Wahrheit und Beweisbarkeit

[Pippen]

Ich arbeite gewöhnlich mit folgendem System: Eine Aussage A ist wahr oder falsch. Davon zu trennen ist die Frage, ob ich das wissen kann, d.h. ob ich den angenommenen Wahrheitswert von A beweisen kann. Es gibt also danach: wahre beweisbare, wahre unbeweisbare, falsche beweisbare und falsche unbeweisbare Aussagen. Trennt die Mathematik ebenfalls zwischen Wahrheitswert und Beweisbarkeit oder gibt es da verschiedene Schulen?

In der Mathematik wäre dann eine wahre Aussage jene, die der Fall wäre, d.h. die aus irgendwelchen Axiomen nach irgendwelchen Ableitungsregeln gewonnen werden könnte, entsprechend eine falsche, die nicht aus den Axiomen und Ableitungsregeln folgt bzw. wo deren Negation aus den Axiomen/Ableitungsregeln folgt. Beweisbarkeit wäre lediglich das faktische Aufzeigenkönnen der Ableitung aus den Axiomen mit den Ableitungsregeln. Gödel's Satz "Ich bin unbeweisbar (iSv: ich kann nicht aus den Axiomen/Ableitungsregeln gewonnen werden)" wäre dann ein wahrer Satz, soweit er aus den Axiomen/Ableitungsregeln gewonnen wurde. Er wäre aber faktisch unbeweisbar, so dass seine Wahrheit für uns nicht erkennbar wäre.

[tomS]

Zunächst mal zum ersten Absatz: ja, die Mathematik geht im Wesentlichen genauso vor.

Nehmen wir ein Axiomensystem X sowie eine Aussage A. Beweisbar bedeutet, dass eine (im Rahmen von X) formal korrekte Ableitung = ein Beweis B(A) von A existiert. Unbeweisbar bedeutet, dass dieser Beweis nicht existiert, was aber bewiesen werden muss! D.h. im letzten Fall existiert ein Beweis B' der beweist, dass kein Beweis B existieren kann. Das gilt im Falle von Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz.

Zum zweiten Absatz: Wahrheit und Beweisbarkeit sind dann identisch, wenn das Axiomensystem X widerspruchsfrei ist. Ist das Axiomensystem dagegen nicht widerspruchsfrei, dann werden im allgemeinen zwei Beweise existieren, aus denen sowohl A als auch ~A, d.h. "A ist beweisbar" und "nicht-A ist ebenfalls beweisbar" folgt. In einem nicht widerspruchsfreien Axiomensystem sind alle Sätze beweisbar, aber es ist natürlich sinnlos, noch von wahr oder falsch zu reden.

Dein allerletzter Satz ist so nicht korrekt. Die Wahrheit des zweiten Gödelschen Satzes, nämlich seine Unbeweisbarkeit, ist für uns sehr wohl erkennbar, nicht jedoch innerhalb des Axiomensystems.

Zur Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen: Es gibt Fälle, in denen diese bewiesen werden kann. Z.B. sind Axiomensysteme zur Logik typischerweise beweisbar widerspruchsfrei. Es gibt jedoch auch Fälle, in denen dies (beweisbar) nicht bewiesen werden kann, z.B. für Axiomensysteme der Arithmetik.

[Pippen]

Die Wahrheit des zweiten Gödelschen Satzes, nämlich seine Unbeweisbarkeit, ist für uns sehr wohl erkennbar, nicht jedoch innerhalb des Axiomensystems.

Innerhalb des Axiomensystems gilt mE: Der Satz ist wahr oder falsch - wir wissen es nicht - denn er ist unbeweisbar, weil er sonst widersprüchlich würde.

Mich interessieren nochmal die genauen Definitionen:

Eine Aussage "A" ist wahr gdw. A. A wiederum kann in der modernen Mathematik nur der Fall sein, wenn es aus den Axiomen regelgerecht abgeleitet wurde, daher kann man verkürzt sagen: Eine Aussage "A" ist wahr, wenn sie korrekt abgeleitet wurde.

