Cantor's Allmenge/Allklasse

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breaker
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 22. Dez 2014, 11:55

Meiner Meinung nach gibt es zwei Probleme:
1. denke ich, Du benutzt das Axiom falsch

2. ergibt es in Deiner Argumentation gar keinen Sinn, das Axiom überhaupt zu benutzen.

Begründung:
1. Wer sagt dir, dass Du A so definieren darfst, wie du es tust? Jedenfalls nicht das Aussonderungsaxiom.

2. Deine Argumentation läuft wie folgt:
a) Du nimmst an, dass es A gibt.
b) Unter dieser Annahme zeigst du nochmal, dass es A gibt, nennst es aber A'
c) Du zeigst, dass es A' nicht geben kann.

In obiger Arguimentation hat Schritt b) überhaupt keine Funktion und könnte auch weggelassen werden.
Im größeren Beweis, der zeigen soll, dass es keine Menge aller Mengen gibt, macht es keinen Sinn, die Annahme a) zu machen, da man in einem Widerspruchsbeweis nur eine Annahme machen sollte (sonst weiß man nicht, welche Annahme zum Widerspruch geführt hat).

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 22. Dez 2014, 17:45

Das Problem ist doch, dass sobald du eine Menge A1 postulierst, deren Elemente Mengen sein sollen, welche die Eigenschaft haben, sich nicht selbst zu enthalten, A nicht mehr wohldefiniert ist, weil unklar/widersprüchlich ist, ob A1 nun Element in A1 ist oder nicht. Ich sehe nicht, wie das Aussonderungsaxiom daran was ändern soll. Vielleicht sollten wir uns darauf konzentrieren und du solltest zeigen, wie und warum die obige Menge A1 konsistent und wohldefiniert eingeführt werden kann.

Denn das war ja wohl das Problem von toms, nämlich dass er glaubt, dass A1 schlicht keine konsistente und damit wohldefinierte Menge ist und da hat er nicht Unrecht. Ich glaube, dass ZFC gerade verhindert, dass man sowas wie A1 als Menge ansehen/einführen kann und dann klappt der Ursprungsbeweis mit A1 und A2 als Teilmengen von A nicht mehr.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 22. Dez 2014, 17:51

Pippen hat geschrieben:Das Problem ist doch, dass sobald du eine Menge A1 postulierst, deren Elemente Mengen sein sollen, welche die Eigenschaft haben, sich nicht selbst zu enthalten, ...
So wie ich das Aussonderungsaxiom verstehe, ist das keine zulässige Eigenschaft desselben, da es auf der Ebene der zu definierenden Menge selbst operiert. Es sollte aber ausschließlich auf Mengen angewandt werden, die bereits definiert bzw. konstruiert sind, bevor man sie verwendet.
Gruß
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 22. Dez 2014, 17:59

Mir gerät gerade alles ein bisschen zu sehr durcheinander. Bitte sagt mir beide nochmal, ob ihr den Beweis
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Sei nun E(x) = (x enthält sich nicht selbst) und sei A1 die Menge aller Elemente x von A, für die E(x) richtig ist. Nach dem Aussonderungsaxiom ist A1 eine wohldefinierte Menge (da nach Annahme A eine wohldefinierte Menge war).
4. Die Frage danach, in welcher der beiden Mengen A1 liegt, führt in jedem Fall zu einem Widerspruch. Also muss die Annahme falsch gewesen sein.
richtig findet oder nicht und falls nicht, welcher Schritt eurer Meinung nach falsch ist.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 22. Dez 2014, 18:11

Ich denke, dass der Schritt (3) nicht durch das Aussonderungsaxiom gedeckt ist:
tomS hat geschrieben:So wie ich das Aussonderungsaxiom verstehe, ist das keine zulässige Eigenschaft desselben, da es auf der Ebene der zu definierenden Menge selbst operiert. Es sollte aber ausschließlich auf Mengen angewandt werden, die bereits definiert bzw. konstruiert sind, bevor man sie verwendet.
Gruß
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 22. Dez 2014, 18:13

Verstehe ich nicht. Ich wende es doch nur auf Mengen an, die (nach Annahme) bereits existieren, nämlich die Elemente der Allmenge.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 22. Dez 2014, 22:04

Deine Eigenschaft ist, dass die Mengen sich selbst enthalten; das ist selbstreferentiell.

