tomS hat geschrieben: ↑18. Mai 2017, 20:20
Ich denke, ich weiß, worauf du hinauswillst: ich halte derartige Definitionen auch für problematisch, jedoch nicht zwingend für widersprüchlich. Dazu müsstest du erst beweisen, dass daraus zwei widersprüchliche Aussagen folgen.
Und viele Eigenschaften einer mathematischen Struktur werden in der Mathematik gerade nicht bei deren Aufbau = Definition berücksichtigt.
Bsp. 1: Mathematiker verwenden das Auswahlaxiom, ohne zu wissen, ob das daraus resultierende Axiomensystem widerspruchsfrei ist, und wohlwissend, dass im Falle überabzählbarer Mengen keine exliziten Beispiele möglich sind. Trotzdem wird das Auswahlaxiom für konkrete Beweise herangezogen.
Bsp. 2: Wiles u.a. haben den Modularitätssatz bewiesen, d.h. die Entsprechung zweier sehr unterschiedlicher mathematischen Strukturen: jeder elliptische Kurve entspricht eine Modulformen u.u.
Die Stärke der Mathematik besteht ja gerade darin, eine schlanke Definition zu finden, aus der reichhaltige Strukturen und Theoreme folgen.
Ja, das ist beachtenswert. Die Frage ist vielleicht auch: Welche Eigenschaften einer math. Struktur sollen/müssen bei deren Aufbau schon berücksichtigt sein, welche nicht?
Die Art und Weise wie wir Mathematik betreiben hängt auch mit uns selbst als Menschen zusammen, mit unserem gegebenen Wissen und unserer gegebenen Intelligenz.
Wären wir z.B. hyperintelligente Wesen, so würden wir viele Eigenschaften einer mathematischen Struktur bereits bei deren Aufbau überblicken können (die wir als beschränkte Menschen vielleicht erst nach 100 Jahren finden oder gar nie) und je nach dem, was wir wollen, bereits in die Definition einfließen lassen können.
Hallo Ralf,
dein Argument würde aber nicht mehr greifen, wenn man zuließe, dass gilt:
{}={{}}
welches sich aus dem von mir genannten
X = {X}
ergibt, nämlich dann, wenn X = {}
Unser Mengenbegriff, so wie wir ihn haben wollen, besagt nämlich nicht, dass zwei Mengen dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von Elementen enthalten, sondern dass sie dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von
wohlunterscheidbaren Elementen enthalten.
Mit {}={{}}={{{}}}= ... wäre aber genau das nicht mehr gegeben, womit z.B. gelten würde:
2= { {},{{}} } = { {},{} } = { {} } = 1 = {} = 0
... also muss X ≠ {X} gelten.
Ich habe aber in pippens Link (danke!) ein Beispiel für eine Menge gefunden, die sich selbst enthält:
B = {x|x ist kein Motorrad}
damit käme so etwas heraus:
B = {Äpfel, 1, Autos, B, ...}
... weil eine Menge B kein Motorrad ist.
Ausgesprochen besagt B: "Die Menge von
allem, was
kein Motorrad ist"
Diese Aussage benutzt also "alles" und mit "kein" eine Negation, ist somit auch eine Menge mit unendlich vielen Elementen.
Ich habe vor das noch weiter zu analysieren, ob diese Zutaten nötig sind, um eine Menge formulieren zu können, die sich selbst enthält, ob B überhaupt konsistent ist, usw.
Mich interessiert das gerade, mit Mengen, die sich selbst enthalten, beliebig geht das sicher nicht.
Später...