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Cantor's Allmenge/Allklasse

Mathematische Fragestellungen
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seeker
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Dez 2014, 15:50

Ja, das erscheint schon schlüssig. Ich habe bei Wiki auch schon reingeschaut.

Meine davon unabhängige Frage (die mich neben der ursprünglichen Frage halt auch interessiert) sehe ich damit aber noch nicht beantortet:
Kann eine Menge (also nach ZFC oder anderen Axiomensystemen) sich selbst als Element enthalten?
Oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? :?

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Fuzzlix
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Fuzzlix » 18. Dez 2014, 16:51

seeker hat geschrieben:Meine davon unabhängige Frage (die mich neben der ursprünglichen Frage halt auch interessiert) sehe ich damit aber noch nicht beantortet:
Kann eine Menge (also nach ZFC oder anderen Axiomensystemen) sich selbst als Element enthalten?
Oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? :?
Ich habe ja keine Ahnung von Mengenlehre eher bischen vom Programmieren. Da würde ich dann fragen, ob es möglich ist eine bestimmte Menge in ebendiese Menge einzufügen, wenn diese Menge noch gar nicht (fertig) definiert ist? Das wirkt auf mich wie ein Zirkelschluss.

Andererseits könnte man fragen, ob sich nicht die leere Menge als Teilmenge selbst enthält? Das wäre dann aber die einzige Ausnahme oder?

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Sagt das eine Nichts zum anderen "Ich bin nicht du."

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 18. Dez 2014, 17:35

@Pippen:
Dein Schritt von 1. auf 2. funktioniert nicht. Wie ich schon geschrieben habe, kannst du nur eine Menge über die Eigenschaften ihrer Elemente definieren, wenn es eine umgebende Menge (z.B. die Menge aller Mengen) gibt.

@Tom:
Du hast natürlich Recht. Trotzdem ist es doch interessant, zu verstehen, wie genau der Beweis gegen die Menge aller Mengen aus den Axiomen folgt.

@Seeker:
Stimmt, ich hatte Deine Frage fast vergessen. Ich hab keine solche Menge im Kopf, aber ich werd mal nachschauen, ob ich irgendwo was finde...

@Fuzzlix:
Nein, die leere Menge enthält sich nicht selbst.

Skeltek
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Skeltek » 18. Dez 2014, 18:26

seeker hat geschrieben: Meine davon unabhängige Frage (die mich neben der ursprünglichen Frage halt auch interessiert) sehe ich damit aber noch nicht beantortet:
Kann eine Menge (also nach ZFC oder anderen Axiomensystemen) sich selbst als Element enthalten?
Ja, und zwar genau so:
Fuzzlix hat geschrieben: wie ein Zirkelschluss.
Prinzipiell ist jedes Hirngespinst oder Konstrukt möglich, solange es so sinnfrei ist, dass es sich selbst nicht widersprechen kann.
Widersprüchlich setzt a priori ohnehin voraus, dass es mehrere Sinngehalte gibt, die sich gegenseitig nicht vertragen.
Fuzzlix hat geschrieben: Andererseits könnte man fragen, ob sich nicht die leere Menge als Teilmenge selbst enthält? Das wäre dann aber die einzige Ausnahme oder?
Wieso? Die leere Menge ist doch die Allmenge abzüglich des Restes der Menge.
Welches Kalkül ordnet ihr der Begrifflichkeit denn zu?
Die leere Menge ist das Komplement der Menge der restlichen Elemente.
So wie der Lösungsraum von z.B. Wurzel(-1) in den reelen Zahlen die leere Menge ergibt.
Es ist meinem persönlcihen Weltbild nach lediglich eine Verknüpfung in den Rest einer unbekannten Obermenge.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 18. Dez 2014, 20:41

breaker hat geschrieben:@Pippen:
Dein Schritt von 1. auf 2. funktioniert nicht. Wie ich schon geschrieben habe, kannst du nur eine Menge über die Eigenschaften ihrer Elemente definieren, wenn es eine umgebende Menge (z.B. die Menge aller Mengen) gibt.
1. Axiom: Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge X gibt es eine Menge Y, die genau diejeniger Elemente von X enthält, auf die E zutrifft.
2. Folgerung: Es sei die Menge X gegeben mit folgenden Elementen (E): alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Diese Elemente (E) enthält Y.

