Näherung für sign()

Beitrag von **positronium** » 15. Dez 2014, 14:50

Hallo allerseits,

ich möchte eine Funktion integrieren, in der sign() vorkommt. Leider rechnet Mathematica stundenlang, ohne ein Ergebnis zu liefern.

Der betreffende Teil der Formel sieht so aus: sign(v.u), enthält also ein Skalarprodukt zweier Vektoren. Die beiden Vektoren sind normiert; relevant sind also nur Parameter zwischen -1...1, die auf -1, 0(weniger wichtig) oder 1 abgebildet werden sollen.
Eine grobe Näherung ist natürlich, die Funktion sign() einfach weg zu lassen; dann klappt das integrieren recht flott. Das Ergebnis ist dann aber, dieses zur Überprüfung wiederum integriert, um den Faktor 2 zu gross (vorausgesetzt ich habe sonst keine Fehler mehr drin).

Kann mir jemand eine integrationsfreundliche Näherung für sign() nennen?
tanh() und x/sqrt(x²) bzw. x/sqrt(x²+epsilon²) habe ich versucht, erhalte aber ebenfalls nach langem Rechnen noch kein Ergebnis.
In der Mathematica-Hilfe wird tanh(2 n arctanh(1/x)) empfohlen; mit steigendem n wird die Näherung besser, der Ausdruck aber bald recht umfangreich.

Vielen Dank für Euere Hilfe!

Gruss

positronium

Beitrag von **breaker** » 15. Dez 2014, 15:03

Hi,

eine Näherung hab ich nicht für dich, aberwie wär denn folgendes:
Schreib das Skalarprodukt als $|u||v|\cos(\theta)$ und mach im Integral eine Substitution, sodass du am Ende über $\theta$ integrierst. Und dann rechnest du eben den Teil des Interals, wo $cos(\theta)>0$ ist, mit positivem Vorzeichen und den, wo $cos(\theta)<0$ ist, mit negativem. Zum Beispiel:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(...)-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(...)$

Beitrag von **positronium** » 15. Dez 2014, 17:22

Vielen Dank für den Rat!
Das ist eine gute Idee, nur leider klappt das bei meinem Problem nicht. Die beiden Vektoren sollen nämlich nach Integration noch drehbar sein. Deshalb weiss ich beim Integrieren noch nicht, welcher Winkelbereich positiv bzw. negativ ist.

Beitrag von **breaker** » 15. Dez 2014, 17:54

Bin nicht sicher, ob ich das Problem gut genug verstehe. Kannst Du es genauer erklären?

Beitrag von **positronium** » 15. Dez 2014, 18:42

Ja, natürlich.

Vereinfacht, habe ich zwei bekannte Vektoren v(normiert) und p, eine Matrix $m(\alpha,\delta)$ , welche diese beiden Vektoren rotiert, und einen Vektor u(normiert) in Beobachterrichtung $\theta,\phi$ .

Die Matrix m setzt sich aus zwei Matrizen zusammen. Erst eine Drehung um die X-Achse entspr. delta (X), und anschliessend eine Drehung um die Achse r={-1/2,sqrt[3]/2,0} entspr. alpha, wobei aber gilt, dass auch r um X gedreht wird (R), also:
$m[\alpha,\delta]=R[\alpha,X.r].X[\delta]$

Das Integral sieht so aus (C ist konstant):
$\int_{0}^{2\pi} sign\[(m[\alpha,\delta].v).u[\theta,\phi]\](C+(m[\alpha,\delta].p).u[\theta,\phi]) d\delta$

Als Ergebnis sollte eine Funktion $f[\alpha,\theta,\phi]$ heraus kommen.

Wenn ich das ohne die Funktion sign, aber mit dem enthaltenen Skalarprodukt in Kugelkoordinaten (theta, phi) und mit der zeitlichen Veränderung alpha plotte, sieht das für theta=(0 bzw pi) in Z-Richtung so aus:

: anim.gif (144.58 KiB) 10264 mal betrachtet

Ungefähr so, etwas dünner, etwas verzerrt, sollte es also auch mit sign[] aussehen.

edit: in der ersten Zeile stand d(normiert), muss aber v(normiert) heissen.

