"Dieser Satz ist falsch" in AL/PL

[Pippen]

Was wird da an den Uni's eigentlich gelehrt? ME müsste o.g. Aussage problemlos durch AL und PL formalisierbar sein, d.h. es müsste eine Aussage sein. Denn im schlimmsten Fall ist die Aussage wahr und falsch, d.h. die Aussage ist wahr und ihre Negation ist wahr, also widersprüchlich, und wir wissen, dass Widersprüche in AL und PL problemlos formalisierbar sind (p & ~p -> q bzw. p & ~p -> F). Ausgeschlossen (nicht formalisierbar) sind in AL und PL mE nur solche Aussagen, denen man schlicht keinen Wahrheitswert zuweisen könnte, selbst wenn man wollte, zB Fragen oder Befehle.

Vllt. kennt jmd. auch Links, wo das Problem angesprochen wird. Denn es taucht immer wieder mal auf, dass ich lese, dass Sätze wie der obige gleich ganz aus der AL und PL rausgenommen werden.

[tomS]

Der Satz ist zunächst mal nicht formulierbar, weil die üblichen mathematischen Logiksysteme keine Aussagen in natürlicher Sprache zum Gegenstand haben. Deshalb hat Gödel das sog. "Gödelisierungsverfahren" eingeführt.

Ich weiß nur grob, wie das funktioniert; es ist sicher nicht trivial.

[Pippen]

Der Satz ist zunächst mal nicht formulierbar, weil die üblichen mathematischen Logiksysteme keine Aussagen in natürlicher Sprache zum Gegenstand haben.

Math. Logiksysteme sind dieselben, die man auch für die nat. Sprache benutzt: AL, PL1, PL2, .... In der Matematik werden halt die Aussagen formaler und präziser, aber zwischen "TomS ist ein Mensch" und "1+1=2" gibt es keinen logisch-qualitativen Unterschied. Wenn nun Gödel die Aussage "Ich bin unbeweisbar" (natürlich in math. Formelsprache) formulieren konnte, dann spricht viel dafür, dass auch "Ich bin falsch" formulierbar wäre. Mir geht's ja nicht darum, ob diese Aussage aus einem als konsistent geltenden Kalkül ableitbar ist - das wäre ja ein Supergau - sondern ob sie in einem log. System überhaupt formulierbar ist oder ob sie so behandelt wird, wie zB eine Frage. Eine Frage ist in AL oder PL schlicht nicht formulierbar, a priori nicht.

[tomS]

Nun, Gödel muss eine Gödelisierung einführen, d.h. eine Numerierung der Sätze. M.E. muss also das zugrundeliegende Axiomensystem, auf dessen Basis der Satz formuliert werden soll, mindestens die natürlichen Zahlen umfassen, ansonsten ist die Numerierung nicht durchführbar. Umgekehrt sind Axiomensysteme, die nicht mindestens so mächtig sind wie die der natürlichen Zahlen, nicht anfällig für Gödels Konstruktion (und damit z.B. beweisbar widerspruchsfrei); das spricht doch dafür, dass der entsprechende Satz in ihnen auch nicht formulierbar ist.

[Skeltek]

Die Menge aller Aussagen umfasst Tautologien, Implikationen, widersprüchliche Aussagen und sinn- bzw kontextfreie Aussagen.
Die Menge aller Aussagen lässt sich ordnen.
Danach zeigt man, dass die Menge der geordneten Elemente der Potenzmenge nicht ausschließlich aus widerspruchsfreien Elementen besteht?
Kann man das so zusammenfassen?

[Pippen]

Im Prinzip lautet meine Frage: Ist die Aussage "Dieser Satz ist falsch" in einem (konsistenten oder inkonsistenten) PL-Kalkül formulierbar? Ich meine: ja. Anders als zB "Woher kommst du, tomS?". Das wäre schon gar keine Aussage und daher komplett außerhalb von PL.

[tomS]

Der Satz muss aber auch in PL formuliert sein, nicht in Umgangssprache. Und da zeigt sich, dass das nicht in jedem formalen System funktioniert.

[Pippen]

Der Satz muss aber auch in PL formuliert sein, nicht in Umgangssprache. Und da zeigt sich, dass das nicht in jedem formalen System funktioniert.

Ja, aber in einem inkonsistenten System, d.h. einer inkonsistenten höherstufigen PL, sollte es funktionieren. Mich überraschte ja nur, dass manche Logikbücher den Satz quasi so behandeln wie Fragen oder Befehle, also schon gar kein logischer Gegenstand. Dabei ist der Satz einfach nur widersprüchlich.

[tomS]

Der Satz muss aber auch in PL formuliert sein, nicht in Umgangssprache. Und da zeigt sich, dass das nicht in jedem formalen System funktioniert.

Ja, aber in einem inkonsistenten System, d.h. einer inkonsistenten höherstufigen PL, sollte es funktionieren.

Darum geht es überhaupt nicht!

Es geht darum, dass ein formales System mächtig genug sein muss, damit eine Aussage über eine Aussage überhaupt formuliert werden kann. Dabei geht es nur noch gar nicht um den Wahrheitsgehalt. Ein System, dass nur logische Aussagen und Variablen kennt, ist einfach nicht mächtig genug, um in ihm einen derartigen Satz zu bilden. Du benötigst nach Gödel mindestens ein System der Mächtigkeit der Arithmetik, in dem Aussagen durch Zahlen repräsentiert werden; erst in einem solchen System kann die Aussage formuliert werden.

Dabei ist die Frage der Beweisbarkeit oder Wahrheit noch gar nicht tangiert.

[Pippen]

Es geht darum, dass ein formales System mächtig genug sein muss, damit eine Aussage über eine Aussage überhaupt formuliert werden kann. Dabei geht es nur noch gar nicht um den Wahrheitsgehalt. Ein System, dass nur logische Aussagen und Variablen kennt, ist einfach nicht mächtig genug, um in ihm einen derartigen Satz zu bilden. Du benötigst nach Gödel mindestens ein System der Mächtigkeit der Arithmetik, in dem Aussagen durch Zahlen repräsentiert werden; erst in einem solchen System kann die Aussage formuliert werden.

Ja, und ich frage, ob man in einem ebensolchen System die Aussage formulieren kann, weil ich in mind. einem Skript gelesen habe, dass die Aussage als "gegen das Bivalenzprinzip verstoßend" von Vornherein aus der formalen Logik ausgesondert wurde, so wie Fragen, Befehle, Witze usw. Das schien mir eben fehlerhaft.