Schau dir mal folgende zwei Beispiele an:

G = {z aus Z: z = 0 mod 2}

A1 = {a aus A: a nicht Element von a}

Im ersten Fall geht es um die Menge der geraden Zahlen G, wobei Z als Menge der ganzen Zahlen sowie die Eigenschaft E(z) sich auf eine zuvor eindeutig definierte Menge Z beziehen.

Im zweiten Fall betrachtest du ein undefiniertes A und die Eigenschaft, dass Elemente a aus A sich nicht selbst enthalten, wobei weder A noch die Elemente a vorher definiert wurden.
Gruß
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 22. Dez 2014, 22:37

Moment, das sind zwei Kritikpunkte:

1. Die Menge A ist undefiniert

2. Die Eigenschaft E(x) ist selbstreferenziell.

Den ersten Punkt kann ich nicht nachvollziehen. Die Menge A existiert nach Annahme und ist definiert als Menge aller Mengen. Was will man mehr?

Zu 2.: Du sagst also, dass selbstreferenzielle Eigenschaften nicht im Aussonderungsaxiom erlaubt sind? Das könnte sein. Dazu kenne ich mich zu wenig mit Prädikatenlogik aus. Vielleicht sind selbstreferenzielle Eigenschaften keine Prädikate...

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 26. Dez 2014, 17:06

Ich sehe das wie toms.

Für diesen Beweis
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Sei nun E(x) = (x enthält sich nicht selbst) und sei A1 die Menge aller Elemente x von A, für die E(x) richtig ist. Nach dem Aussonderungsaxiom ist A1 eine wohldefinierte Menge (da nach Annahme A eine wohldefinierte Menge war).
4. Die Frage danach, in welcher der beiden Mengen A1 liegt, führt in jedem Fall zu einem Widerspruch. Also muss die Annahme falsch gewesen sein.
brauchst du eine konsistente und wohldefinierte Menge A1. Doch A1 ist nicht konsistent und wohldefiniert. Da brauchen wir gar nicht ins Aussonderungsaxiom zu schauen. Denn die Menge A1 ist hinsichtlich eines ihrer Elemente - nämlich A1 - widersprüchlich und damit nicht wohldefiniert. D.h. entweder das Aussonderungsaxiom ist selbst widersprüchlich oder es muss sowas wie A1 verbieten. Interessant wäre jetzt zu zeigen, wo und wie genau nach ZFC die Menge A1 unzulässig ist. Das müsste sich ja formal zeigen lassen. (Was mich bedenklich stimmt ist, dass der o.g. Beweis ja in seriösen Lehrbüchern steht, d.h. diese Leute wären Scharlatane, denn toms' Einwand ist ja (für einen Mathematiker) recht leicht einzusehen. Hm....)

Nun zestört das alles den o.g. Beweis. Denn wenn A1 selbst widersprüchlich ist, dann wissen wir nicht mehr, auf was der Widerspruch in 4. beruht: ist 1. schon widersprüchlich oder nicht und erst 3. Deshalb habe ich einen Beweis vorgeschlagen, der auch funktioniert, wenn A1 widersprüchlich ist (wenn nicht, dann funzt ja bereits der o.g. Beweis):
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. A1 ist aber keine Menge, weil ihre Elemente nicht wohldefiniert sind, weil A1 selbst Element von sich selbst und nicht Element von sich selbst ist (Russellsche Antinomie).
4. Nun gibt es aber wohldefinierte Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zB die Menge der nat. Zahlen bis 1 (IN_1), die Menge der nat. Zahlen bis 2 (IN_2) usw. usf. Wir können außerdem leicht sehen, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt.
5. Wegen 2. können wir damit A folgendermaßen disjunkt unterteilen: A2 v IN_1 v IN_2 v .... Da diese Kette unendlich ist und wir den shortcut über die Zusammenfassung (A1) der Mengen, sich sich nicht selbst enthalten, nicht haben, wird sich niemals die Forderung von 2. ergeben: A = A2 v IN_1 v IN_2 v ..., denn immer könnte man ein weiteres Disjunktionsglied anführen und damit zeigen, dass 2. nicht erfüllbar ist.
6. Damit widersprechen sich 5. und 2. und weil 2. letztlich aus 1. (und einigen grundlegenden mengentheoretischen Postulaten) folgt, muss daher 1. falsch sein.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 26. Dez 2014, 17:42