Beitrag von **breaker** » 15. Dez 2014, 23:49

Und u und v zeigen beide in beliebige Richtungen? Kann man nicht (sozusagen als Eichung) einen der beiden in x-Richtung legen, oder so?

Beitrag von **tomS** » 16. Dez 2014, 07:19

Partielle Integration, Ableitung auf sign() wirken lassen ergibt die Delta-Funktion; gilt für jede epsilon-Darstellung von sign() und delta() sowie im Sinne der Distributionen auch exakt, wenn die andere zu integrierende Funktion entsprechend "glatt" ist

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 11:41

breaker hat geschrieben:Und u und v zeigen beide in beliebige Richtungen?

u ist ja durch theta und phi Parameter; v ist auch jetzt schon für die Integration konstant.

breaker hat geschrieben:Kann man nicht (sozusagen als Eichung) einen der beiden in x-Richtung legen, oder so?

Das ist einen Versuch wert, wobei sich dadurch aber natürlich die Matrizen ändern. Vielleicht läuft das auf's gleiche hinaus, aber ich versuche es. Danke!

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 11:51

Yukterez hat geschrieben:Mit Sign[] hatte ich bis jetzt weder beim Differenzieren noch beim Integrieren ein Problem, so lässt sich zB
Plot[NIntegrate[Sign[Sin[x]], {x, 0, X}], {X, 0, 2 Pi}]
ganz einfach plotten. Bist du sicher dass es nicht ein Fehler im Code ist?

Ich glaube, dass der Code in Ordnung ist. Ich muss aber auch dazu schreiben, dass ich nicht numerisch mit NIntegrate[] integriere, sondern mit Integrate[], damit ich für die nächsten Rechenschritte keine Näherungen habe.

Yukterez hat geschrieben:Verlinke doch das .nb oder poste den ganzen Code, dann kann ich mal schaun ob ich den Hund bzw die passende Methode finde.

Vielen Dank für das Angebot!
Ich habe die Dateien hochgeladen. Du brauchst:
www

Yukterez hat geschrieben:PS: ist deine Funktion imaginär? Dann muss man natürlich schaun ob man davon den Re[], Im[] oder Abs[]-Teil braucht.

Nein, es ist alles Real.

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 11:54

tomS hat geschrieben:Partielle Integration, Ableitung auf sign() wirken lassen ergibt die Delta-Funktion; gilt für jede epsilon-Darstellung von sign() und delta() sowie im Sinne der Distributionen auch exakt, wenn die andere zu integrierende Funktion entsprechend "glatt" ist

Danke für den Hinweis!
Aber wie muss dann die Integration und das Ergebnis umgeschrieben werden?

Beitrag von **tomS** » 16. Dez 2014, 12:15

Na ja, das wäre einfach

$\int_a^b dx\,\sigma(x)\,f(x) = \int_a^b dx\,\sigma(x)\,\frac{dF(x)}{dx} = -\int_a^b dx\,\frac{d\sigma(x)}{dx}\,F(x) + \sigma(x)\,F(x)|_a^b = -\int_a^b dx\,2\delta(x)\,F(x) + \ldots = -2F(0) + \ldots$

wenn 0 im Intervall [a,b] liegt.

Annfalls liegt kein Vorzeichenwechsel in der signum-Funktion vor und das Integral führ sofort auf F(x).

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 13:47

Wie heisst die Umformung von Schritt 2 auf 3, also von der 2. auf die 3. Formel?

Beitrag von **tomS** » 16. Dez 2014, 13:51

Partielle Integration

Beitrag von **breaker** » 16. Dez 2014, 14:34

Ja, das ist eine sehr gute Idee von Tom. Man muss nur die Stammfunktion der Funktion f kennen (was in Deinem Fall möglich sein sollte)