Ist das soweit in Ordnung für dich? ME folgt 2. lupenrein aus 1. Das Problem lautet nun: Wg. 1. muss Y alle Elemente (E) von X enthalten. Es ist aber vollkommen unklar, weil widersprüchlich, ob X Element von X ist und damit Element von Y. Außerdem steckt eben in 2. ein Widerspruch, nämlich die Russellsche Antinomie. Da aber 2. eine Anwendung von 1. ist, muss auch 1. widersprüchlich sein.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 18. Dez 2014, 21:21

@Pippen: Du darfst die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, eben nicht einfach definieren. Das ist das Problem.

@Seeker: Laut Wikipedia gibt es wohl in ZFC tatsächlich KEINE Menge, die sich selbst enthält.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 18. Dez 2014, 22:10

breaker hat geschrieben:@Pippen: Du darfst die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, eben nicht einfach definieren. Das ist das Problem.
Ich sehe das Problem viel grundlegender. Dein Axiom sagt klipp und klar: Zu JEDER/BELIEBIGER Eigenschaft E und JEDER/BELIEBIGER Menge X gibt es eine Menge Y, die diejenigen Elemente von X enthält, auf die E zutrifft. Ich kann also aufgrund dieses Axioms die Menge X mit der Eigenschaft E = "alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten" konstruieren. Das Axiom sagt mir dann klipp und klar, dass Y alle Elemente von X mit der Eigenschaft E enthält. Wir wissen aber, dass X in X und X nicht in X enthalten ist, so dass X in Y und X nicht in Y enthalten wäre, so dass ein Widerspruch auftritt, obwohl wir das Axiom korrekt angewendet haben. Das Axiom muss daher widersprüchlich sein.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Dez 2014, 22:37

@breaker: Danke!
Ich glaube damit wird die genannte Unterteilung sinnlos.
Pippen hat geschrieben:Ich sehe das Problem viel grundlegender. Dein Axiom sagt klipp und klar: Zu JEDER/BELIEBIGER Eigenschaft E und JEDER/BELIEBIGER Menge X gibt es eine Menge Y, die diejenigen Elemente von X enthält, auf die E zutrifft.
Die Frage ist aus meiner Sicht hier: Was ist eine beliebige Eigenschaft?
Muss eine beliebige Eigenschaft (bzw. besser: ein Eigenschaftspaar) existieren, damit ich es verwenden kann oder muss es das nicht?

Kann ich die Menge der natürlichen Zahlen in zwei Teilmengen unterteilen A= "nat. Zahlen die gut tanzen können" und B = "nat. Zahlen die nicht gut tanzen können"?
Ich würde doch sagen: In dem Fall sind beide sog. Teilmengen von N leer und damit eben keine Teilmengen von N.

Damit würde ich sagen, man muss genauer definieren: "Zu jeder beliebigen, existierenden Eigenschaft E von einer beliebigen, existierenden Menge X ... usw."

Einwände?

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 18. Dez 2014, 23:15

Pippen hat geschrieben:Dein Axiom sagt klipp und klar: Zu JEDER/BELIEBIGER Eigenschaft E und JEDER/BELIEBIGER Menge X gibt es eine Menge Y, die diejenigen Elemente von X enthält, auf die E zutrifft. Ich kann also aufgrund dieses Axioms die Menge X mit der Eigenschaft E = "alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten" konstruieren.
Wer sagt dir, dass du Mengen über die Eigenschaften ihrer Elemente definieren darfst? Niemand. Nur das Axiom. Das Axiom sagt aber, dass du das nur darfst, wenn deine gewählte Eigenschaft dazu benutzt wird, Elemente aus einer bereits bestehenden Menge auszuwählen.
Das tust du bei deiner Menge X aber nicht. Die kommt aus dem Nichts. Das ist nicht durch ein Axiom gedeckt.
seeker hat geschrieben:Kann ich die Menge der natürlichen Zahlen in zwei Teilmengen unterteilen A= "nat. Zahlen die gut tanzen können" und B = "nat. Zahlen die nicht gut tanzen können"?
Das ist witzlos, solange Du nicht definiert hast, wann eine Zahl gut tanzen kann. Wenn man Begriffe benutzt, deren Bedeutung man nicht definiert hat, kann man natürlich jede Menge Blödsinn anstellen.
seeker hat geschrieben:Ich würde doch sagen: In dem Fall sind beide sog. Teilmengen von N leer und damit eben keine Teilmengen von N.
Die leere Menge ist übrigens Teilmenge jeder Menge.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 18. Dez 2014, 23:27