brauchst du eine konsistente und wohldefinierte Menge A1. Doch A1 ist nicht konsistent und wohldefiniert. Da brauchen wir gar nicht ins Aussonderungsaxiom zu schauen. Denn die Menge A1 ist hinsichtlich eines ihrer Elemente - nämlich A1 - widersprüchlich und damit nicht wohldefiniert. D.h. entweder das Aussonderungsaxiom ist selbst widersprüchlich oder es muss sowas wie A1 verbieten. Interessant wäre jetzt zu zeigen, wo und wie genau nach ZFC die Menge A1 unzulässig ist. Das müsste sich ja formal zeigen lassen. (Was mich bedenklich stimmt ist, dass der o.g. Beweis ja in seriösen Lehrbüchern steht, d.h. diese Leute wären Scharlatane, denn toms' Einwand ist ja (für einen Mathematiker) recht leicht einzusehen. Hm....)
Ich glaube, Du hast die Argumentation immer noch nicht verstanden.
Wie du richtig gesagt hast, kann A1 keine Menge sein. Der Witz am Beweis ist jetzt aber gerade, dass wenn es eine Allmenge gäbe, A1 doch eine Menge sein müsste (wegen dem Aussonderungsaxiom). Darin liegt der Widerspruch.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 28. Dez 2014, 17:23

breaker hat geschrieben:Wie du richtig gesagt hast, kann A1 keine Menge sein. Der Witz am Beweis ist jetzt aber gerade, dass wenn es eine Allmenge gäbe, A1 doch eine Menge sein müsste (wegen dem Aussonderungsaxiom). Darin liegt der Widerspruch.
Wäre damit aber nicht das Aussonderungsaxiom widersprüchlich? Denn es verhindert ja nicht, dass man eine Allmenge annimmt und das führt gerade zu einem Widerspruch?

I.Ü. will ich darauf hinweisen, dass wir hier die Allmenge naiv widerlegen wollen, d.h. ohne Potenzmengenbegriff und ohne besondere Axiome und da gilt toms' Einwurf in jedem Fall (Trotzdem finde ich die Diskussion um das Aussonderungsaxiom einen lehrreichen Umweg, so dass da gerne weiter zu geschrieben werden kann, wenn's nach mir geht.)

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 28. Dez 2014, 17:53

Pippen hat geschrieben:Wäre damit aber nicht das Aussonderungsaxiom widersprüchlich? Denn es verhindert ja nicht, dass man eine Allmenge annimmt und das führt gerade zu einem Widerspruch?
Hä? Warum muss ein Axiom widersprüchliche Annahmen verhindern??
I.Ü. will ich darauf hinweisen, dass wir hier die Allmenge naiv widerlegen wollen, d.h. ohne Potenzmengenbegriff und ohne besondere Axiome
Ich weiß nicht, ob das möglich ist.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 1. Jan 2015, 19:55