Eine Aussage "A" ist beweisbar gdw. wenn die korrekte Ableitung (die sie wahr macht) gezeigt werden kann.

Kann man das so auf den Punkt bringen?

[tomS]

Innerhalb des Axiomensystems gilt mE: Der Satz ist wahr oder falsch - wir wissen es nicht - denn er ist unbeweisbar, weil er sonst widersprüchlich würde.

Ich habe doch oben klargestellt, dass i.A. der Schluss von Wahrheit auf Beweisbarkeit u.u. nicht unbedingt sinnvoll ist.

Eine Aussage "A" ist wahr gdw. A. A wiederum kann in der modernen Mathematik nur der Fall sein, wenn es aus den Axiomen regelgerecht abgeleitet wurde, daher kann man verkürzt sagen: Eine Aussage "A" ist wahr, wenn sie korrekt abgeleitet wurde.

Dann ist sie beweisbar, aber noch nicht zwingend wahr; s.o.

Eine Aussage "A" ist beweisbar gdw. wenn die korrekte Ableitung gezeigt werden kann.

Ja.

[Pippen]

Definiere doch mal Wahrheit und Beweisbarkeit! Du scheinst mir nämlich das, was ich als Wahrheit ansehe als Beweisbarkeit anzusehen.

Eine math. Aussage "A" ist wahr gdw. ... (???)

Eine math. Aussage "A" ist beweisbar gdw. ... (A innerhalb eines Axiomensystems nach vordefinierten Schlussregeln abgeleitet werden kann???)

[tomS]

Bzgl. deiner Definition von Beweisbarkeit stimme ich dir zu: Eine Aussage ist gdw beweisbar, wenn sie aus den Axiomen nach gültigen Schlussregeln formal korrekt abgeleitet werden kann.

Wie wir seit Gödel wissen, ist jedoch die Gleichsetzung von Wahrheit und Beweisbarkeit problematisch, da es offensichtlich wahre, jedoch unbeweisbare Sätze gibt. Nach Wikipedia:

Gödels erster Unvollständigkeitssatz zeigt, dass jedes hinreichend mächtige, konsistente formale System unvollständig ist: es gibt wahre Aussagen, die in seiner Sprache ausdrückbar sind, die aber nicht beweisbar sind.

[Pippen]

Eine Aussage ist gdw beweisbar, wenn sie aus den Axiomen nach gültigen Schlussregeln formal korrekt abgeleitet werden kann.

Ok, soweit so gut, aber wie definierst du nun Wahrheit? Tarski definiert bekanntlich Wahrheit so: "p" ist wahr gdw. p, maW: "2+2=4" ist wahr, wenn 2+2=4? Das würde auch gut zu Gödel passen. Denn der Gödelsatz wäre in Gödel's Axiomensystem AS wahr, aber dort nicht beweisbar. Dass er in AS wahr ist, kann man erst mit einem erweiterten Axiomensystem AS' zeigen, wo man den Satz für AS aber in AS' beweisen kann. Wie klingt das?

[Skeltek]

Es gibt Aussagen, die weder wahr noch falsch sind. Eine boolsche Auswertung ist hier völlig kontextlos.

"Ich bin wahr" ergibt als Zirkelschluss keinen Sinn, da es sein eigenes Axiom impliziert und sonst nichts. Viele kommen nur nicht auf die Idee dem Satz den Wahrheitswert "falsch" zuzuordnen, der ja genauso widerspruchsfrei wäre.
Ähnlich ist das mit vielen nicht-beweisbaren Aussagen der Mathematik, die sich effektiv vom restlichen Aussagensystem abkoppeln. Genauso kann uns das Auswahlaxiom für sich betrachtet nicht garantieren(wenn wir es als wahr annehmen), dass es überhaupt einen Körper und Elemente gibt, auf die er angewendet werden kann.