breaker hat geschrieben:Das ist witzlos, solange Du nicht definiert hast, wann eine Zahl gut tanzen kann. Wenn man Begriffe benutzt, deren Bedeutung man nicht definiert hat, kann man natürlich jede Menge Blödsinn anstellen.
Ja, ok. Dann muss man schauen, was in ZFC definiert ist. Wenn ZFC aber keine Mengen hergibt die sich selbst als Element enthalten ist eben auch der besprochene Beweis mit den Mengen die sich selbst enthalten/nicht selbst enthalten witzlos - nicht?
So war meine Argumentation gemeint. Und eben das meinte ich mit "existierend", was du so beschreibst, dass man Begriffe benutzen muss, deren Bedeutung man auch definiert hat.
Ist dasselbe Argument...
breaker hat geschrieben:Die leere Menge ist übrigens Teilmenge jeder Menge.
OK. Falsche Wortwahl meinerseits. Was ich meinte war, dass im Beispiel nicht gilt, dass A und B zusammengenommen N ergeben.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 18. Dez 2014, 23:42

seeker hat geschrieben:Dann muss man schauen, was in ZFC definiert ist. Wenn ZFC aber keine Mengen hergibt die sich selbst als Element enthalten ist eben auch der besprochene Beweis mit den Mengen die sich selbst enthalten/nicht selbst enthalten witzlos - nicht?
Nein, im Gegenteil. Das ist gerade der Witz am Beweis. Der Beweis geht ja so:
Angenommen, es gäbe eine Menge aller Mengen. Dann gäbe es auch die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Das geht aber nicht, weil ZFC solch eine Menge nicht hergibt. Widerspruch.
seeker hat geschrieben:OK. Falsche Wortwahl meinerseits. Was ich meinte war, dass im Beispiel nicht gilt, dass A und B zusammengenommen N ergeben.
Sorry wenn ich da pingelig war. Ich wusste echt nicht, was du genau meinst. Jetzt ist die Aussage klar.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 18. Dez 2014, 23:50

Aha, d.h. die beiden Voraussetzungen sind wohl unabhängig voneinander.

Axiom:
1. Voraussetzung: eine beliebige Eigenschaft E
2. Voraussetzung: eine beliebige Menge X
---------------------------------------------------------
3. Folge: Es gibt eine Menge Y, die alle Elemente von X mit der Eigenschaft E enthält.

zu 1. Da es um eine beliebige Eigenschaft E geht, können wir definieren: E = alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten.

zu 2. Wir nehmen einfach eine Menge X an.

zu 3. Die Menge Y soll nun alle Elemente von X mit der Eigenschaft E enthalten, also alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Zur Not wäre es die leere Menge. Ist auch X ein solches Element? Wenn ja, dann ist also X eine Menge, die sich nicht selbst enthält, wenn nein, dann ist X eine Menge, die sich selbst enthält. Kein Widerspruch. Wie sieht es mit dieser Interpretation aus?

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 18. Dez 2014, 23:54

Axiom:
1. Voraussetzung: eine beliebige Eigenschaft E
2. Voraussetzung: eine beliebige Menge X
---------------------------------------------------------
3. Folge: Es gibt eine Menge Y, die alle Elemente von X mit der Eigenschaft E enthält.
Das klingt richtig. Den Rest schau ich mir morgen genauer an.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 20. Dez 2014, 14:25

@breaker: Siehe mein vorletzter Beitrag. Habe ich da das Axiom richtig verstanden?