breaker hat geschrieben:Warum muss ein Axiom widersprüchliche Annahmen verhindern??
Deine Argumentation geht also grob gesagt so: Die Annahme einer Allmenge muss durch das Aussonderungsaxiom zu einer Menge A1 führen, die aber widersprüchlich ist. Da das Axiom als nicht widersprüchlich angenommen wird, muss es bereits die Annahme der Allmenge sein. Kann man das so zusammenfassen?
I.Ü. will ich darauf hinweisen, dass wir hier die Allmenge naiv widerlegen wollen, d.h. ohne Potenzmengenbegriff und ohne besondere Axiome
Ich weiß nicht, ob das möglich ist.
Hier meine Beweisidee auf ganz naiver Basis ohne Potenzmengen und ohne ZFC-Axiome:
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. A1 ist aber keine Menge, weil ihre Elemente nicht wohldefiniert sind, weil A1 selbst Element von sich selbst und nicht Element von sich selbst ist (Russellsche Antinomie).
4. Nun gibt es aber wohldefinierte Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zB die Menge der nat. Zahlen bis 1 (IN_1), die Menge der nat. Zahlen bis 2 (IN_2) usw. usf. Wir können außerdem leicht sehen, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt.
5. Wegen 2. können wir damit A folgendermaßen disjunkt unterteilen: A2 v IN_1 v IN_2 v .... Da diese Kette unendlich ist und wir den shortcut über die Zusammenfassung (A1) der Mengen, sich sich nicht selbst enthalten, nicht haben, wird sich niemals die Forderung von 2. ergeben: A = A2 v IN_1 v IN_2 v ..., denn immer könnte man ein weiteres Disjunktionsglied anführen und damit zeigen, dass 2. nicht erfüllbar ist.
6. Damit widersprechen sich 5. und 2. und weil 2. letztlich aus 1. (und einigen grundlegenden mengentheoretischen Postulaten) folgt, muss daher 1. falsch sein.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 17. Jan 2015, 15:45

Deine Argumentation geht also grob gesagt so: Die Annahme einer Allmenge muss durch das Aussonderungsaxiom zu einer Menge A1 führen, die aber widersprüchlich ist. Da das Axiom als nicht widersprüchlich angenommen wird, muss es bereits die Annahme der Allmenge sein. Kann man das so zusammenfassen?
Ja.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 22. Jan 2015, 23:55

Was hälst du von meiner Beweisidee wider der Allmenge ohne Potenzmengenbegriff und ohne ZFC-Axiome in meinem letzten Beitrag. Gibt es da eine Schwachstelle? Wäre dieser Beweis nicht "besser", weil er ursprünglicher ist und mit "weniger" auskommt?

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Mai 2017, 13:38

Alter Thread, aber ich wollte jetzt nicht extra etwas Neues dafür aufmachen...

Ich bin gerade wieder einmal auf die Russellsche Antinomie aufmerksam geworden und so ganz verstehe ich die Formulierung der Argumentation leider immer noch nicht, wobei ich das Barbier-Paradoxon wiederum verstehe.

Die Frage an der ich hänge ist die:

Es kommt in der Argumentation "Die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten" vor.
Aber gibt es das überhaupt, irgendeine "Menge, die sich selbst als Element enthält", ist nicht das schon widersprüchlich, ganz unabhängig von Russels Antimonie schon?
Mir fällt zu so einer Menge jedenfalls kein Beispiel ein, euch vielleicht?
Grüße
seeker


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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 18. Mai 2017, 14:05

Ich denke nicht, dass die Definition unmittelbar widersprüchlich ist; das ganze ist jedoch irgendwie nicht explizit konstruierbar.

Die beiden interessanten Mengen (eigtl. Klassen, den als Mengen wird das bekanntermaßen problematisch) sind ja

A = {X : X ∈ X}
 = {X : X ∉ X}

Ich kann das zunächst mal so definieren, ohne dass ich es explizit konstruieren muss (z.B. sind überabzählbare viele reelle Zahlen auch nicht konstruierbar oder berechenbar, deswegen aber nicht widersprüchlich)
Gruß
Tom

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Mai 2017, 15:34

tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 14:05
Ich kann das zunächst mal so definieren, ohne dass ich es explizit konstruieren muss
Ah, ok. Ich versuche ja die Vorgehensweise zu verstehen.
Aber stimmst du zu, dass jede Menge, die sich selbst enthält, widersprüchlich ist, dass also allgemein keine Mengen existieren, die sich selbst als Element enthalten?