[Pippen]

Nochmal: Wir hatten bereits herausbekommen, wie in der Mathematik die Beweisbarkeit definiert wird: Eine Aussage "p" ist beweisbar gdw. wenn sie aus gültigen Axiomen mittels gültiger Schlussregeln korrekt abgeleitet werden kann. Wie definiert sich nun Wahrheit (in der Mathematik)? D.h. wie wird die folgende Definition fortgesetzt: Eine Aussage "p" ist wahr gdw. ... ? ME gilt: "... wenn p." Das ist die sog. Tarski'sche Definition. Das Problem ist nun folgendes: Wie kann eine Aussage "p" wahr und dennoch unbeweisbar sein, wenn sich in der Mathematik die Wahrheit einer Aussage immer nur aus bestimmten Axiomen und den Schlussregeln ergeben kann? Wahrheit und Beweisbarkeit scheinen zusammenzufallen und damit wäre Gödel's Satz widersprüchlich.

[Pippen]

Ich gehe also mal von folgendem aus:

Eine math. Aussage "p" ist beweisbar gdw. sie aus gültigen Axiomen mittels gültiger Schlussregeln korrekt abgeleitet werden kann.
Eine math. Aussage "p" ist wahr gdw. p.

Nun ergibt sich folgendes Problem mit Gödel's Satz G in seinen Unvollständigkeitsuntersuchungen: G wird im Axiomensystem A konstruiert. Er ist dort weder beweisbar noch sein Gegenteil. Woher will Gödel nun je wissen, dass G in A wahr ist? Wenn er G in irgendeinem mächtigeren Axiomensystem A' beweist, dann ist G nur in A' wahr, nicht in A, denn G's Wahrheit bedeutet ja, dass G in A der Fall sein muss und das ist offenbar nicht der Fall, sonst hätte man ihn beweisen können. D.h. G müsste in A weder wahr noch falsch sein (denn dann hätte man sein Gegenteil beweisen können müssen) und damit keine zulässige Aussage in A.

[tomS]

Ich gehe also mal von folgendem aus:

Eine math. Aussage "p" ist beweisbar gdw. sie aus gültigen Axiomen mittels gültiger Schlussregeln korrekt abgeleitet werden kann.
Eine math. Aussage "p" ist wahr gdw. p.

Nun ergibt sich folgendes Problem mit Gödel's Satz G in seinen Unvollständigkeitsuntersuchungen: G wird im Axiomensystem A konstruiert. Er ist dort weder beweisbar noch sein Gegenteil. Woher will Gödel nun je wissen, dass G in A wahr ist? Wenn er G in irgendeinem mächtigeren Axiomensystem A' beweist, dann ist G nur in A' wahr, nicht in A, denn G's Wahrheit bedeutet ja, dass G in A der Fall sein muss und das ist offenbar nicht der Fall, sonst hätte man ihn beweisen können. D.h. G müsste in A weder wahr noch falsch sein (denn dann hätte man sein Gegenteil beweisen können müssen) und damit keine zulässige Aussage in A.

Wahrheit ist m.E. eine bzgl. A relative, triviale Tautologie zu Beweisbarkeit. Wenn du dagegen an eine ewige Wahrheit glaubst, wirst, du sie in der Mathematik nicht finden.

Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Philosophie_der_Mathematik

[Pippen]

Wahrheit ist m.E. eine bzgl. A relative, triviale Tautologie zu Beweisbarkeit.

Nee, denn dann wäre Gödel's Satz ja widersprüchlich. Denn wenn Beweisbarkeit und Wahrheit auswechselbar wären - und das wären sie, wenn beides eine Tautologie wäre - dann wäre Gödel's Satz damit wahr und falsch. Das geht nicht. Gödel muss da eigentlich schon sauber unterscheiden. Er hätte mE sagen müssen: Den Gödelsatz kann man im Axiomensystem A nicht beweisen noch sein Gegenteil - er ist in A unentscheidbar. Ob er wahr oder falsch ist, bleibt uns daher für immer verschlossen. Dann fände ich es überzeugend und konsequent.

[tomS]

Ja, so ist das auch. Bzgl. A ist der Satz nicht beweisbar und damit innerhalb von A auch nicht wahr. Dass er wahr ist, erkennst du erst, wenn du A "von außen" in den Blick nimmst.

[Skeltek]

Es gibt einen deutlichen Unterschied zwischen
"nicht entscheidbar"
und
"weder wahr noch falsch"!