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 21:06

Jetzt habe ich leider noch immer ein Problem: In der delta-Funktion steht für einen bestimmten Parametersatz (Variabel sind nur noch alpha, theta und phi.)
$\frac{1}{2} \left(-\sqrt{3} \sin (\theta ) \sin (\delta -\phi )-\cos (\theta )\right)$
Im anderen Teil ist der Parameter delta noch enthalten.
Muss ich den obigen Ausdruck nach delta auflösen und dort einsetzen?
Der Parameter delta hätte zwei Formen in Abhängigkeit von theta und phi, und sähe so aus:
$\delta \to \text{ConditionalExpression}\left[2 \pi c_1-\sin ^{-1}\left(\frac{\cot (\theta )}{\sqrt{3}}\right)+\phi ,c_1\in \mathbb{Z}\right]$
$\delta \to \text{ConditionalExpression}\left[2 \pi c_1+\sin ^{-1}\left(\frac{\cot (\theta )}{\sqrt{3}}\right)+\phi +\pi ,c_1\in \mathbb{Z}\right]$
D.h. Lösungen dieser Funktionen mit ganzzahligem c1 ergeben erlaubte Werte für den Parameter delta. Naja, eigentlich müsste c1=0 sein, weil 0<=delta<=2pi gilt.

Beitrag von **positronium** » 16. Dez 2014, 21:46

Es dürfte jetzt so passen, aber ich muss es noch in Reinschrift bringen, und variabler gestalten.
Vielen Dank, Tom, Frank und Yukterez!

Beitrag von **positronium** » 19. Dez 2014, 11:55

Jetzt war ich zu früh optimistisch.

In der Sign-Funktion steht ja nicht die Integrationsvariable delta, sondern ein Skalarprodukt S, also Sign[S[delta,...]]. Damit die Delta-Funktion 0 wird, muss also S[delta]=0 gelten.
Für meinen einfacheren Parametersatz kommt das Ergebnis heraus, das im vorletzten Post steht. Das kann man umformen, und man erhält für delta keines, ein oder zwei Ergebnisse. Soweit könnte ich das noch berechnen, indem ich die Delta-Funktion weg lasse, und über diese 0 bis 2 Ergebnisse aufsummiere.
Beim komplizierteren Parametersatz sieht es aber schlecht aus. Dort gilt:
$0=\frac{1}{8} \left((2-6 \cos (\alpha )) \cos (\theta )-2 \sqrt{3} \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right) \sin (\theta ) \left(\sin \left(\frac{\alpha }{2}+\delta -\phi \right)+3 \sin \left(\frac{\alpha }{2}-\delta +\phi \right)\right)\right)$
Wenn ich das nach delta auflöse, erhalte ich je nach Parametern eine Division durch Null. Der Grund dafür ist, dass die Integrationsvariable hier nicht einen oder mehrere konkrete Werte annimmt, sondern einen oder mehrere Wertebereiche. D.h. auch, dass das Integral nicht wegfallen darf, und deshalb wird das Problem nur verschoben.
Könnte es sein, dass ein solches Integral nur numerisch lösbar ist?

Beitrag von **tomS** » 19. Dez 2014, 12:53

wie sieht den der gesamte Ausdruck nach partieller Integration aus?

Beitrag von **Skeltek** » 19. Dez 2014, 13:02

positronium hat geschrieben: Die beiden Vektoren sind normiert; relevant sind also nur Parameter zwischen -1...1, die auf -1, 0(weniger wichtig) oder 1 abgebildet werden sollen.

Habe mit Mathematica noch nie gearbeitet, aber ein paar der moderneren Implikationen von sign() in vielen Programmiersprachen geben nicht nur -1, 0 oder 1 zurück, sondern eine Zahl, deren Betrag ungleich 1 sein kann(ähnlich wie compare(), das auch nicht nur -1, 0 oder +1 bei kleiner, gleich oder größer zurück gibt). Ich würde mir da auf jeden Fall die Dokumentation deiner derzeitigen Softwareversion holen oder die Sign Funktion erstmal auf Funktionsweise testen. gut wäre es das Ergebniss von Sign zur Sicherheit zu normieren.
Übrigens wäre ich auch vorsichtig was das Anwenden auf Floats angeht, da diese niemals Null werden können.

Zu deinen normierten Vektoren:
Das Normieren eines Vektors "nahe Null" kann die wildesten Ergebnisse liefern. Wenn dich nur das Vorzeichen interessiert, lasse das vorherige normieren in jedem Fall weg. Skalarprodukt zwischen zwei normierten Vektoren wird dir ohnehin in der Regel des nicht-entarteten Falles eine Zahl ungleich 1 oder Null liefern.