Falls ja, komme ich damit zu meinem Kern-Punkt, der mich verwirrt:
Darf man etwas definieren (und damit sozusagen als existierend behandeln und hinterher damit auch noch argumentieren), von dem man von vorne herein weiß, dass es nicht existiert, da widersprüchlich?

... eben im Unterschied dazu:
tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 14:05
z.B. sind überabzählbare viele reelle Zahlen auch nicht konstruierbar oder berechenbar, deswegen aber nicht widersprüchlich
Noch zum Verständnis:
Da ich das Barbier-Paradoxon verstehe, zweifle ich hier nicht an der Richtigkeit der Aussage von Russels Antinomie, ich wundere mich nur, dass diese so dargestellt/erklärt/begründet wird, wie sie es eben wird.
Grüße
seeker


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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2017, 16:42

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 13:38
Es kommt in der Argumentation "Die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten" vor.
Aber gibt es das überhaupt, irgendeine "Menge, die sich selbst als Element enthält", ist nicht das schon widersprüchlich, ganz unabhängig von Russels Antimonie schon?
Hallo seeker,

betrachte "die Menge aller Mengen, die mit zehn Worten beschreibbar ist".

Sowohl die Menge "Die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten" als auch "die Menge aller Mengen, die mit zehn Worten beschreibbar ist" sind mit 10 Worten beschreibbar.

Somit ist erstere ein Element der zweiten.


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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 18. Mai 2017, 18:20

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 15:34
Aber stimmst du zu, dass jede Menge, die sich selbst enthält, widersprüchlich ist, dass also allgemein keine Mengen existieren, die sich selbst als Element enthalten?
Nicht ohne Beweis
seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 15:34
Darf man etwas definieren (und damit sozusagen als existierend behandeln und hinterher damit auch noch argumentieren), von dem man von vorne herein weiß, dass es nicht existiert, da widersprüchlich?
Ich sehe keinen Unterschied zu dem Fall, wo ich nicht weiß, ob etwas widersprüchlich ist oder nicht.

Was ändert sich für dich an der Definition der reellen Zahlen, wenn du erfahren solltest, dass sie widersprüchlich sind. Die Definition war formal korrekt, jedoch logisch inkonsistent. D.h. je nach philosophischem Standpunkt ändert sich deine Sichtweise auf die Existenz der reellen Zahlen, nicht jedoch auf deren Definition, außer dass du etwas mehr über sie erfährst: sie war und ist widersprüchlich.
Gruß
Tom

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2017, 18:32

tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 14:05
z.B. sind überabzählbare viele reelle Zahlen auch nicht konstruierbar
Hallo Tom,

was verstehst Du unter "konstruierbar": meinst Du mit Zirkel und Lineal und Einheits-Maßstab ?

Die Methode der Vervollständigung, also der Hinzunahme aller Grenzwerte von Cauchy-Folgen mit rationalen Folgengliedern, finde ich eigentlich noch ziemlich "gut", um die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen zu "konstruieren", und ist auch gleichwertig zu den Dedekind'schen Schnitten.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 18. Mai 2017, 19:23

Ich meine damit, dass wir zwar eine generische Definition aller reeller Zahlen angeben können, dass es jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt, die wir nicht explizit angeben können, weder mittels eines Algorithmus noch mittels Zirkel und Lineal (was wohl auf die algebraischen Zahken hinauslaufen würde), da die Menge aller Algorithmen oder aller Funktionen abzählbar ist, die Menge aller reellen Zahlen jedoch überabzählbar.
Gruß
Tom

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Mai 2017, 19:57

tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 18:20
Nicht ohne Beweis
Sei

X = {X}

somit ist auch

X = {X} = {{X}}

usw.

