Ist jede Zahl aus IN endlich-stellig?

[Pippen]

1. Wir stellen uns die nat. Zahlen als Striche vor. Aufgrund von Peano 2 gilt: n -> n+I, so dass sich die Folge der nat. Zahlen ergibt:

0
I
II
III
IIII
IIIII
IIIIII
IIIIIII
IIIIIIII
IIIIIIIII
IIIIIIIIII
...

Die Frage lautet, ob irgendwann in einer Zeile unendlich viele Striche stehen.

2. Nun, es gilt ja Peano 2, d.h. für alle n € IN: n -> n+I. Wir wissen, dass es unendlich viele Zahlen in IN gibt. Die Variable n steht für eine beliebige Zahl aus IN. Da es in IN unendlich viele Zahlen gibt, kann man also unendlich oft Zahlen in Peano 2 einsetzen (weil es ja unendlich viele gibt). Dann müsste aber irgendwann eine unendlich-stellige nat. Zahl rauskommen (selbstverständlich in einer ebenso unendlich-stelligen Zeile). Wenn ich einen 1m-Stab unendlich oft um 1m verlängere, dann wird dieser Stab unendlich lang werden. Was ist an dieser Überlegung falsch? Wie würdet ihr beweisen, dass jede nat. Zahl endlich-stellig sein muss. (Es kann sein, dass wir das Problem schonmal hatten, finde es aber nicht mehr und die Überlegung wurmt mich gerade mal wieder^^)

[breaker]

Ich verstehe Deinen Denkschritt von

Nun, es gilt ja Peano 2, d.h. für alle n € IN: n -> n+I. Wir wissen, dass es unendlich viele Zahlen in IN gibt. Die Variable n steht für eine beliebige Zahl aus IN. Da es in IN unendlich viele Zahlen gibt, kann man also unendlich oft Zahlen in Peano 2 einsetzen (weil es ja unendlich viele gibt).

nach

Dann müsste aber irgendwann eine unendlich-stellige nat. Zahl rauskommen (selbstverständlich in einer ebenso unendlich-stelligen Zeile).

nicht.

Wie würdet ihr beweisen, dass jede nat. Zahl endlich-stellig sein muss?

Per Induktion:
1 ist sicherlich endlich-stellig.
Sei nun n eine beliebige natürliche Zahl. Als Induktionsannahme kann ich annehmen, dass n-1 endlich-stellig ist. Da sich die Anzahl der Stellen aber bei der Operation "+1" nur um 1 erhöhen kann, muss auch (n-1)+1 endlich-stellig sein. Das ist aber gerade n.
Da n beliebig war, habe ich gezeigt, dass jede beliebige natürliche Zahl endlich-stellig ist.

[Marcel]

Ich glaube hier liegt ein Problem vor. Du versuchst Unendlich in die Zahlenreihe einzuordnen. Jedoch sollte man sich Unendlich eher wie eine sehr sehr große Zahl vorstellen.
Damit würde Unendlich natürlich im Bereich der lN stehen, aber kann aufgrund der Definition nicht als fester Zahlenwert eingeordnet werden.

[Skeltek]

Jede Zahl in IN ist endlichstellig.
Hätte sich unendlich viele Stellen, wäre sie ja am Rand und nicht im Inneren von IN.

[seeker]

Das hatten wir schon sehr oft, Pippen. Du stellst aus meiner Sicht immer und immer wieder dieselbe Frage. (Warum eigentlich ist dir das so wichtig?)
Die Sache ist nach wie vor die: Im Rahmen der Definition von konkreten Zahlen "1,2,3,..." ist "Unendlich" keine Zahl, da unbestimmt, da "Unendlich" nicht die Eigenschaft hat einen konkreten Wert zu haben. (Siehe auch den anderen Thread.)

Grüße
seeker

[Pippen]

Per Induktion:
1 ist sicherlich endlich-stellig.
Sei nun n eine beliebige natürliche Zahl. Als Induktionsannahme kann ich annehmen, dass n-1 endlich-stellig ist. Da sich die Anzahl der Stellen aber bei der Operation "+1" nur um 1 erhöhen kann, muss auch (n-1)+1 endlich-stellig sein. Das ist aber gerade n.
Da n beliebig war, habe ich gezeigt, dass jede beliebige natürliche Zahl endlich-stellig ist.

Dieser Beweis bereitet dem Puristen in mir noch Probleme, denn er lautet mE so korrekter formuliert:

Induktionsbehauptung: n € IN ist endlich-stellig
Induktionsanfang: Die Zahl 1 ist natürlich und endlich-stellig
Induktionsschritt: Wenn (n € IN ist endlich-stellig), dann (n+1 € IN ist endlich-stellig). Wir nehmen ja an, dass jede natürliche Zahl n endlich-stellig wäre. Wir wissen außerdem, dass die Zahl 1 endlich-stellig ist. Daraus folgt für den Konsequens unseres Induktionsschrittes: endlich-stellige Zahl n plus endlich-stellige Zahl 1 (n+1). Wieso könnte aber diese Summe (n+1), vllt. anders als ihre endlich-stelligen Teile n und 1, nicht unendlich-stellig sein? Hier würde ich persönlich jetzt damit anfangen, dass wenn n+1 unendlich-stellig wäre, kein Nachfolger von n+1 möglich wäre, was gg. Peano 2 verstößt, so dass n+1 endlich stellig sein muss; dann wäre aber der ganze induktionsbeweis überflüssig, denn dann könnte man gleich per Widerspruchsbeweis die Endlich-Stelligkeit der nat. Zahlen beweisen: Angenommen eine beliebige nat. Zahl x wäre unendlich-stellig; dann wäre x+1 unmöglich, was gg. Peano 2 verstößt, Widerspruch, also x muss endlich-stellig sein)

@seeker: Manchmal denke ich wieder darüber nach und habe schon wieder vergessen, wie der Beweis ging und in mir ist diese Vorstellung, dass wenn ich etwas unendlich oft wiederhole, es unendlich werden muss. Das klappt eben hier nicht, weil es immer um eine konkrete nat. Zahl ginge, die unendlich-stellig sein müsste, und das kann nicht sein.

[breaker]

Ich glaube, die ganze Fragestellung ist problematisch, weil nicht klar ist, was mit "endlich" überhaupt gemeint ist.

Wie misst man die Anzahl der Stellen einer natürlichen Zahl? Mit einer natürlichen Zahl...