Ich habe vor kurzem im Rahmen eines größeren Projektes eine Klasse mit Hilfsfunktionen zur Vektorrechnung erstellt. Übliche Fehlerquellen bei den meisten Leuten würde ich bei der Art von Programmiervorhaben auf fehlerhaft begriffene Syntax der vorimplementierten Funktionen, das normieren eines Vektors nahe Null oder einen Variablenüberlauf schieben.
z.B. habe ich statt sinf() an einer Stelle sin() verwendet, was als Fehler fast unauffindbar war.

Beim Determinieren des Arctan hatte ich das Problem, dass das Ergebniss bei Division nahe Null inakkurat wird. Hier half mir nur eine Fallunterscheidung für Winkel zwischen [-Pi/4,Pi/4], [Pi/4,3Pi/4], [3Pi/4,5Pi/4] und [5Pi/4,7Pi/4].
Zur Not würde ich das Problem rekursiv lösen, indem ich die einzelnen Summanden separat berechnen lasse und jeder Summand umgeht seine eigenen Problemstellen für sich.
Bei numerischen Berechnungen immer Polstellen bzw Division durch Null vermeiden.

Sorry, mit Mathematica kenne ich mich Null aus. Alles was ich tun kann ist die üblichen Fehlerquellen zu nennen.

Beitrag von **positronium** » 19. Dez 2014, 14:29

tomS hat geschrieben:wie sieht den der gesamte Ausdruck nach partieller Integration aus?

Ich nehme hier den komplizierteren Parametersatz, und führe ein paar Variablen ein:
Das Integral sieht am Anfang vom Prinzip her so aus
$\int_0^{2 \pi } Sign[(m[\alpha ,\delta ].v).u(\theta ,\phi )] \, (\ddot u + (m[\alpha ,\delta ].p).u(\theta ,\phi )) \, d\delta$
und ersetze den Ausdruck in Sign[] durch a, und den hinteren durch b:
$\int_0^{2 \pi } Sign[a] \, b \, d\delta$
$a=\frac{1}{8}((2-6Cos[\alpha])Cos[\theta]-$
$2\sqrt{3}Cos[\frac{\alpha}{2}]Sin[\theta](Sin[\frac{\alpha}{2}+\delta-\phi]+3Sin[\frac{\alpha}{2}-\delta+\phi]))$

Die Stammfunktion von b ist
$bs=\frac{1}{32 \ddot u}(32 {\ddot u}^2 \delta-6 \delta (-1+Cos[\alpha])Cos[\theta]+$
$\sqrt{3}(-6 Cos[\delta-\phi]+Cos[\alpha+\delta-\phi]-3Cos[\alpha-\delta+\phi])Sin[\theta])$

Nach der partiellen Integration hat man dann mit
$c=(Sign[a] bs |_{\delta=2\pi})-(Sign[a] bs |_{\delta=0})$
$=\frac{1}{8\ddot u}\pi(16 {\ddot u}^2-3(-1+Cos[\alpha])Cos[\theta])$
$Sign[(2-6 Cos[\alpha])Cos[\theta]-4\sqrt{3}Sin[\theta](Cos[\phi]Sin[\alpha]+Cos[\frac{\alpha}{2}]^2Sin[\phi])]$

$c-\int_0^{2 \pi } 2 DiracDelta[a] \, bs \, d\delta$

Jetzt müsste ich natürlich a=0 setzen, und das nach delta auflösen. Das ergibt mehrere Ergebnisse, die z.B. so aussehen:
$\delta=-\cos ^{-1}\left(\frac{2 (3 \cos (\alpha )-1) \cot (\theta ) \left(2 \tan \left(\frac{\alpha }{2}\right) \cos (\phi )+\sin (\phi )\right)+\sqrt{2} \sec ^2\left(\frac{\alpha }{2}\right) \csc (\theta ) \sqrt{12 \cos (\alpha )-9 \cos (2 \alpha )-16 \cos (2 \theta )+5} \left\left| \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\right\right| \left\left| \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right) \cos (\phi )-2 \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right) \sin (\phi )\right\right| }{2 \sqrt{3} (3 \cos (\alpha )-5)}\right)$

Beitrag von **positronium** » 19. Dez 2014, 14:34

Vielen Dank für Deine Ausführungen, Skeltek!
Das trifft aber alles nicht zu, weil ich in Mathematica symbolisch rechne. An der Rechengenauigkeit kann es also nicht liegen. Es ist ein Problem beim Integrieren.

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