Das ist in meinem Gedankengang keine Frage des Beweises, sondern eine Frage darum, was man haben will oder auch nicht.
Wenn ich nicht möchte, dass X = {X} gilt, dann muss ich das schon beim Aufbau meiner mathematischen Struktur berücksichtigen und sicherstellen.*
Wenn ich mich so entschieden habe und das so definiert habe, dass nicht gelten soll X = {X}, dann muss nichts mehr bewiesen werden, dann darf ich aber auch in keiner Argumentation, die meine Struktur untersucht, Argumente verwenden, die auf der Existenz von X = {X} aufbauen.

(*: Wobei das vielleicht genau der Punkt zu Zeiten Russells war: Das war eben wohl damals nicht sauber definiert.)

Das ist für mich ein Unterschied zu dem Fall wo ich nicht oder noch nicht weiß, ob etwas widersprüchlich ist oder nicht, denn im o.g. Fall ist es offensichtlich. Verstehst du/ihr, was ich meine?

Und wenn man X = {X} zulassen würde, dann ginge z.B. das hier nicht mehr:

0 = {}
1 = { {} }
2 = { {},{{}} }
usw.

...denn dann würde gelten: 0 = 1 = 2 = 3 = ...

tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 18:20
Die Definition war formal korrekt, jedoch logisch inkonsistent.
Interessanter Punkt. Gibt es so etwas?
Ich habe daraufhin danach gesucht, wie Mengen und Elemente überhaupt definiert sind und habe überraschenderweise das hier gefunden:
Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert.
https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)
...das hat mich wirklich überrascht.

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2017, 16:42
Hallo seeker,

betrachte "die Menge aller Mengen, die mit zehn Worten beschreibbar ist".

Sowohl die Menge "Die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten" als auch "die Menge aller Mengen, die mit zehn Worten beschreibbar ist" sind mit 10 Worten beschreibbar.

Somit ist erstere ein Element der zweiten.
Sei
"die Menge aller Mengen, die mit zehn Worten beschreibbar ist" = Z

sei
"Die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten" = S

damit wäre nach deinen Worten:

Z = {Z, S, ...}

Ich halte das für widersprüchlich, ganz gleich was Z und S nun aussagen/vorschreiben, es sei denn S wäre {}.
Grüße
seeker


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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 18. Mai 2017, 20:14

https://www.youtube.com/watch?v=TWjHAEx ... ne&index=3

Wenn du Englisch kannst, dann schau dir das mal an, fand ich die beste Darstellung des Widerlegungsbeweises (bis zur 6. Minute, danach wird nur noch gezeigt, wie man das Paradox vermeidet, nämlich durch Einschränkung eines Mengenaxioms).

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 18. Mai 2017, 20:20

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 19:57
Wenn ich nicht möchte, dass X = {X} gilt, dann muss ich das schon beim Aufbau meiner mathematischen Struktur berücksichtigen und sicherstellen.

Ich halte das für widersprüchlich ...
Ich denke, ich weiß, worauf du hinauswillst: ich halte derartige Definitionen auch für problematisch, jedoch nicht zwingend für widersprüchlich. Dazu müsstest du erst beweisen, dass daraus zwei widersprüchliche Aussagen folgen.

Und viele Eigenschaften einer mathematischen Struktur werden in der Mathematik gerade nicht bei deren Aufbau = Definition berücksichtigt.

Bsp. 1: Mathematiker verwenden das Auswahlaxiom, ohne zu wissen, ob das daraus resultierende Axiomensystem widerspruchsfrei ist, und wohlwissend, dass im Falle überabzählbarer Mengen keine exliziten Beispiele möglich sind. Trotzdem wird das Auswahlaxiom für konkrete Beweise herangezogen.

Bsp. 2: Wiles u.a. haben den Modularitätssatz bewiesen, d.h. die Entsprechung zweier sehr unterschiedlicher mathematischen Strukturen: jeder elliptische Kurve entspricht eine Modulformen u.u.

Die Stärke der Mathematik besteht ja gerade darin, eine schlanke Definition zu finden, aus der reichhaltige Strukturen und Theoreme folgen.
Gruß
Tom

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