Und dann nochmal zurück zu diesem Beweis, um den Faden nicht zu verlieren:
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in zwei disjunkte Teilmengen A1 und A2. A1 sind alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten.
3. Auch A1 müsste Element einer der beiden Mengen A1 oder A2 sein.
4. Würde A1 sich selbst enthalten, dann würde es sich nicht selbst enthalten. Also muss A1 Element von von A2 sein. Dann müsste es sich selbst enthalten, aber das ist nach dem vorigen Satz unmöglich.
5. A1 ist also weder Element von A1 noch von A2. Das widerspricht 2.
6. Da also die Annahme in 1. zu einem Widerspruch (2. <-> 5.) führt, muss sie falsch sein.
Du hattest ursprünglich Zweifel angemeldet. Wie siehst du das mittlerweile? Ist das ein korrekter Beweis wider der Allmenge? Interessant wäre auch, warum man damit nicht auch eine Allklasse widerlegen kann (d.h. man setzte statt "Allmenge" einfach "Allklasse" ein).

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 20. Dez 2014, 14:35

Der Beweis, dass A1 (als Menge) nicht existieren kann, ist m.E. korrekt. A1 kann also keine Menge sein. Demnach kann und darf A dieses A1 auch gar nicht enthalten. Du hast also lediglich gezeigt, dass A - wenn es denn existiert - sicher nichts von der Form A1 enthält. Damit fallen A und A2 zusammen, und die Menge aller Mengen, nämlich A, enthält sich selbst (was sie sie ja auch muss, da sie eine Menge ist und da sie alle Mengen und somit auch sich selbst enthalten muss).

Wohlgemerkt, du hast nicht gezeigt, dass A bzw. A2 existieren. Du hast lediglich gezeigt, dass sie nur unter der Voraussetzung existieren, dass A1 nicht existiert.
Gruß
Tom

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 20. Dez 2014, 15:10

Pippen hat geschrieben:@breaker: Siehe mein vorletzter Beitrag. Habe ich da das Axiom richtig verstanden?

Und dann nochmal zurück zu diesem Beweis, um den Faden nicht zu verlieren:
1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in zwei disjunkte Teilmengen A1 und A2. A1 sind alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten.
3. Auch A1 müsste Element einer der beiden Mengen A1 oder A2 sein.
4. Würde A1 sich selbst enthalten, dann würde es sich nicht selbst enthalten. Also muss A1 Element von von A2 sein. Dann müsste es sich selbst enthalten, aber das ist nach dem vorigen Satz unmöglich.
5. A1 ist also weder Element von A1 noch von A2. Das widerspricht 2.
6. Da also die Annahme in 1. zu einem Widerspruch (2. <-> 5.) führt, muss sie falsch sein.
Ich bin mittlerweile der Meinung, dass der Beweis korrekt ist.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 20. Dez 2014, 21:52

tomS hat geschrieben:Der Beweis, dass A1 (als Menge) nicht existieren kann, ist m.E. korrekt. A1 kann also keine Menge sein. Demnach kann und darf A dieses A1 auch gar nicht enthalten. Du hast also lediglich gezeigt, dass A - wenn es denn existiert - sicher nichts von der Form A1 enthält. Damit fallen A und A2 zusammen, und die Menge aller Mengen, nämlich A, enthält sich selbst (was sie sie ja auch muss, da sie eine Menge ist und da sie alle Mengen und somit auch sich selbst enthalten muss).

Wohlgemerkt, du hast nicht gezeigt, dass A bzw. A2 existieren. Du hast lediglich gezeigt, dass sie nur unter der Voraussetzung existieren, dass A1 nicht existiert.
Ok, dann beweise ich dir jetzt noch genauer, dass die Allmenge nicht existieren kann. Ich will diesen Beweis so naiv und voraxiomatisch wie möglich führen. breaker überzeugt mein Beweis zB nur deshalb, weil er dieses komische ZFC-Axiom im Hintergrund annimmt. Nur deshalb akzeptiert er, was du nicht akzeptierst, nämlich, dass A1 eine Menge sein kann. (Ich hoffe, ich habe das richtig verstanden).

