normierung setzen. Dadurch steht in Zusammenhang mit und sobald bekannt ist, kann man bestimmen oder umgekehrt.

Das ist aber (rein mathematisch) alles unabhängig vom Erwartungswert. Biologisch sollte man erwarten, dass bei größerem Erwartungswert auch sigma zunimmt.

[Pippen]

MaW: Wenn wir nur wissen, dass 1) der Erwartungswert menschlicher Körpergröße 170cm beträgt und 2) die menschlichen Körpergrößen sich normalverteilt verhalten, dann können wir keine Standardabweichung (Sigma) bestimmen und sagen, von welcher bis zu welcher Körpergröße 68% aller Menschen liegen?

[positronium]

Ja. Du machst ja nur zwei Angaben. Deine zweite besagt, dass die Normalverteilung gilt, deren Dichtefunktion durch zwei Parameter bestimmt wird. Mit den 170cm hat man aber nur einen der beiden.

[Pippen]

Ja. Du machst ja nur zwei Angaben. Deine zweite besagt, dass die Normalverteilung gilt, deren Dichtefunktion durch zwei Parameter bestimmt wird. Mit den 170cm hat man aber nur einen der beiden.

Für mein Verständnis: Was müsste man in dem Körpergrößenbsp. alles wissen, um Sigma bestimmen zu können? Und stimmt es, dass für Sigma festgelegt ist, dass es immer den Bereich umfasst, in dem ~69% aller Fälle liegen?

[Analytiker]

Man müsste nur die Körpergrößen wissen und schon könnte man den Erwartungswert und die Standardabweichung berechnen. Der Erwartungswert ist in dem Fall das arithmetische Mittel und die Standardabweichung berechnet sich aus der Wurzel des arithmetischen Mittels der Abweichungsquadrate. Man nehme beispielsweise 10 Körpergrößen, addiere sie und teile durch 10 und erhält damit den Erwartungswert. Dann bilde man die Differenzen aus dem Erwartungswert und jeder einzelnen Messgröße, quadriere alle Differenzen einzeln, summiere sie und bilde das arithmetische Mittel und ziehe daraus die Wurzel und schon hat man die Standardabweichung. Im Intervall +- einer Standardabweichung finden sich bei einer Normalverteilung ca. 68,3% aller Realisierungen.

Gruß
Analytiker

[positronium]

Wenn man noch weitere Informationen als nur eine statistisch aussagekräftige Menge gemessener Körpergrössen hätte, gäbe es noch weitere Möglichkeiten. Diese laufen aber alle darauf hinaus, die Normalverteilung in einem Intervall zu integrieren, und sie der diesem Intervall zugehörigen Zahl Menschen, also "zugehörige Menschen"/"alle Menschen" gleichzusetzen. Das kann aber natürlich nur eine Näherung sein, und auch total schief gehen.