Also gut, here we go (der Beweis ist selbstverständlich informell und soll vor allem den Beweisgedanken transportieren):

1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. A1 ist aber keine Menge, weil ihre Elemente nicht wohldefiniert sind, weil A1 selbst Element von sich selbst und nicht Element von sich selbst ist (Russellsche Antinomie).
4. Nun gibt es aber wohldefinierte Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zB die Menge der nat. Zahlen bis 1 (IN_1), die Menge der nat. Zahlen bis 2 (IN_2) usw. usf. Wir können außerdem leicht sehen, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt.
5. Wegen 2. können wir damit A folgendermaßen disjunkt unterteilen: A2 v IN_1 v IN_2 v .... Da diese Kette unendlich ist und wir den shortcut über die Zusammenfassung (A1) der Mengen, sich sich nicht selbst enthalten, nicht haben, wird sich niemals die Forderung von 2. ergeben: A = A2 v IN_1 v IN_2 v ..., denn immer könnte man ein weiteres Disjnktionsglied anführen und damit zeigen, dass 2. nicht erfüllbar ist.
6. Damit widersprechen sich 5. und 2. und weil 2. letztlich aus 1. (und einigen grundlegenden mengentheoretischen Postulaten) folgt, muss daher 1. falsch sein.
q.e.d.?

Skeltek
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Skeltek » 21. Dez 2014, 11:50

Eine Menge, die sich selbst enthält wäre keine Menge, da sie der Definition von Menge widerspricht. Allein das Wort "enthalten" wäre völlig sinnentzogen.
Dass Elemente beliebige Eigenschaften haben dürfen bedeutet nicht, dass du ihnen widersprüchliche oder nicht existente Eigenschaften zuordnen kannst.
Ich kann weder eine rote Farbe kreieren, die nicht rot ist, noch kann ich ein Volumen definieren, das größer ist als es selbst.
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 21. Dez 2014, 15:12

Pippen hat geschrieben: 1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. A1 ist aber keine Menge, weil ihre Elemente nicht wohldefiniert sind, weil A1 selbst Element von sich selbst und nicht Element von sich selbst ist (Russellsche Antinomie).
4. Nun gibt es aber wohldefinierte Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zB die Menge der nat. Zahlen bis 1 (IN_1), die Menge der nat. Zahlen bis 2 (IN_2) usw. usf. Wir können außerdem leicht sehen, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt.
5. Wegen 2. können wir damit A folgendermaßen disjunkt unterteilen: A2 v IN_1 v IN_2 v .... Da diese Kette unendlich ist und wir den shortcut über die Zusammenfassung (A1) der Mengen, sich sich nicht selbst enthalten, nicht haben, wird sich niemals die Forderung von 2. ergeben: A = A2 v IN_1 v IN_2 v ..., denn immer könnte man ein weiteres Disjnktionsglied anführen und damit zeigen, dass 2. nicht erfüllbar ist.
6. Damit widersprechen sich 5. und 2. und weil 2. letztlich aus 1. (und einigen grundlegenden mengentheoretischen Postulaten) folgt, muss daher 1. falsch sein.
q.e.d.?
Meiner Ansicht nach geht der Beweis anders:

1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. Nach dem von mir oben zitierten Axiom ist A[down]1[/down] eine Menge.
4. Die Frage danach, in welcher der beiden Mengen A[down]1[/down] liegt, führt in jedem Fall zu einem Widerspruch. Also muss die Annahme falsch gewesen sein.

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 21. Dez 2014, 17:23

breaker hat geschrieben:4. Die Frage danach, in welcher der beiden Mengen A[down]1[/down] liegt, führt in jedem Fall zu einem Widerspruch. Also muss die Annahme falsch gewesen sein.
Welche Annahme? 1. oder 3.?

Ihr wollt 1. auf einen Widerspruch führen, verwendet dazu aber ein Objekt A1
breaker hat geschrieben:3. ... A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. Nach dem von mir oben zitierten Axiom ist A[down]1[/down] eine Menge.
von dem wir wissen, dass es inkonsistent ist.

Das halte ich für problematisch.
Gruß
Tom

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 21. Dez 2014, 18:36

breaker hat geschrieben:
Meiner Ansicht nach geht der Beweis anders:

1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. Nach dem von mir oben zitierten Axiom ist A[down]1[/down] eine Menge.
4. Die Frage danach, in welcher der beiden Mengen A[down]1[/down] liegt, führt in jedem Fall zu einem Widerspruch. Also muss die Annahme falsch gewesen sein.
Nach dem von dir zitierten Axiom gäbe es aber sofort neben A1 eine weitere Menge A1', d.h. A1 wäre keine (All-) Menge aller sich selbst nicht enthaltenden Mengen mehr und das widerspräche der Definition von A1. Toms hat schon nicht Unrecht, wenn er moniert, dass offen bleibt, ob nicht die Widersprüchlichkeit allein durch A1 verursacht wird. Deshalb habe ich einen Beweis vorgeschlagen, der ganz ohne die Russellsche Menge auskommt:
Pippen hat geschrieben: 1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in disjunkte Teilmengen, die zusammen A ergeben.
3. Wir unterteilen demnach A erstmal in die disjunkten Teilemgen A1 und A2. A1 seien alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten. A1 ist aber keine Menge, weil ihre Elemente nicht wohldefiniert sind, weil A1 selbst Element von sich selbst und nicht Element von sich selbst ist (Russellsche Antinomie).
4. Nun gibt es aber wohldefinierte Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zB die Menge der nat. Zahlen bis 1 (IN_1), die Menge der nat. Zahlen bis 2 (IN_2) usw. usf. Wir können außerdem leicht sehen, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt.
5. Wegen 2. können wir damit A folgendermaßen disjunkt unterteilen: A2 v IN_1 v IN_2 v .... Da diese Kette unendlich ist und wir den shortcut über die Zusammenfassung (A1) der Mengen, sich sich nicht selbst enthalten, nicht haben, wird sich niemals die Forderung von 2. ergeben: A = A2 v IN_1 v IN_2 v ..., denn immer könnte man ein weiteres Disjnktionsglied anführen und damit zeigen, dass 2. nicht erfüllbar ist.
6. Damit widersprechen sich 5. und 2. und weil 2. letztlich aus 1. (und einigen grundlegenden mengentheoretischen Postulaten) folgt, muss daher 1. falsch sein.
q.e.d.?

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 21. Dez 2014, 18:58

TomS hat geschrieben:Welche Annahme? 1. oder 3.?
Wegen des Aussonderungsaxioms ist 3. keine Annahme, sondern eine Folgerung.
( http://de.wikipedia.org/wiki/Aussonderungsaxiom )

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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 21. Dez 2014, 20:53

breaker hat geschrieben:
TomS hat geschrieben:Welche Annahme? 1. oder 3.?
Wegen des Aussonderungsaxioms ist 3. keine Annahme, sondern eine Folgerung.
( http://de.wikipedia.org/wiki/Aussonderungsaxiom )
Ich habe nach wie vor Probleme, dieses Axiom zu verstehen. Dieses Axiom besagt: Für jede Menge A existiert mind. eine Menge A', die genau diejenigen Elemente x aus A enthält, die eine bestimmte Eigenschaft E(x) haben. Sei E(x) = "Mengen, die sich nicht selbst enthalten". Sei A die Menge mit den Elementen x mit der Eigenschaft: Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Dann müsste also A' alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, beinhalten. Frage: Was ist mit A? Ist diese Menge in A' ?

breaker
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von breaker » 21. Dez 2014, 22:28

Pippen hat geschrieben:Sei E(x) = "Mengen, die sich nicht selbst enthalten"
Sorry, wenn ich pingelig bin, aber es muss heißen E(x)=(x enthält sich nicht selbst). Sonst hat man auf der linken Seite ein x und auf der rechten nicht. Das ergäbe keinen Sinn.
Pippen hat geschrieben:Sei A die Menge mit den Elementen x mit der Eigenschaft: Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Dann müsste also A' alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, beinhalten.
Warum definierst Du A und A' als Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten? Das ergibt für mich nicht wirklich Sinn.

Pippen
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von Pippen » 22. Dez 2014, 08:34

Ok, dann mal so formuliert:

Das Aussonderungsaxiom sagt: Für jede Menge A existiert mind. eine Menge A', die genau diejenigen Elemente x aus A enthält, die eine bestimmte Eigenschaft E(x) haben. Sei E(x)="x enthält sich nicht selbst", sei A die Menge, deren Elemente die Eigenschaft E(x) haben. Dann sagt mir das Aussonderungsaxiom, dass es eine Menge A' gibt, die alle Elemente aus A enthält. Es bleibt aber doch dabei, dass A widersprüchlich ist, weil sich A sowohl selbst als auch nicht selbst enthalten würde. Damit kann auch A' keine wohldefinierte Menge mehr sein, weil offen bliebe, ob A in A' ein Element ist. Wieso bzw. wo ist diese Überlegung falsch?

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